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1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1 .掌握平面向量数量积运算规律；2 .能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3 .掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1 .平面向量数量积(内积)的定义：2 .两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e a = a e =|a|cos ;2 a b a b = 03 当a与b同向时，a b = |a|b|;当a与b反向时，a b = |a|b|.特别的a a
2、= |a|2或1 a 1 va aa b4 cos = ;-；5 |a b| 倒Ibl|a II b|3.练习：(1)已知|a|二1, |b|= v12 ,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是()A.60 B.30 C.135 D. 4 5 (2)已知|a|二2, |b|=1, a与b之间的夹角为 一，那么向量m=a-4b的模为()3A.2B.2 . 3C.6D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量 a (x1,y1), b(x2,y2),怎样用a和b的坐标表示a b ?.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a bx1x2 y1y22.平面内两点间
3、的距离公式(1)设 a (x,y),则 |a|2 x2 y2 或 |a| xx2 y2.(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2),那么 |a|(Xi X2)2 (必 y2)2(平面内两点间的距离公式)3 .向量垂直的判定设 a (Xi,yi), b (X2,y2),则 a bX1X2 yy 04 .两向量夹角的余弦(0)a bX1X2 yi y2cos =| a | | b |, X：y： . X22、讲解范例:例1已知A(1 ,2), B(2, 3), C( 2, 5),试判断ABC的形状，并给出证明例 2 设 a = (5,7), b = (
4、6,4),求ab及a、b间的夹角。精确到1。)分析：为求a与b夹角，需先求a b及| a | | b| ,再结合夹角 0的范围确定其值例 3 已知 a= ( 1 ,J3 ), b=J3 + 1, J3 1),则a与b的夹角是多少？分析：为求a与b夹角，需先求a b及| a | -| b I ,再结合夹角 。的范围确定其值 解：由 a=(l,而)，b=(、Q+l, V3- 1)有 a b = 3 3 + 1 + 33 ( 3 3 -1)=4, | a|=2, I b| = 2 J2 .a b 2记a与b的夹角为 。，则c o s 0=又o0= 一a b 24评述：已知三角形函数值求角时，应注重角
5、的范围的确定三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、已知A(3, 2), B(-1, -1),若点P(x,-；)在线段AB的中垂线上，则 x=四、小结： 1、a b x1x2 y1y22、平面内两点间的距离公式|a| . (X1 X2)2 (y y2)23、向量垂直的判定：设 a (x=yj, b (X2,yz),则 a bX1X2 y y2 0五、课后作业：习案作业二十四。思考：1、如图，以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角 AOAB,使 B = 90 ,求点B和向量AB的坐标.解：设 B 点坐标(x, y),则 OB = (x, y), AB = (x 5, y 2)又|OB 尸
6、|AB |OB AB x(x 5) + y(y 2) = 0 即：x2 + y2 5x 2y = 0 .x2 + y2 = (x 5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 2973,x2 y2 5x 2y 0x1 2x2 2由一 2。或 210x 4y 293y2 722.733 7377 3 B 点坐标(,一)或(一,一)； AB =(,一)或(,)222 2222 22在ABC中，AB=(2, 3), AC =(1 , k),且 ABC的一个内角为直角，求 k值.3解：当 A = 90 时，AB AC = 0, .1.2X1 +3 求=0，k = 2当 B = 90 时，AB BC = 0, BC = AC AB = (1 2, k 3) = ( 1, k 3)112X( 1) +3 0 3) = 0. .k =3313当 C = 90 时，AC BC = 0,1 + k(k 3) = 0. . k =-2