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1、新课标高中数学必修2知识点总结经典第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1、棱柱精品资料定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用K角线的端点字母，如五棱柱ABCDE A B C D E几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边 形。2、棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类
2、的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥 P A B C D E几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。3、棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如四棱台ABCEFABCD几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩
3、形5、圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。6、圆台定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形球体定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。空间几何体的结构特征：面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶点、轴1.2 空间几何体的三视图和直观图1、中心投影与平行投影中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在
4、一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。2、三视图正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3、直观图：斜二测画法斜二测画法的步骤：（1） .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2） .平行于y轴的线长度变半，平行于 x, z轴的线长度不变；（3） .画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高，h为斜高,s直棱柱侧面积chS圆柱侧rhs正棱锥侧面积l为母线)1ch2S1锥侧面积r
5、lS 正棱台侧面积12(G c2)h*台侧面积(rR)Su柱表S圆锥表r2 rlRl R2(3)柱体、锥体、台体的体积公式ShV圆柱Shr2h3 shV圆锥r2h(4)-(S SS S)h 3球体的表面积和体积公式:3(SS)h(r2 rRR2)h4V球=3R32S球面=4 R精品资料第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A l, B lA ,B公理1的作用：判断直线是否在平面内2、公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。若A, B, C不共线，则A, B, C确定平面推论1 :过直线的直线外一点有且只有一个平面
6、则点A和l确定平面推论2 :过两条相交直线有且只有一个平面A,则m,n确定平面推论3 :过两条平行直线有且只有一个平面则m,n确定平面公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。P ,P公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。4、公理4:也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.a Pb, cPb a Pc5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。方向相反则/ 1+ / 2= 180 apa,bpb且 1与 2方向相同1=2b
7、aPa,bPb且1与2方向相反12= 180作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。6、线线位置关系：平行、相交、异面。 aPb,（1）没有任何公共点的两条直线平行（2）有一个公共点的两条直线相交（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线面位置关系：直线在平面内、平行、相交a I b A,a,b异面(2)aaP8、面面位置关系：平行、相交。则该直线与此平面平行。9、线面平行:（即直线与平面无任何公共 判定定理：平面外一条直线与此平面内的-条茎基力（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行加以）a/b证明两直线平行的主要方法是：三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于
8、底边的一半；平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行;aPb垂直于同一平面的两直线平行;b直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上 面的）10、面面平行：（即两平面无任何公共点）（1）判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（2）两平面平行的性质:那么它们的交线平行;a Pba ,b al b A aP ,bP性质w：夹在两平行平面间的平行线段相等;PAC BDA,CB,DAB
9、PCD性质IV:两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行;PtfjFPP aP 或 P a P一aaA 711、线面垂直:定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。性质I：垂直于同一个平面的两条直线平行。a Pb性质口：垂直于同一直线的两平面平行12、面面垂直:定义：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂1m线，则这两个平面垂直。1（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）性质：两个平面互相垂直，
10、则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。证明两直线垂直和主要方法：利用勾股定理证明两相交直线垂直；利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂” “线影垂”，“线斜垂”）如图：POOA是PA在平面 上的射影又直线a，且a OA即：线影垂直 线斜垂直，反之也成立。a PA空间角及空间距离的计算1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线,如图：直线a与b异面，b/b ，直线a与直线b的夹角为两异面直线a与b所成的角，异面直线所
11、成角取值范围是（0 ,90 精品资料PA是平面2 .斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图: 上射影，PAO为线面角。的一条斜线，A为斜足，。为垂足，OA叫斜线PA在平面3 .二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角 平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直如图：在二面角 -1 -中，O麦上一点，OA , OB ,且OA 1,OB 1,则 AOB为二面角 -1-的平面角。1,二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的第三章直线与方程k表示。即k tan 。斜率反映直线与轴用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：确构成二面角两个半平面和棱
12、；明确二面角的平面角是哪个?而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。(求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”)5 .点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。如图：O为P在平面 上的射影，线段OP的长度为点P到平面 的距离求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高。如图在三棱锥 V ABC中有： Vs abcVA SBCVB SACVC SAB3.1 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0度。因此，
13、倾斜角的取值范围是 0180(2)直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用的倾斜程度当 ,90 时 k 0.90，180时，k 0；当 90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式:k-y2一y1 (xiX2)X2 Xi注意：(1)当X1X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90 ;(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。3.2 直线的方程点斜式：yy1k(X X1)直线余w k,且过点X1，y1注意：当直线的斜率为 0时，k=0,
14、直线的方程是y=y1ol上每一点的横坐标都等于 x1 ,所以它的方程是当直线的斜率为90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因x=x1。斜截式：y kx b，直线斜率为k,直线在y轴上的截距为by yix xi两点式：y2y1x2x1（ xi总1y2）直线两点xl, y,x2,y2x 1截矩式：a b其中直线l与x轴交于点（a，0）,与y轴交于点（0，b）,即1与X轴、y轴的截距分别为a，b。一般式：Ax By C 0 （A, b不全为0）注意：Q各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：y b （b为常数）；平行于y轴的直线：x a （a为常数）；（5）直线系方程：即具有
15、某一共同性质的直线0 （C为常数）（一）平行直线系平行于已知直线Ax B0y C0 0（ AB0是不全为0的常数）的直线系：A0 B0y （二）过定点的直线系（i）斜率为k的直线系：y y0k x x0，直线过定点x0,y0 ；（ii）过两条直线l1：Alx Bly Ci0 , l2 : A2x B2y C2 0的交点的直线系方程为Ax Biy C1A2x B2y C2 0（为参数），其中直线l2不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当 l1 ： yk1x b1 l2 : yk2xb2时,l1 /l2k1k2,b1 b2. l1 l2k1k21注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存
16、在与否。3.3直线的交点坐标与距离公式1、两条直线的交点l1 : A1x B1y C1 0 l2 : A2xA1x B1y交点坐标即方程组A2x B2 y方程组无解l1 /l2 ；2、两点间距离公式：设 A（x1，y1），B2y C20相交C1 0C20的一组解。方程组有无数解l1与l2重合B x2, 丫2）是平面直角坐标系中的两个点,则 |AB| . (x2 x)2 (y2 y。2Ax0 By。C3、点到直线距离公式：一点P x0, y至ij直线l1: Ax By C 0的距离4、两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。A2B2第四章圆与方程4.1圆的方程1、
17、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程2 2 .2（1）标准方程x a y b r ,圆心a，b ,半径为r；22cLLC(2)一般方程xyDx EyF0D2._ 2当DE4F 0时，方程表示圆，此时圆心为 22222当DE4F 0时，表示一个点；当DE(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件Er 1 . D2 E2 4F2 ,半径为 24F 0时，方程不表示任何图形。若利用圆的标准方程,需求出a, b, r；若利用一般方程，需要求出 D, E, F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过
18、原点，以此来确定圆心的位置。4.2 直线、圆的位置关系1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：d Aa Bb C2.22d ；-(1)设直线1 : Ax By C 0,圆C : x a y b r ,圆心C a，b至ij l的距离为 YA B ,则有d r1与C相离.d r1与C相切.d r1与C相交设直线1:Ax By C 0,圆C ： x a一 人2. 2, 、 一，一,则有01与C相离.0 1与c相切.0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0yy01与C相交2r去解直线与圆相切的问题，其中x0, y0表示切点坐标，r表示半径y b r ,先将方程联
19、立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为(3)过圆上一点的切线方程：2圆x2+y2=r2 ,圆上一点为(x0 , y0),则过此点的切线方程为 xx0yy0r圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0 , y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r22、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。222222设圆 Ci : x ay b1 r C2 : x a? y b?R两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。当d R r时两圆外离，此时有公切线四条；当d R r时
20、两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当R r d R r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当d R r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当d R r时，两圆内含； 当d 0时，为同心圆。4.3 空间直角坐标系(1)定义：如图，OBCD DA,BC,是单位正方体.以A为原点， 分别以ODQA,QB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.Z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1) O叫做坐标原点2) x轴,y轴,z轴叫做坐标轴.3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为 y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。(3)任意点坐标表示：空间一点m的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点m在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x, y, z) (x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标)(4)空间两点距离坐标公式：d寸( x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2