《向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇.docx（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍二、四心与向量的结合(1) OA OB OC 0O 是 ABC 的重心.证法 1：设 O(x, y), A(x1, y1), B(x2, y2)，C(x3, y3)OA OB OC 0(xi x) (x2 x) (& x) 0(yi y) (y2 y) (y3 y) o。是ABC的重心. 证法2:如图OA OB OC % - OA 2OD 0AO 2ODA、O、D三点共线，且。分AD 为2: 1O是ABC的重心(2) OA OB证明：如图所示OB OC OC OA O 为 ABC 的垂心.O是三角形 ABC的垂心，BE垂直AC ,
2、AD垂直BC ,OA OB OB OC OB(OA OC)OB AC同理 OA BC , OC ABO为ABC的垂心xi x2 x33yi y2y33D、E是垂足.(3)设a, b, c是三角形的三条边长， O是 ABC的内心aOA bOB cOC 0 O 为 ABC 的内心.AB AC证明：CB、CC分别为AR AC方向上的单位向量,c bABcAC平分 BAC, bAO(ABcAC”令bca b cAO化简得(abc ( AB a b c cb c)OA bABACbcAC 0aOA bOB cOC 0(4) OA OBOCl O为ABC的外心。典型例题：例1 : O是平面上一定点,A、B
3、、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA (ABAC),0,则点P的轨迹一定通过 ABC的（A.外心 分析：如图所示 中占 .B.内心C.重心ABC, D、E分别为边BC、AC的ABAC2ADOPOA2 ADOPOAAPD.垂心AP2 ADAP / AD点P的轨迹一定通过 ABC的重心，即选 C.例2: （03全国理4） O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP OA( AB AC )AB AC0,则点P的轨迹一定通过 ABC的（B ）A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心分析:AB ACB、iAC分别为AB、AC方向上的单位向量,AB ACiAB jAC 平分
4、BAC,AB AC点P的轨迹一定通过 ABC的内心,即选B.例3:O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OAABAC),0,则点P的轨迹一定通过ABC的AB cosBAC cosCB.内心C.重心分析：如图所示AD垂直BC, BE垂直AC , D、E是垂足.DABAB cosBAB BCAB cosBAC =)BCAC cosCAC BCAC cosCAB BC cosBAC BC cosCAB cos BBC + BC =0AC | cosC点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，即选 D .练习:1.已知 ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P ,满足PA PB P
5、C 0 ,若实数满足：AB AC AP,则的值为（C. 3D. 62.若 ABC的外接圆的圆心为O,半径为1, OAOB OC 0,则 OA OB ()B. 0C. 1D.3 .点O在ABC内部且满足OA 2OB2OC0,则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（)3B .一25C.一44.ABC的外接圆的圆心为O,OH OAOB OC ,则H是ABC的5.一 2CAB.内心C.重心O是平面上一定点，A、22OC AB ,则O是A.夕卜心B.内心6.ABC的外接圆的圆心为则实数7.（06陕西）已知非零向量B、C是平面上不共线的三个点，若ABC 的（）C.重心O,两条边上的高的交点为一匕、产目/ AB ACAB 与 AC 满足（+H, OH2OA2BC2OBm(OAOBACOC)，一 l AB- BC=0 且二 一|AB | |AC| ABC 为（）A.三边均不相等的三角形C.等腰非等边三角形B.直角三角形D.等边三角形8.已知CA,则2 ABC 三个顶点 A、B、C,若 AB AB AC AB CB BCABC 为（）A.等腰三角形C.直角三角形练习答案：C、D、C、D、B.等腰直角三角形D.既非等腰又非直角三角形D、1、D、C