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1、经济数学基础（上）数学笔记整理第二章 导数与微分（P49）目录一、导数的符号要清楚1二、导数的几何意义1三、可导与连续的关系1四、导数的基本公式与练习题1五、切线方程问题3六、复合函数的求导4七、隐函数的导数7八、高阶导数7九、微分8十、可微、可导和连续、极限的关系9一、 导数的符号要清楚（P51，52都有），最简单的就是y二、 导数的几何意义（P55）函数y=f（x）在点x0处的导数fx0，就是曲线y=f（x）在点（x0，y0）处切线的斜率，k=fx0，切线的方程为y-y0=fx0（x-x0）三、 可导与连续的关系（P56，2.1.5）定理2.1和注意可导连续（充分条件）y=f（x）的图像在
2、点x0处出尖，则f（x）在x0处不可导。例：y=x，图像如下, 此时，当x=0时，图像出尖，不可导。四、 导数的基本公式与练习题（P6566，2.2.6的1.，2.，3.，）就记书上的前8个就行了，其他的不用记再多记2个：1x=-1x2 x=12x【练习1：求导】 y=5x2+3x3-2x+4cosx+ln7 解：有分式，商的导数不好算，可以先化简。y=5x2+3x-3-2x+4cosx+ln7y=10x-9x-4-2xln2+4-sinx+0【注意ln7为常数，常数的导数为0哦！】= 10x-9x4-2xln2-4sinx y=（1+2x）（5x2-3x+1）解决此题有2种方法，方法一是直接
3、求。方法二是先打开，再求。你觉得怎么简单就怎么来。一般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都一样的。方法一：直接求。要用到乘积的导数。（先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪个方法简单了。）y=1+2x5x2-3x+1+（1+2x）（5x2-3x+1） =2（5x2-3x+1）+（1+2x）（10x-3） =10x2-6x+2+10x-3+20x2-6x =30x2-2x-1方法二：先打开，再求导。y=（1+2x）（5x2-3x+1） =5x2-3x+1+10x3-6x2+2x=10x3-x2-x+1y=30x2-2x-1【练习2：求导】 y=3x4-5x+ln6解：y=12x3-5【
4、注意：ln6为常数，导数也为0哦！】 y=4ex+3sinx-5cosx解：y=4ex+3cosx+5sinx y=x22x解：y=2x2x+x22xln2 y=xsix+lnx解：y=sinx+xcosx+1x y=4x3-x+1x很容易能看出来，此题必须要化简了。你要是想用商的导数来求的话，是够麻烦的了。解：y=4x3-x+1x=（4x3-x12+1）x-1=4x2-x- 12+x-1y=8x+12x- 32-x-2 y=x2-2xx+1这题就不能化简了，怎么着都是麻烦。商的导数会背吗？要用了。注意所有公式都必须要会背哦！解：y=x2-2xx+1-（x2-2x）（x+1）（x+1）2 =2
5、x-2x+1-（x2-2x）（x+1）2=x2+2x-2（x+1）2【书上的题P75，3，4】P75,3.求导（2）y=x22+x这题就是怎么做都行，你想用乘积的方法做就直接挑战吧。但是为了简单，我们的习惯就是先打开，再求导。y=x22+x=2x2+x52y=4x+52x32（4）y=2x-1x+43此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。X=12x，和1x=-1x2如果这两个公式知道的话，就直接求导。若不知道，就要化成指数的形式。方法一：直接求导。 解：y=212x+1x2=1x+1x2方法二：若并不会背那两个公式，你也可以解题的。先把它化成指数的形式再求导就行了。解：y=2x-1x+43
6、=2x12-x-1+43y=212x-12-（-1）x-2 = x-12+x-2【写成这样就行了，不用再化成根号了】（8）y=x22+2x2这题化简也不容易，直接来商的导数吧！解：y=2x24+-22xx4=x-4x3P75，4.求导（3）y=x2ex解：y=2xex+x2ex= xex（2+x）【怎么样，这些导数还算简单？】五、 切线方程问题从导数的几何意义可知，f（x0）表示曲线y=f（x）在点（x0，y0）处切线的斜率。所以求切线方程就得先求斜率，再运用点斜式，方程就求出来了。例1：求曲线y=x2在点（3,9）处的切线方程解：y=2xk=y3=6方程为y-9=6（x-3），即y=6x-9
7、例2：求y=lnx在x=1处的切线方程写方程得知道斜率和一个点。而这题没给点，则需要先把该点找出来。题目中给了该点的横坐标，纵坐标很好找的嘛！解：y（1）=0切点为（1,0）y=1x k=y1=1方程为y=x-1六、 复合函数的求导（P58，2.2.2）学会了上边的基本的求导，接下来就要学习更难一点的复合函数的求导了。而且，你还别着急，导数这章可是咱们期中考试的重点呐，怎么着也得会点吧？【求导的方法：】 分解复合函数（第一章已经讲过了，不会的去看第一章吧） 分别求导 将导数相乘 把中间变量（u、v、s、t）代回来下面有2道例题，每道题都分为“初级、中级、高级”，哈哈，请对号入座你目前处于什么级
8、别自己心里清楚，能把题做对就可以了嘛。例1：求导：y=lnsinx2+1初级：按照上边的方法一步一步来的说解：分解：y=lnu，u=sinv，v=x2+1分别求导：yu=1u，uv=cosv，vx=2x将导数相乘:y=yuuvvx=1ucosv2x把中间变量（u、v）代回来：y=1sinx2+1cosx2+12x=2xcotx2+1【如果不知道余切公式，可以不用化成余切】中级：省掉了分解函数的步骤，一步一步的求导解：y=1sinx2+1sinx2+1=1sinx2+1cosx2+1x2+1=1sinx2+1cosx2+12x=2xcotx2+1高级：你懂的解：y=cosx2+1sinx2+12
9、x =2xcotx2+1例2：y=sin2（2x3+x）你应该知道，y=sin22x3+x=sin2x3+x2初级：一切从分解复合函数开始解：分解：y=u2，u=sinv，v=2x3+x分别求导：yu=2u，uv=cosv，vx=6x2+1将导数相乘:y=yuuvvx=2ucosv（6x2+1）把中间变量（u、v）代回来：y=2sin2x3+xcos2x3+x（6x2+1） =sin22x3+x6x2+1【如果不会二倍角公式，这步可以不写】= sin4x3+2x6x2+1中级：解：y=2sin2x3+x【sin2x3+x】=2sin2x3+xcos2x3+x2x3+x=2sin2x3+xcos
10、2x3+x（6x2+1）=sin22x3+x6x2+1= sin4x3+2x6x2+1高级：解：y=2sin2x3+xcos2x3+x（6x2+1）=sin22x3+x6x2+1= sin4x3+2x6x2+1复合函数的导数学会了没？现在自己来做几道吧！下边的解题步骤有点高手级别了，不过基本上都是用公式做的，你应该能看懂吧。看不懂的话只能说你公式不会背哦，先把公式背会吧。考试时可是闭卷哦。【书上的题，P76，7（3）（21）（6）（12）（20）（22）。前2道是课堂练习，后4道为作业题】P76，7.求导（3）y=2x-11-x2解：y=2x-11-x2+2x-1（1-x2） =21-x2+2
11、x-1-2x21-x2 =21-x2-x（2x-1）1-x2 =-4x2+x+21-x2（21）y=3cos1x2哦，天呐，最难打的一个公式了，好小的格哦看看是有多复杂的题吧。呵呵，看的懂吗？ 解：y=3u，u=cosv，v=1x2=x-2y=3cos1x2ln3-sin1x2-2x-3= 3cos1x2ln32x-3sin1x2=23cos1x2ln3sin1x2x3下边4道题，凡是抄过我作业的同学，你们写的过程都至少有4、5步，看不懂下边过程的，看作业上的去。如果还不会的话，问我。（6）y=x2-2x+5解：y=2x-22x2-2x+5 =x-1x2-2x+5（12）y=x2sin1x解：
12、y=2xsin1x+x2cos1x（-1x2） =2xsin1x-cos1x（20）y=e-xcos3x解：y=e-x-1cos3x+e-x（-3sin3x） =-e-x（cos3x+3sin3x）（22）y=5xlnx解：y=5xlnxln5xlnx =5xlnxln5（lnx+1）【练习：求导数（复合函数）】 y=（2x3+1）20解：y=u20，u=2x3+1y= 20（2x3+1）196x2 y=sin3（x2+4x）现在都应该知道y=sin3x2+4x=sin（x2+4x）3了吧，不解释。解：y=u3，u=sinv，v=x2+4xy=3sin2x2+4xcosx2+4x2x+4 y=
13、4cos2x解：y=4u，u=v2，v=cosxy=4cos2xln42cosx（-sinx） y=e-xsin3x解：y=e-x-1sin3x+e-x3cos3x =e-x（-sin3x+3cos3x） y=x2cos1x解：y=2xcos1x+x2-sin1x（-1x2） =2xcos1x+sin1x y=coslnx2+4解：y=cosu，u=lnv，v=t，t=x2+4y=-sinlnx2+41x2+412x2+42x =-sinlnx2+4x2+4 y=e2xcos2x解：y=e2xcos2x+e2x（-2sin2x） =e2x（cos2x-2sin2x）七、 隐函数的导数（P62）
14、隐函数求导的方法：（书上有P62）直接来例题试试看：例1：已知方程3x-y+1=0确定了函数y=yx，求y。解：y=3x+1，y=3例2：已知方程ex+lny=y2确定了y=yx，求y。解：ex+1yy=2yyex=2yy-1yy y=2y-1yex例3：已知方程y3+x2=xy2确定了函数y=yx，求y。解：3y2y+2x=y2+x2yy3y2y-x2yy=y2-2x y=y2-2x 3y2-x2y 例4：已知方程4x2+siny=ey确定了函数y=yx，求y。解：8x+cosyy=eyy8x=eyy-cosyy y=8xey-cosy 八、 高阶导数（P66）一阶导数：y=dydx二阶导数
15、：y=（y）三阶导数：y=（y）二阶导数及二阶以上的导数，都叫高阶导数。n阶导数：y（n）=y（n-1）例1：y=3x4+5x2y=12x3+10x，y=36x2+10，y=72x，y（4）=72 y（5）=y（6）=y（n）=0 【y=a0xn+a1xn-1yn=a0n！yn+1=yn+2=0】例2：y=x2cosx，求y（2）解：y=2xcosx-x2sinxy=2cosx-2xsinx-2xsinx-x2cosx =2cosx-4xsinx-x2cosxy2=-2九、 微分（P68）1. y=f（x）在点x处，将dy记作y的微分。dy=ydx。dx记作x的微分，是一个必须要带着的符号。如
16、何判断方程的左边与右边呢？有dx的就是方程的右边。2. 求微分：求导，后边再加上dx就可以了。如下： y=sin（x2+2）解：y=2xcos（x2+2）dy=2xcosx2+2dx y=ln（3x4+5x）解：y=12x3+53x4+5xdy=12x3+53x4+5xdx y=6x+62解：y=x16+62y=16x-56 dy=16x-56dx3. 左边（微分）dsinx=cosxdx dcosx=-sinxdx dlnx=1xdx dx2=2xdx dex=exdx 右边（积分）xdx=d（12x2） cosxdx=d（sinx） sinxdx=d（-cosx） exdx=dex 1xdx=dlnx 十、 可微、可导和连续、极限的关系可微可导连续有极限第10页，共9页。