线性代数课后习题解答第四章习题详解.doc

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1、第四章向量组的线性相关性1设, 求及.解 2设其中, ,求.解 由整理得3. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示. 证明 由 知R(A)=R(A, B)=3, 所以B组能由A组线性表示. 由 知R(B)=2. 因为R(B)R(B, A), 所以A组不能由B组线性表示.4. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1,

2、 0)T; B: b1=(-1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, -1)T, 证明A组与B组等价. 证明 由,知R(B)=R(B, A)=2. 显然在A中有二阶非零子式, 故R(A)2, 又R(A)R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 从而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A组与B组等价. 5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 证明 (1) a1能由a2, a3线性表示; (2) a4不能由a1, a2, a3线性表示. 证明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4线性无关, 故a2,

3、a3也线性无关. 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3线性相关, 故a1能由a2, a3线性表示. (2)假如a4能由a1, a2, a3线性表示, 则因为a1能由a2, a3线性表示, 故a4能由a2, a3线性表示, 从而a2, a3, a4线性相关, 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; (2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为 , 所以R

4、(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B. 因为 , 所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由 知, 当a=-1、0、1时, R(A)3, 此时向量组线性相关. 8. 设a1, a2线性无关, a1+b, a2+b线性相关, 求向量b用a1, a2线性表示的表示式. 解 因为a1+b, a2+b线性相关, 故存在不全为零的数l1, l2使 l1(a1+

5、b)+l2(a2+b)=0, 由此得 , 设, 则 b=ca1-(1+c)a2, cR. 9. 设a1, a2线性相关, b1, b2也线性相关, 问a1+b1, a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定. 例如, 当a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1, -1)T, b2=(0, 0)T时, 有 a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T, 而a1+b1, a2+b2的对应分量不成比例, 是线性无关的. 10举例说明下列各命题是错误的:(1) 若向量组是线性相关的,则可由线性表示.(2)

6、 若有不全为0的数使 成立, 则线性相关, 亦线性相关.(3) 若只有当全为0时,等式 才能成立,则线性无关, 亦线性无关.(4) 若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数, 使 同时成立.解 (1) 设, 满足线性相关, 但不能由线性表示.(2) 有不全为零的数使 原式可化为 取 . 其中为单位向量,则上式成立,而 ,均线性相关.(3) 由 (仅当)线性无关取, 取为线性无关组. 满足以上条件,但不能说是线性无关的.(4) 与题设矛盾.11设,证明向量组线性相关.证明 设有使得则(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,; ; ; ;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2) 若线性无关,

7、则 由 知此齐次方程存在非零解. 则线性相关.综合得证.12设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明 设则因向量组线性无关,故 因为 故方程组只有零解.则. 所以线性无关13求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1),;(2),.解(1)线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.(2) 秩为2,最大线性无关组为.14利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把其余列向量用最大无关组线性表示:(1) ; (2) .解 (1) 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ，所以第1、2、3列构成一个最大无关组15. 设向量组(a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (1

8、, 2, 1)T, (2, 3, 1)T的秩为2, 求a, b. 解 设a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T. 因为, 而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5. 16设是一组维向量,已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.证明 维单位向量线性无关. 不妨设:所以 两边取行列式，得 由 即维向量组所构成矩阵的秩为. 故线性无关.17设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.证明设为一组维单位向量，对于任意维向量则有即任一维向量都可由单位向量线性

9、表示.线性无关，且能由单位向量线性表示，即故 两边取行列式，得 由 令 . 由即都能由线性表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：可由线性表示，由16题知线性无关.18. 设向量组a1, a2, , am线性相关, 且a10, 证明存在某个向量ak (2km), 使ak能由a1, a2, , ak-1线性表示. 证明 因为a1, a2, , am线性相关, 所以存在不全为零的数l1, l2, , lm, 使l1a1+l2a2+ +lmam=0,而且l2, l3, , lm不全为零. 这是因为, 如若不然, 则l1a1=

10、0, 由a10知l1=0, 矛盾. 因此存在k(2km), 使lk0, lk+1=lk+2= =lm=0,于是 l1a1+l2a2+ +lkak=0,ak=-(1/lk)(l1a1+l2a2+ +lk-1ak-1),即ak能由a1, a2, , ak-1线性表示.19设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.证明若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示,则 综上所述知即若令,其中为实数则有又,则由于线性无关,所以即 （1）由于则(1)式等价于下列方程组: 由于 所以方程组只有零解.所以线

11、性无关, 证毕.20. 设,证明向量组a1, a2, , an与向量组b1, b2, , bn等价. 证明 将已知关系写成,将上式记为B=AK. 因为,所以K可逆, 故有A=BK -1. 由B=AK和A=BK -1可知向量组a1, a2, , an与向量组b1, b2, , bn可相互线性表示. 因此向量组a1, a2, , an与向量组b1, b2, , bn等价.21. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x, 且向量组x, Ax, A2x线性无关. (1)记P=(x, Ax, A2x), 求3阶矩阵B, 使AP=PB; 解 因为 AP=A(x, Ax, A2x) =(Ax

12、, A2x, A3x) =(Ax, A2x, 3Ax-A2x) , 所以. (2)求|A|. 解 由A3x=3Ax-A2x, 得A(3x-Ax-A2x)=0. 因为x, Ax, A2x线性无关, 故3x-Ax-A2x0, 即方程Ax=0有非零解, 所以R(A)3, |A|=0.22求下列齐次线性方程组的基础解系:(1) (2) (3).解(1)所以原方程组等价于 取得 ; 取得.因此基础解系为(2) 所以原方程组等价于取得; 取得.因此基础解系为(3)原方程组即为取得取得取得所以基础解系为23设,求一个矩阵,使,且.解由于,所以可设. 则由 可得, 解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵2

13、4求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为.解显然原方程组的通解为,()即 消去得 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组 I: , II: . 求: (1)方程I与II的基础解系; (2) I与II的公共解. 解 (1)由方程I得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 0)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, 1)T. 因此方程I的基础解系为 x1=(0, 0, 1, 0)T, x2=(-1, 1, 0, 1)T. 由方程II得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)

14、T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, -1)T. 因此方程II的基础解系为 x1=(0, 1, 1, 0)T, x2=(-1, -1, 0, 1)T. (2) I与II的公共解就是方程 III: 的解. 因为方程组III的系数矩阵 , 所以与方程组III同解的方程组为 . 取x4=1, 得(x1, x2, x3)T=(-1, 1, 2)T, 方程组III的基础解系为 x=(-1, 1, 2, 1)T. 因此I与II的公共解为x=c(-1, 1, 2, 1)T, cR.26设阶矩阵满足,为阶单位矩阵,证明 (提示:利用矩阵性质6和8。)证明所以由21题所证

15、可知又由11题所证可知由此27. 设A为n阶矩阵(n2), A*为A的伴随阵, 证明. 证明 当R(A)=n时, |A|0, 故有 |AA*|=|A|E|=|A|0, |A*|0, 所以R(A*)=n. 当R(A)=n-1时, |A|=0, 故有 AA*=|A|E=0,即A*的列向量都是方程组Ax=0的解. 因为R(A)=n-1, 所以方程组Ax=0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R(A*)=1.当R(A)n-2时, A中每个元素的代数余子式都为0, 故A*=O, 从而R(A*)=0.28求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：(1) (2)解(1)

16、(2) 29设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量且，求该方程组的通解解 由于矩阵的秩为3，一维故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解：，30. 设有向量组A: a1=(a, 2, 10)T, a2=(-2, 1, 5)T, a3=(-1, 1, 4)T, 及b=(1, b, -1)T, 问a, b为何值时 (1)向量b不能由向量组A线性表示; (2)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一; (3)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解 .

17、 (1)当a=-4, b0时, R(A)R(A, b), 此时向量b不能由向量组A线性表示. (2)当a-4时, R(A)=R(A, b)=3, 此时向量组a1, a2, a3线性无关, 而向量组a1, a2, a3, b线性相关, 故向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一. (3)当a=-4, b=0时, R(A)=R(A, b)=2, 此时向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一. 当a=-4, b=0时, 方程组(a3, a2, a1)x=b的解为 , cR. 因此 b=(2c+1)a3+(-3c-1)a2+ca1, 即 b= ca1+(-3c-1)a2+(2c+1)a3, cR

18、.31. 设a=(a1, a2, a3)T, b=(b1, b2, b3)T, c=(c1, c2, c3)T, 证明三直线 l1: a1x+b1y+c1=0, l2: a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi20, i=1, 2, 3) l3: a3x+b3y+c3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a, b线性无关, 且向量组a, b, c线性相关. 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组, 即有唯一解. 上述方程组可写为xa+yb=-c. 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a, b唯一线性表示, 而c能由a, b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a, b线性无关,

19、且向量组a, b, c线性相关. 32. 设矩阵A=(a1, a2, a3, a4), 其中a2, a3, a4线性无关, a1=2a2- a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解. 解 由b=a1+a2+a3+a4知h=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一个解. 由a1=2a2- a3得a1-2a2+a3=0, 知x=(1, -2, 1, 0)T是Ax=0的一个解. 由a2, a3, a4线性无关知R(A)=3, 故方程Ax=b所对应的齐次方程Ax=0的基础解系中含一个解向量. 因此x=(1, -2, 1, 0)T是方程Ax=0的基础解系. 方程Ax=b的通解为

20、x=c(1, -2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, cR.33设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)线性无关； (2) 线性无关。证明 (1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数使得下式成立: (1)其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。由于为特解，为基础解系，故得而由(1)式可得 故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得产生矛盾,假设不成立, 故线性无关.(2)反证法,假使线性相关.则存在着不全为零的数使得下式成立: （2）即1) 若,由于是线性无关的一组基础解系,故,由(2)式得此时 与假设矛盾.2) 若

21、由题(1)知, 线性无关,故 与假设矛盾,综上,假设不成立,原命题得证.34.设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足.证明也是它的解.证明 由于是非齐次线性方程组的个解.故有 而 即 （）从而也是方程的解35设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无关的解(由题24知它确有个线性无关的解)试证它的任一解可表示为 （其中）.证明设为的任一解由题设知：线性无关且均为的解取，则它的均为的解用反证法证：线性无关反设它们线性相关，则存在不全为零的数：使得即 亦即 由线性无关知矛盾，故假设不对线性无关，为的一组基由于均为的解，所以为的解可由线性表出令则, 证毕36设问是不是向量空间？为什么？证明

22、 集合成为向量空间只需满足条件：若，则若，则是向量空间，因为：. ., 且 故故不是向量空间，因为：故. 故当时，37试证:由所生成的向量空间就是.证明 设 于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3,所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间就是.38由所生成的向量空间记作,由所生成的向量空间记作,试证 .证明 设, 任取中一向量,可写成,要证,从而得由得上式中,把看成已知数,把看成未知数 有唯一解同理可证: () 故39验证为的一个基,并把 用这个基线性表示.解 由于即矩阵的秩为3. 故线性无关，则为的一个基.设，则 故设，则 故线性表示为 40. 已知R3的两个基为 a1=(1, 1, 1)T, a2=(1, 0, -1)T, a3=(1, 0, 1)T, b1=(1, 2, 1)T, b2=(2, 3, 4)T, b3=(3, 4, 3)T.求由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的过渡矩阵P. 解 设e1, e2, e3是三维单位坐标向量组, 则 , , 于是 ,由基a1, a2, a3到基b1, b2, b3的过渡矩阵为 .45