固体物理题库-zzk-第一至第五章-1.pdf

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1、第一章第一章 晶体结构和晶体结构和 X X 射线射线 1、试证体心立方和面心立方各自互为正、倒格子 2、如果基矢 a,b,c 构成正交关系，证明晶面族（h k l）的面间距满足： d h k l 1 h 2 k 2 l 2( ) ( ) ( ) abc 3、证明以下结构晶面族的面间距： （1） 立方晶系：dhkl=ah2+k2+l2-1/2 （2） 六角晶系：d hkl 4 h2 k2 hkl 21/ 2() ( ) 23ca 4、等体积的硬球堆积成体心立方结构和面心立方结构，试求他们在这两种结构 中的致密度分别为 0.68 和 0.74。 5、试证密积六方结构中，c/a=1.633。 6、在

2、立方晶胞中，画出（1 0 1） ， （0 2 1） ， （122）和（210）晶面。 7、如下图，B 和 C 是面心立方晶胞上的两面心。 （1） 求 ABC 面的密勒指数； （2） 求 AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。 8、六角晶胞的基矢为 3 a a ai j, 22 3 a b ai j, 22 求其倒格子基矢。 c ck. 9、求晶格常数为 a 的面心立方和体心立方晶体晶面族（h1h2h3）之间的面间距 （指导 p30,10） 。 10、讨论六角密积结构，X 光衍射的消光条件。 11、求出体心立方、面心立方的几何因子和消光条件。 12、原胞和晶胞的区别？ 13、倒空间的物理

3、意义？ 14、布拉格衍射方程，原子和几何结构因子在确定晶格结构上分别起何作用？ 15、什么是布拉格简单格子，什么是复式格子？ 第二章第二章 自由电子气自由电子气 1、设有一个长度为 L 的一维金属线，它有N 个导电电子，若把这些导电电子看 成自由电子气，试求： （1） 电子的状态密度 （2） 绝对零度下的电子费米能级，以及费米能级随温度的变化关系。 （3） 电子的平均能量。 （4） 电子的比热。 2、二维电子气的能态密度N(E) m ，证明费米能 2 E F k BT lne 电子对于比热的贡献。 n2/mk bT 1 3、求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能以及一个 4

4、、求出二维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能以及一个 电子对于比热的贡献。 005、求出绝对零度是费米能E F 、电子浓度 n、能态密度 N(E F )及电子比热 C V 与 0费米半径k F 的关系 e 6、已知 Na 具有体心立方结构，点阵常数 aNa=0.4282 nm，试求其绝对零度时的 费米能、 费米速度、 费米温度、 单位体积的电子气平均能， 以及摩尔热容量 （5-5） 。 7、已知 Al 具有面心立方结构，点阵常数 aAl=0.4041 nm，试求其绝对零度时的 费米能、 费米速度、 费米温度、 单位体积的电子气平均能， 以及摩尔热容量 （5-5） 。 8、已知E

5、F=3 eV。试计算当T=2000K 时，电子分部激励从0.9-0.1 所对应的能量 区间，并求出这个能量区间的 EF的比值。 9、铜的费米能级 EF=7.1 ev，试计算每单位体积的铜的平均电子数，并从密度计 算得到的电子浓度相比较。已知铜的密度等于 8.96g/cm3。 10、已知银的密度为 10.5 g/cm3，当温度从绝对零度变化到室温（300K） ，银金 属中电子的费米能变化多少？ 11、试求低温下金属中电子气的总能量。 5E 0 4h2k F12、证明： （1）在 T=0K 是，金属中自由电子的能量密度，式中 kF V5m 为费米球半径，V 为金属体积。 2E 0 3h2k F（2

6、）金属中电子的平均能量 N10m 13、为什么温度升高，费米能下降？ 14、价电子能都越大，价电子的平均动能如何变化？为什么？ 15、绝对零度时，价电子与晶格是否有能量交换。 第三章 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质 1、设有一维的离子晶体，正负离子间的质量分别是 M+和 M-，它们间的势能可 ee2bn1 以表示成：U(r) ，r 是两个离子之间距离，e 为离子电荷，n 以 nrnr 及 b 是常参量。 （1） 如果只考虑最近邻原子间的相互作用，在简谐近似下，求出该离子晶体 的晶格振动频谱。 （2） 求出它的频率分布函数。 （3） 若采用德拜模型，写出它的频率分别不函数及德拜

7、温度。 2、试以一维复式格子为例，求出晶格振动的总动量 3、在一维无限长的简单格子中，如果考虑原子间的长程相互作用，则在简谐近 似 下 ， 第n个 原 子 与 其 他 原 子 间 的 相 互 作 用 势 能 可 写 成 ： 1 U m x n x nm 2 2 m 这里 xn表示第 n 个原子的位移，m表示距离为 ma 的两个原子间的恢复力常 数（假设原子间距也及晶格常数为 a） 。并设原子的质量为 M，试求： （1） 格波的色散关系。 （2） 在金属恢复力常数满足下面关系式m 证明当 q=Q 时，( 2 ) qQ q sin(Qma) ma 4、设某个一维简单格子，晶格常数为 a，原子质量为

8、 M，在平衡位置附近两原 子间的相互作用势能可表示成为： 111 U(r) U 0 (a a2)r r2r3 226 这里 和 都是常数，并且只考虑最近邻原子间的相互作用，试求： （1） 在简谐近似下，求出晶格振动的色散关系。 0（2） 求出它的比热C V 5、原子质量为 m，间距为 a，恢复力常数为 的一维简单晶格，频率为 的格 波 un=Acos(t-qna)，求（1）该波的总能量； （2）每个原子的时间平均总能量。 6、一维复式格子，原子质量都为 m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间 距不同，力常数不同，分别为 1和 2，晶格常数为 a，求原子的运动方程及 色散关系。 7、设有一长度

9、为 L 的一价正负离子构成的一维晶格，正负离子间距为 a，正负 离子的质量分别为 m +和 m-，近邻两离子的互作用势为： e2b u(r) nrr 式中 e为电子电荷，b 和 n 为常数参量，求： （1） 参数 b 与 e，n 及 a的关系， （2） 恢复力系数 （3） q=0 是的光学波的频率 0 （4） 长声学波速度 vA （5） 假设光学支格波为一常数，且 = 0，对光学支采用爱因斯坦近似，对声 学波采用德拜近似，求晶格热容。 8、求出一维简单晶格的模式密度 D( ) 9、设一长度为 L 的一维简单晶格，原子质量为 m ，间距为 a，原子间的相互作 用时可以表示为U (a)A cos(

10、 )，试求简谐近似条件下： a （1） 色散关系 （2） 模式密度 D( ) （3） 晶格热容（列出积分表达式） 10、对一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。 11、试用德拜模型，求 T=0K 时，晶格的零点振动能。 12、按照德拜近似，证明高温时晶格热容 1 D2() C V 3Nk B 1 20T 13、对于 NaCl 晶体，测知其密度为 =2.18g/cm3，正 负a = 0.281nm，光学支格波的最高频率为( +)max =3.61013rad/s。试以一维双原子晶 链模型计算： （1）NaCl 的恢复力常数 （2）长声学波的波速 （3）NaCl 的弹性模量 1

11、4、声子的概念是什么？声学支和光学支的物理意义是什么？为什么长声学之 为弹性波，长光学波为极化波？ 15、周期边界条件的物理依据是什么？ 第四章 能带理论能带理论 1、已知一维晶格中电子的能带可写成 271 E(k) (c o kas c o 2 ska) 28ma8 式中 a 是晶格常数，m 是电子的质量，求： （1） 能带宽度， （2） 电子的平均速度 （3） 在待定和带底的电子的有效质量 2、对简立方结构晶体，其晶格常数为 a （1） 用紧束缚方法求出对应非简并 s 态电子的能带； （2） 分别画出第一布里渊区110方向的能带、电子的平均速度、有效质量以 及沿110方向有恒定电场是的加速

12、度曲线 3、用紧束缚方法处理面心立方晶格的 s 态电子，试导出其能带 k y ak y a k xa k z ak z ak xaEs ECs 4J s coscos coscos coscos 222222 at s 并求出能带底的有效质量 4、求出一维、二维金属中自由电子的能态密度 5、证明：在三维晶格中，电子的能量在 k 空间中具有周期性：E(k)= E(k+Kh)， 式中 Kh为任一倒格矢。 6、试求体心立方格子的第一布里渊区 7、试求面心立方格子的第一布里渊区 8、平面正三角形结构，相邻原子间距为 a，试求： （1） 正格矢和倒格矢 （2） 画出第一和第二布里渊区，求第一布里渊区内切

13、圆半径 9、二维金属晶格，晶胞为简单矩形，晶格常数为 a=0.2nm，b=0.4nm，原子为 单价的。 （1） 试画出第一、二布里渊区 （2） 计算自由电子费米半径 10、计算体心和面心一价金属的 kF/km的值。其中kF是自由电子的费米半径， km是原点到第一布里渊区边界的最小距离。 11、试述能带和布里渊区的概念及其关系。 12、在布里渊区边界的电子的能带有什么特点。 13、波矢空间与倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续 的？ 14、当电子的波矢落在布里渊边界上时，其有效质量何以与真实质量有显著 差别？ 15、带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？ 第五章外场理论 1、

14、证明在准经典近似下， 外加恒定的磁场时自由电子在 k 空间中匀速圆周运动， 而在实空间中做螺旋运动。 （假设外场 B 沿某一个方向） 2、利用能带理论解释导体、金属、半导体的区别 3、禁带和禁带产生的原因 4、设沿 xy 平面施加一电场，沿z 轴施加一磁场，试证，在一级近似下，磁场不 改变电子的分布函数，并用经典力学解释这一现象 5、电子漂移速度 vd满足方程 dv d v dm() e dt 1i () (0) 2 1() 试确定稳定时，交变电场的电导率 6、什么是 De HaasVan Alphen效应 7、证明均匀磁场中电子在波矢空间中运动的轨道是与磁场垂直的平面和等能面 的交线（指导

15、435，7.20） 8、已知价带边附近电子的能量为 (k)=-110-26k2 (erg)， 讲一个电子从 k=1107kx 处移走，于是能带成为不满带，试给出： （1） 该空穴的有效质量的符号和数值 （2） 该空穴波矢量的方向和数值 （3） 空穴的晶体动量和速度 （4） 价带边处该空穴的能量 （5） 该空穴所运载的电流 9、单价四角金属中的开放轨道连通相对的布里渊区的截面，这些界面相距 G=2108cm-1。设磁场强度 H=103Gs，垂直于开放轨道的平面，取电子速度 v=108cm/s，文电子在波矢空间中运动的周期是多少？描述磁场中的电子在真 实空间中的运动。 10、讨论电子在真是空间中的轨道与波矢空间中的轨道有何关系？