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1、第二十一章 二次根式 21.1 二次根式 1.二次根式：式子 (a0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如 不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ， ， .都不是最简二次根式，而 ， ，5 ， 都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式，因为 =2 ， =3 ，它们与 的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，
2、如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如 与 ，a+ 与a- ， - 与 + ，互为有理化因式。二次根式的性质：1. (a0)是一个非负数, 即 0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即 = （a0,b0）。5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即 = （a0,b0）。21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（0，0）。说明：（1）法则中、
3、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；（2）（0，0）可以推广为（0，0）； （0，0，0，0）。（3）等式（0，0）也可以倒过来使用，即（0，0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（0，0）。说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，0，在分母中，因此0；（2）（0，0）可以推广为（0，0，0）；（3）等式（0，0）也可以倒过来使用，即（0，0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。3
4、. 最简二次根式一个二次根式如果满足下列两个条件：（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；（2）被开方数中不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。说明：（1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；（2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简；（3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式 （1）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。 注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是
5、否相同。 （2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变。 2. 二次根式的加减 （1）二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。 （2）二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号再合并同类二次根式，同类二次根式相当于同类项。 一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行： i）将每一个二次根式都化简成最简二次根式 ii）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组 iii）合并同类二次根式 3. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、
6、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点： （1）观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 （2）在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。 （3）观察式中二次根式的特点，合理使用运算律和运算性质，在实数和整式中的运算律和运算性质，在二次根式的运算中都可以应用。 4. 分母有理化 （1）我们在前面的学习中研究了分母形如 形式的分式的分母有理化 综合起来，常见的有理化因式有： 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 ， 的有理化因式为 （2）分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。