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1、第四章 大数定律与中心极限定理4.1特征函数内容提要1 .特征函数的定义设X是一个随机变量，称 E(eitX )为X的特征函数,其表达式如下eitxP(Xxi),在离散场合，E(eitX) it .eitx px(x) dx,在连续场合，由于eitxJcos2tx sin2tx 1，所以随机变量X的特征函数(t)总是存在的.2 .特征函数的性质 | (t)(0) 1；(2) ( t)(IT其中一(亍表示(t)的共腕；(3)若 Y=aX+b,其中 a,b是常数.则 丫 eibt x (at);若X与Y是相互独立的随机变量，则X Y(t) x(t) Y(t)；(5)若E(Xl)存在，则x (t)可
2、l次求导，且对1 k l ,有(k)(0) ikE(Xk);(6) 一致连续性特征函数)在(，)上一致连续(7)非负定性特征函数(t)是非负定的，即对任意正整数n,及n个实数n nt1,t2,tn 和 n 个复数 Zi,Z2,Zn,有(tktj)ZkZj0;k 1 j 1(8)逆转公式设F(x)和(t)分别为X的分布函数和特征函数，则对F(x)的任意两个点Xix2，有F(x2) F(x2 0)2F(Xi) F(Xi 0)2Tlimitx1 itx21 e eitdt;itX2 eit(t)dt;特别对F(x)的任意两个连续点x1x2,有1 T eitx1Fd) F(Xi) Tlim T (9)
3、唯一性定理随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定;(10)若连续随机变量X的密度函数为p(x)，特征函数为(t).如果dt1itxp(x)e (t)dt23.常用的分布函数特征表分布特征函数退化分布P(X=a)=1/. ita(t) e二项分布(t) (q peit)n,q 1 p几何分布(t)号,q 1 p正态分布,、2,2(t) expi t f标准正态分布t)(t) e /均匀分布U(a,b)_itb _ ita+e et(b a)it均匀分布U(-a,b)sin at(t)at指数分布(1 -)1伽玛分布Ga(,)(t) (1 与2分布n(t) (1 2it) 2泊松分布(t) exp
4、 (eit 1)习题与解答4.11 .设离散随机变量X的分布列如下，试求X的特征函数.X0123P0.40.30.20.1解 x(t) 0.4 0.3eit0.2ei2t0.1ei3t2 .设离散变量X服从几何分布P (X k) (1 p)k1p,k 1,2,试求X的特征函数，并以此求E(X)和Var(x).解记q=1-p,则ititxitk k 1ititpe(t) E(e ) e q p pe (eq) k1k 11 qe(t)- it(t)个,1 qeitit、2itit、 itpe (1 qe ) 2pe (1 qe )qe(1it 4 qe )E(X)(0)p1(1 q)2p1 E(
5、X) - (0)ip(1 q)2 2 Pq(1 q)(1q)4_2Var(X) E(X )_2E(X)1 q2 p3 .设离散随机变量X服从巴斯卡分布P(Xk)1 r*、kr1 p (1 p)k r,r 1,L ,试求X的特征函数.解 设Xi,X2, ,Xr是相互独立同分布的随机变量，且都服从参数为p的几何分布Ge(p),则由上一题知Xj的特征函数为it Xj(t)没,其中q=1-p.又因为XXi X2Xr,所以X的特征函数为X(t)itxj(t)(产r),.j 1 qe4 .求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差.x Fi(x)2 e a|t|dt(a0);(2) F2(x
6、)1 t2dt a(a0).解(1)因为此分布的密度函数为P1(x)ax所以此分布的特征函数为01(t)2itx eax a itxe dx e2 0_ ax .e dx0ax a(costx i sintx) e dx (costx isintx) 2 0ax dx又因为1（t）所以 E(X)=a costxe axdx02ta2(a2 t2)2,1 -i(0)0,i2a277 .a t1(0) 0, l(t)2Var(X)= E(X )（2）因为此分布的密度函数为aP2(x)一_2222a (3t a )-T2 Z2T3-(a t )1(0)itxa e一2x2（X）积分表）-C*0 x
7、aatdx e2a所以当t0时，有2 aat at2(t) e e2a而当t0时，有（见菲赫金哥尔茨微积分学教程第二卷第三分册或查2aatait2-2ae eitx e-2 X注：2(x) a又因为2（t）在t=0处不可导，故此分布（柯西积分）的数学期望不存在.dx也可利用复变函数中的留数理论来计算，方法如 a下：t0时,2（X）小22 dxx aitze2 iRes -22，z aiz aitze2 i limz aiz aitaeta2ai e2ai5.设X N(,2）,试用特征函数的方法求X的3阶及4阶中心矩.C2 2解 因为正态分布N（ , 2）的特征函数为（t） eit t/2,所以
8、(0)(0) i , E(X)i22_2(0)22(0), E(X )Hi(0) i 3 3i 2, E(X3) 3-)3 3i42 244(0)4224(0)4 6 2 2 3 4, E(X 4)( )4 6 2 2 3 4i由此得X的3阶及4阶中心矩为3_3 2 2_E(X E(X)3 E(X3) 3E(X2)3E(X) 20,4_4_3E(X E(X) E(X ) 4E(X )_34_346E(X )4E(X)36 .试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若 X b (n , p),Y b(m , p),且 X 与 Y独立，则 X+Y b(n + m, p).证 记 q=1-p,因为
9、x (t) (pe q)n, 丫(peit q)m,所以由X与Y的独立性得X Y(t) X(t) Y(t) (peit q)nm这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数，由唯一性定理知X+Yb(n+m,P).7 .试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若 XP( 1),Y P( 2)，且X 与 Y 独立，则 X+YP( 1+ 2).证：因为x(t) e1 1), 丫e2(eit1),所以由X与Y独立性得(2 ) eit 1)XY(t) x(t) Y(t) e ,这正是泊松分布P( 1+ 2).的特征函数，由唯一性定理知X+Y P( 1+ 2).8 .试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加
10、性：若XGa(a1,), YGa(a2,)，且 X与 Y独立，则 X Y Ga(a1 a2,).证因为 X(t) (1-) a1, Y(t) (1 *)a2,所以由X与Y的独立性得X Y(t) x(t) Y(t)(1 -) a2),这正是伽玛分布Ga(a1 a2,)的特征函数，由唯一性定理知X YGa(a a2,).9 .试用特征函数的方法证明2分布的可加性：若X 2(n),Y 2(m),且X与Y独立，则X Y 2(n m).证因为X(t) (1 2it) n2, Y(t) (1 2it)m2,所以由X与Y的独立性得 (n m)X Y(t) x(t) Y(t) (1 2it) 2 ,这正是2分
11、布2 (n+m)的特征函数，由唯一性定理知X Y 2(n m).10 .设Xi独立同分布，且XiExp( ),i 1,2, ,n .试用特征函数的方法证明： nYnXi Ga(n,).i 1证因为Xi(t) (1 士)1,所以由诸Xi的相互独立性得Yn的特征函数为it nYn(t)(1 一)，这正是伽玛分布Ga(n,)的特征函数，由唯一性定理知YnGa(n,).11.设连续随机变量X服从柯西分布，其密度函数如下：,、1P(X)2；, X ,(X )其中参数 0,，常记为X Ch(,),(1)试证X的特征函数为expi t|t，且利用此结果证明柯西分布的可加性；(2)当 0,1时,记丫=*,试证
12、X Y(t) X(t) 丫 (t),但是X与不独立；(3)若X1，X2, ,Xn相互独立,且服从同一柯西分布，试证：1 一(X1X2 Xn)n与Xi同分布.一 .1证(1)因为Y X 的自度函数为p(x)22, X ，由本y节第4题(2)知Y的特征函数为Y(t) exp |t|.由此得X Y的特征函数X(t) Y (t) exp i t 丫 expi t t .下证柯西分布的可加性：设Xi(i1,2)服从参数为i, i的柯西分布，其密度函数为：Pi (x) 1 2, x ,i 1,2 .若X1与X2相互独立，则(x i)X1 X2(t)X1(t) X2(t) expi 12t ( 12)t ,
13、这正是参数为12, 12柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知XiX2服从参数为12,12的柯西分布.当 0,1时有 x(t) exp t , 丫exp t ,所以XY(t) 2X (t) x(2t)exp 2t exp t exp t x (t) Y(t).由于Y=X,当然X与Y不独立.此题说明，由X Y(t) X(t) Y(t)不能推得X与Y独立. 设Xi都服从参数为，的柯西分布，则特征函数为 expi t t1 n由相互独立性得，一 Xi的特征函数为 (t/n)“ expi t n i 1X1具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布12 .设连续随机变量X的密度函数为p(x)
14、,试证：p(x)关于原点对称的充要条 件是它的特征函数是实的偶函数.证：记X的特征函数为X。).先证充 分性，若X(t)是实的偶 函数，则x( t) X(t)或x( t)X(t),这表明X与-X有相同的特征函数，从而X与-X有相同的密度函数，而-X的密度函数为p(-x)，所以得p(x)=p(-x)，即p(x)关于原点是 对称的.再证必要性.若p(x)=p(-x)，则X与-X有相同的密度函数，所以X与-X有相同的 特征函数.由于-X的特征函数为x(t),所以x( t) x(t)=_r_)，故x是实 的偶函数.一 1 n13 .设X1,X2, ,Xn独立同分布，且都服从N( , 2)分布，试求X - Xi的 n i 1分布.2 2解：因为Xj的特征函数为j(t) ei t t /2,所以由诸Xi互相独立得X的特212征函数为X(i(t/n)neit t/(2n)这是正态分布N( , 2/n)的特征函数，所一 1 n以由唯一性定理知X Xi N( , 2/n)