第一章集合与简辑.docx_三一文库31doc.com

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1、第一章集合与简易逻辑备考核心建议：学习本章内容要掌握集合的语言、符号以及逻辑联结词“或” “且” “非”的含义;要准确掌握集合、元素、子集、交集、并集、补集、命题、充要条件等概念;强化数形结合意识;解题时要渗透函数方程、逻辑划分、等价转化等思想,灵活应用配方法、图象法、判别式法.高考中集合知识多以选择题出现,一是考查集合本身,如集合的交、并、补运算;二是考查集合语言和思想的运用,如函数的定义域和值域、方程与不等式的解集、解几的轨迹、立几的符号语言等.简易逻辑是新增内容,重点是命题的构成与等价关系.结合其内容的特点,在高考也只会以选择或填空形式出现,但有一定的综合性,难度低中档.基础全程串练：权

2、威试题设计一、选择题1.满足集合1,2的集合的个数是 ( ) (A)8 (B)7 (C)6 (D)52.设nN*,集合P=x|x=n,Q=x|x=,R= x|x=n-,则 ( ) (A) (B) (C)Q=PR (D)Q=PR3.若ax2+5x+c0的解集是,则a和c的值为 ( ) (A)a=6,c=1 (B)a=6,c=-1 (C)a=-6,c=1 (D)a=-6,c=-14. M、N、S是三个集合,条件p:SM,条件q:S(MN),则p是q的 ( )(A) 必要不充分条件(B) 充分不必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5.设全集U=a,b,c,d,e,M=a,c,d,N=

3、b,d, e,那么(CUM)(CUN)等于 ( ) (A) (B)d (C)a,c (D)b,e6.若集合A=3,a,B=x|x2-3x0,xZ,且AB=1,则AB等于 ( ) (A)1,3,a (B)1,2,3,a (C)1,2,3 (D)1,37.设全集U=R,集合M=1,2,3,4,集合N=x|x,则M(CUN)=( ) (A)4 (B)3,4 (C)2,3,4 (D)1,2,3,48.如果命题“非P或非q”是假命题,则在下列各结论中:(1)命题“p且q”是真命题; (2)命题“p且q”是假命题;(3)命题“p或q”是真命题;(4)命题“p或q”是假命题.正确的为( ) (A)(1)(3

4、) (B) (2)(4) (C)(2)(3) (D)(1)(4) 9.原命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中( ) (A)为真命题的个数一定是奇数 (B)为真命题的个数一定是偶数 (C)为真命题的个数或是奇数或是偶数 (D)以上判断都不正确10.设集合M=x|,则集合M 中元素个数为( ) (A)2个 (B)4个 (C)8个 (D)6个11.若集合M=x|x2-2x-30,P=x|x|a,且PM,则实数a的取值范围是 ( ) (A)0a1 (B)a1 (C)-1a3 (D)a112. |x-1|+|x-2|3的最小整数解是( ) (A)0 (B)-1 (C)1 (D)213.若不等式|2x-l

6、1=0,若AB=A,则实数m的取值范围是 .三、解答题19.若A=2,4,a3-2a2-a+7,B=-4,a+3,a2- 2a+2,a3+a2+3a+7,且AB=2,5,求实数a的值,并求出AB.20.解关于x的不等式:a|x-1|a+2.21.若集合A=x|-2k+6xk2-3,B=x|-k xb,b0=x|x4 ,则a2+b= .题(2).若关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1) x-10的解集是R,则a的取值范围是( ) (A)a-或(B)-a1或a=-1(C)-a1 (D)以上均不正确答案:(1).10;(2).C.小于零的解集是R,表明二次函数开口向下,且与x轴没有交点,即 ,解

7、得-a1.但本题要注意二次系数为零的特殊情况,当a=-1时,原不等式为2x-10,解集不是R;当a=1时,原不等式为-10.命题甲: |a-b|2h,命题乙:|a-1|h,且|b-1|甲,但甲乙.(2)A.本题考查基本不等式性质.与等价.5.A.本题重在考查集合交、并、补运算. 解法1:分步计算,CUM=b,e,CUN=a,c, (CUM)(CUN)=.解法2.利用集合运算性质,(CUM)(CUN)=CU(MN).解法3.利用韦恩图,画图直观呈现.图略6.C.求集合的并集,要注意集合中元素的互异性.本题由集合的交集,可以确定a的值.这是集合运算的基本问题.由AB=1,知1A,所以a=1.而B=

9、实上,这里从选择题的特点出发,可以发现选择支(A)与(B)中至多有一个正确,同样在选择支(C)与(D)中也至多有一个正确.另外还有:若(1)为真,则(3)也真;若(4)正确,则(2)也正确.从上述逻辑关系可以否定(C)(D),只要从(A)(B)中加以选择. 9.B.命题的四种形式中,关系是相互的,是互逆、互否、互为逆否,特别要注意逆命题与否命题互为逆否命题.而互为逆否的命题同真同假,因此,真命题的个数必为偶数. 类似的问题有:题:与命题“若mM,则nM”等价的命题是 ()(A)若mM,则nM(B)若nM,则mM(C)若mM,则nM(D)若nM,则m 答案:D. 10.C.把描述法表示的集合用列

10、举法表示,要认清元素满足的公共属性.使为整数的整数x,必须满足x+3是8的约数,即x+3=8、4、2、1,故x的值有8种可能. 11.B.P是的真子集,P中的每一个元素都属于M,当a0时,P=x|-axa,而M=x|-1x3,在数轴上画出两个集合对应的区域,通过动态分析可知,解得0a1.但要注意P为空集的情况,即a0时,也有PM. 类似问题有: 题(1):设集合M=x|-1x2,N=x|xa,若MN,则a的取值范围是( ) (A)(-,2 (B)(-1,+) (C)-1,+ (D)-1,1 题(2): 若集合M=x|x-a|0,且MN=R,则实数a的取值范围是 . 答案:(1)C;x-1+a1

11、+aMxa(3)3(a)NN(图1)(2)2a0,需要分类讨论.如图1,知-1+aa31+a或-1+a3a1+a,解得2a4. 12.A.解绝对值不等式的关键是去绝对值号,这时要针对不等式的结构,适当采用平方法或定义法完成.结合本题的特殊性,有三种解法可供选择:解法1:用定义去绝对值号,针对(x-1)与(x-2)的正负分段求解.原不等式可化为,或,或,可得解集为x|0x3. 解法2:用绝对值的几何意义,|x-1|与|x- 2|分别表示数轴上x对应的点到1与2的距离,而到1与2两点距离之和小于等于3的x0,3.故原不等式解集为x|0x3. 解法3.求原不等式的最小整数解,可赋值验证逐一排除.-1

12、不是不等式的解,而0是不等式的解,故0是最小整数解. 13.C.这是一道似是而非的不等式问题,看似解绝对值不等式,但不易去绝对值号.实际是对绝对值不等式性质的考查. 因为|a-b|a|+|b|,当且仅当ab0时取等号,而这里有|2x-log2x|0,即log2x0,解得x1. 注意隐含条件的挖掘,本题中由对数性质知x0,所以条件中后一个“2x”是“|2x|”,这样才能显现绝对值不等式的性质应用. 14.D.对于集合间的运算,除了要认清集合元素的公共属性外,还要明确集合的代表元素是什么.本题中M是以(2,0)为圆心,2为半径的圆上的点的集合,N是以(1,0)为圆心,1为半径的圆上的点的集合.借助

13、数形结合,在同一坐标系内,画出图形易知.要注意集合M与集合M= (x,y)|(x-2)2+y24的区别,M是圆及其内部点的集合. 类似问题有: 题(1):若集合A=y|y=x2+1,xR,B= y|y=x +1,xR,则AB=( ) (A)(0,1),(1,2) (B)(0,1)(C)(1,2) (D)x|x1 题(2):若集合M=(x,y)|x+y=0,N=(x,y) |x2+y2=0,则有( ) (A)MN=M (B)MN=N (C)MN=M (D)MN= 答案:(1)D;(2)A.二、填空题15.a=-3,b=7.元素(x,y)既可以看作点的坐标,也可以视为二元方程的一对有序解. 条件(

15、|-x.21.两个集合都是实数区间,考察两个区间之间的包含关系,利用数轴,数形结合较为直观.但要注意真包含与包含的差别,特别是区间端点是否能取到等号的问题.另外,还要注意隐含条件的挖掘,B集合不能为空集,即-kk必须成立.AB,但等号不能同时成立,故k(0,).22.由AB=B得,而集合A=0, -4,故需要利用分类讨论的思想对集合B分不同情况进行处理.要注意集合B为空集这一特殊情况,不要疏忽遗漏,这是高考题考查集合时要特别关注的. 若B=,则方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的判别式0,解得a-1.若B=0或-4,则方程x2+2(a+1)x+a2-1=0中=0,解得a=-1,此时B=x|

16、x2=0=0,满足题意.若B=0,-4,则方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根为0和-4,即,解得a=1.综上, a=1或a-1.23.参数a的变化影响集合B的形式,可通过二次函数的图象,使这种变化得到恰如其分的刻划,动静结合,体现完美的数学思想. 集合A=x|1x4,对于集合B,令f(x)=x2-2ax+a+2,则集合B中元素为f(x)图象在x轴下方(或其上)的点的横坐标(如图),欲使BA且B,则二次函数f(x)及其图象必须满足如下条件:xyo14,解得2a.24.有关二次方程根的分布问题,解决方法有两种,其一:利用根与系数的关系,但要注意等价性,如本题不能通过求解;其二:利用二次函

17、数的图象,讨论交点与根分布的关系.解法1:设根为x1,x2,则即,解得-7m-3-2.解法2:二次函数f(x)=x2+(m+3)x+3和x轴两交点均在点(1,0)右侧,其充要条件为,解得-7m-3-2.跨越创新热线热点创新设计一、选择题1.设A=xR|f(x)=0,B=xR|g(x)=0, C=xR|=0,U=R ,那么( )(A)C=A(CUB) (B)C=A(CUB)(C)C=AB (D)C= (CUA)B 2.设M=a,2,3,4,N=1,b,3,MN=1,2, 3,4,5,则a、b的值共有 ( ) (A)2组 (B)3组 (C)4组 (D)5组 3.已知集合M=x|x=3n,nZ,N=

18、x|x= 3n+1,nZ,P=x|x=3n-1,nZ,且aM,bN,cP.设d=a-b+c,则( ) (A)dM(B)dN (C)dP(D)dMP4.设集合M=-1,0,1,N=a,a2,则使MN=M成立的a的值是（） (A)-1 (B)0 (C)1 (D)-1或15.若集合A=x|x2-11x-120,集合B=x| x=2(3n+1),nZ,则AB=( ) (A)2(B)2,8(C)4,10 (D)2,4,8,106.已知集合A=(x,y)|y=sinx,x(0,2), B=(x,y)|y=a,aR,则集合AB的子集个数最多有( ) (A)1个 (B)2个 (C)4个 (D)8个7.已知集

19、合P=(x,y)|x|+|y|=1,Q=(x,y)| x2+y21,则( ) (A)PQ (B)P=Q (C)QP(D)PQ=Q8.若关于x的不等式x2-4xm对任意x(0,1)恒成立,则( ) (A)m-3 (B)m-3 (C)-3m0 (B)a+b+cb (D)3b2c12.已知0ab,则结论:“|x+a|b”的充分不必要条件是( ) (A)|x+b|a (B)|x-a|g(x)恒成立的充要条件是( ) (A)存在xR,使f(x)g(x) (B)存在无数多个xR,使得f(x)g(x) (C)对任意xR,都有f(x)g(x)+1 (D)不存在xR,使f(x)g(x)二、填空题14.若A、B是

20、两个非空集合,且AB=,设M=A的真子集,N=B的真子集,则MN= .15.若a,ab,lgab=0,|a|,b,则a= ,b= .16.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间-1,1内至少存在一个实数c,使f(c)0,则实数p的取值范围为 .17.定义M-N=x|xM,且x,若M= 1,3,5,7,9,N=2,3,5,则M-N= .18.若函数y=x2-2x+1+b的定义域为A=x| x2,值域为B,且AB,则b的取值范围是 .三、解答题19.已知下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数

21、根,求实数a的范围.20.设p:|1-|2,q:x2-2x+1-m20(m0),若是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.21.在一次考试中,某班级有36人的数学成绩不低于120分,有20人的物理成绩不低于120分,且有12人的数学、物理成绩都不低于120分.问有多少人在这两们成绩中至少有一科不低于120分?22.已知函数f(x)对其定义域内的任意两个实数a,b,当ab时,都有f(a)f(b),求证: f(x)=0至多有一个实根.23.设集合M=x|x=a2-b2,a,bZ.求证: (1)奇数属于M; (2)偶数4k-2(kZ)不属于M; (3)属于M的两个整数,其积属于M.24.若集合P=

23、-1,3,求B.30.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,bR, a0),设x1、x2为方程f(x)=x的两根. (1)如果x12x2-1; (2)如果|x1|2,|x2-x1|=2,求b的范围.名师出招解答一、选择题1.B.本题重在用集合语言表述方程解的情况.方程=0等价于f(x)=0且g(x)0,故C=A(CUB).2.C.MN=1,2,3,4,5,而M与N集合中已有元素1,2,3,4,故a,b中必有一个为5,另一个可以是15中的任一数,但要注意集合中元素的互异性.若a=5,b=2,4,5;若b=5, a=1,5,有一组重复.3.B.本题是整数的分类问题.一个整数被3除的余数有0、

24、1、2三种可能.解法一:d=a-b+c=3n1-(3n2+1)+(3n3-1)= 3(n1-n2+n3)-2=3(n1-n2+n3-1)+1.解法二:特殊值法,a=3,b=4,c=2,则d=a- b+c=1N反思:对于这类集合与元素的关系问题,通常可以用特殊值直接挑选,也可用推理法,但要注意三个集合中的n是各不相同的,同时还要弄清该类集合中元素的组成,找出其特征.4.A.由MN=M,得NM,即aM,a2M,但要注意集合的互异性.5.B.A=x|-1x12,给集合B中的n赋值,n可取0、1,故B=2,8.xyo6.C.本题分两个层次,一是AB的含义,表示正弦函数y=sinx在区间x(0,2)上的

25、图象与直线y=a的交点个数,由正弦函数的图象容易知道,交点最多有2个;二是求一个有限集合的子集个数,有22=4个.7.A.两个集合都是点集,集合Q比较简单,是单位圆及其内部,集合P比较复杂,可利用定义去绝对值号,P=(x,y)|x+y=1(x0,y0),或x-y=1(x0,y0),或-x+y=1(x0,y0),或-x-y=1(x0,y0),因此图形是四条线段围成的平面图形(正方形),如图所示.8.A.对于一元二次不等式的解集问题,要注意和二次函数的图象与性质联系起来.“不等式x2-4xm对任意x(0,1)恒成立”等价于“m小于等于函数y=x2-4x,x(0,1)的最小值”.9.C.所求集合中元

26、素的个数,实际上是函数y=f(x)的图象与直线x=a交点的个数.由函数的定义可知,对于每一个自变量x,都有唯一的y与之对应,但x=a中的a不一定在定义域中.故交点有0个或1个.10.D.集合P表示单位圆,集合Q表示直线,条件PQ说明直线与圆有公共点,由圆的几何性质知:圆心到直线的距离不大于半径,即1.本题在准确把握集合所表达对象的基础上,转化为解析几何问题.但在用解析法处理时,又借助几何性质,不单纯用代数方法研究几何问题,使解题过程简化.xyO321-111.D.研究二次函数的图象与性质,离不开数形结合.因为对称轴为x=1,一根在区间(2,3)上,所以另一根在区间(-1,0)上.由二次函数开口

27、向下,得a0, f(-1)0,f(1)0(如图),所以a0, c0,a-b+c0,故(A)(B)(C)错误.或由-=1,代入(*)得-3b+2c0.12.A.从绝对值不等式的形式出发,很难发现结论与选择支的关联,需要通过解不等式,从不等式的解集角度建立二者的联系与差别.用集合观点看,如果AB,则“xA”可推出“xB”,但是“xB”却推不出“xA”,所以“xA”是“xB”的充分不必要条件.因此,这里要在四个选择支中寻找结论的充分不必要条件,就是要寻找四个选择支中所给出的不等式的解集中,哪一个是结论解集的真子集,则该选择支就是所选.结论不等式|x+a|b的解集为(-a-b,b-a),而四个选择支不

28、等式的解集分别为(-a-b, a-b)、(a-b,a+b)、a-b,a+b、-a-b,a-b.由于0ab,所以在上述四个不等式的解集中,仅有(-a-b,a-b)是(-a-b,b-a)的真子集,故由|x+b|a可推出|x+a|b,但反之不成立13.D.可利用原命题与逆否命题是等价命题的方法来判断.二、填空题14.值得注意的是,这里的集合M、N都是集合的集合.因为空集是任何非空集合的真子集,所以空集是集合M、N中的公共元素.15.-1,-1.本题主要考查集合的无序性和互异性.由0是集合中的元素,又a、b不能为零,所以lgab=0,即ab=1,所以1是0,|a|,b中的元素,即|a|=1或b=1.若

29、b=1,则a=ab,舍去;若a=1,则b=1,也舍去;若a=-1,则b=-1,集合为0,-1,1符合条件.16.-3p0,则只要使f(-1)0或f(1)0即可.解不等式4+2(p-2) -2p2-p+10或4-2(p-2)-2p2-p+10,得-3p.17.1,7,9.本题是新定义试题,要求在理解新定义的基础上,完成解题.M-N是由只属于集合M,且不属于集合N的元素构成的集合.18.b1.求解二次函数在区间上的值域,要注意区间与对称轴的相对位置关系因为定义域A=x|x2,而对称轴为x=1,所以值域B=y|y1+b.而AB,故21+b,即b1.三、解答题19.二次方程是否有实根的判断是比较容易的

30、,但多个方程的判断,需要一定的运算方法与技能.三个方程分别有实数根的条件是:1 =(4a)2-4(-4a+3)0,2=(a-1)2-4a20, 3=(2a)2-4(-2a)0,解得:a-或a, -1a,a-2或a0.而三个方程至少有一个方程有实数根时,a的取值范围应是以上三种情况的并集,所以a-或a-1.或从问题的反面入手,先考虑三个方程都没有实数根的a的取值范围,再求其补集.20.由|1-2,得-2x10,所以“p”:A=x|x10.由x2-2x+1- m20,得1-mx1+m(m0),所以“q”:B=x|x1+m或x0.由“p”是“q”的必要不充分条件,知A,所以,解得0m3.AB21.这

31、是高考题中求集合元素个数的一类题目,只不过本题入手要先转换成集合语言,这是本题的关键,但并集中元素的个数寻求要注意元素的互异性.用A、B分别表示数学、物理成绩不低于120分的学生的集合,则两科成绩中至少有一科不低于120分的学生人数为36+20-15=41.22.本题考查反证法的运用,函数单调性及函数与方程的关系.假设f(x)=0至少有二个不同的实根x1, x2,不妨设x1x2,由方程的定义,知f(x1)=0, f(x2)=0,则f(x1)=f(x2).这与已知x1x2时,有f(x1)f(x2)矛盾,因此假设不成立.故原命题成立.23.对于用描述法表示的集合,关键是通过描述的公共特性,把握集合

32、中数学对象的本质特征.本题集合M中的元素是可以表示为两个整数平方差的整数. (1)奇数2k+1=(k+1)2-k2(kZ),2k+1M. (2)假设4k-2M,则可设4k-2=a2-b2 (a,bZ),即4k-2=(a+b)(a-b).a-b与a+b的奇偶性相同,(a+b)(a-b)是奇数或是4的倍数.这与4k-2是偶数且不是4的倍数矛盾,故假设不成立,即4k-2. (3)设x1,x2M,且x1=a2-b2,x2=c2-d2,则:x1x2=(a2-b2)(c2-d2)=a2c2-a2d2-b2c2+b2d2 =a2c2+2acbd+b2d2-a2d2-2adbc-b2c2 =(ac+bd)2-

33、(ad+bc)2所以x1x2M. 反思:要证明一个元素x属于M,而集合M又是用描述法表示的,只须证x满足集合M的公共属性;要证明一个元素xM,一般采用反证法,本题中利用整数的奇偶分析.第3小题的证明过程中,其关键是通过添项的方法进行配方.24.利用数形结合思想处理点集问题,图形之间的包含关系可以直观反映集合之间的包含关系.点集P表示平面上以O1(-2,3)为圆心,r1 =2为半径的圆所围成的区域(包括圆周),点集Q表示平面上以O2(-1,m)为圆心,r2= 为半径的圆的内部,要满足PQ=Q,应该使得圆O2内含或内切于圆O1,故|O1O2|r1-r2|,即|2-|,解得3-m3+.25.用集合语

34、言描述解析几何中直线与二次曲线的关系问题,关键在准确理解集合语言的含义.由(AB)C=,得AC =且BC=.由消去y得k2x2+(2kb-1)x+b2 -1=0.当k=0时,有解x=b2-1,不合题意;当k0时,由1=(2kb-1)2-4k2(b2-1) (*).又由消去y得4x2+2(1-k)x+5-2b=0,由2=4(1-k)2-16(5 -2b)0,解得b1,而得1b.因为b是自然数,所以b=2,代入(*)(*)得1-k1 +,于是自然数k=1.故满足题意的自然数为k=1,b=2.26.集合语言是描述数学问题的一种表现形式.深层次地认识集合所描述的对象,把握问题的本质特征是解决问题的关键.BC,即集合B的元素都是集合C的元素,B中的元素必定具有C集的性质.因此,问题转化为:sin2+sin22r2对一切(0,2)总成立,利用函数思想,r2大于或等于sin2+sin22的最大值.设y=sin2+sin22,得y=-4

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