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1、第二章 有理数的运算本章是继第一章把数从自然数扩展到有理数，初步形成有理数的概念后，进一步学习有理数的运算，是第一章的延续和发展。本章的主要内容是有理数的加、减、乘、除和乘方运算（包括用计算器进行计算），以及与乘方和有理数运算密切相关的科学记数法、近似数和有效数字等。数从自然数、分数扩展到有理数后，数的运算从内涵到法则都发生了变化，必须在原有的基础上重新建立。这种数的运算法则的变化，主要原因是增加了负数的概念。而到学了第三章实数，数系扩展到实数后，数的运算的内涵和法则(包括运算律)并没有多大变化，从这个意义上来说，有理数的运算是实数运算的基础和依据，也是代数式四则运算的重要基础。因此，本章内容
2、在第三学段的数学教学中的地位是至关重要的。准确数和近似数、计算器的使用也是本章的教学内容，它是应用有理数解决实际问题所必需的。尤其计算器的使用，是标准所倡导的重视数学技术的标志之一。本套教材将计算器取代了传统教材中的全部查表内容，不仅给学生学习带来方便，减轻学生负担，也给学生探索数学问题提供了有效的工具，对改变学生的学习方法和思维方式都产生良好的影响。有理数的减法是加法的逆运算，有理数的除法是乘法的逆运算，因此，减法和除法可以转化为加法和乘法，而乘方可以看做乘法的特殊情况，所以本章教学的重点是有理数的加法和乘法运算。有理数的混合运算需要运用多种法则，较复杂的符号判别和运算顺序是本章教学的主要难
3、点。本章教学时间约需16课时 ，具体安排如下：2.1 有理数的加法 2课时2.2 有理数的减法 2课时2.3 有理数的乘法 2课时2.4 有理数的除法 1课时2.5 有理数的乘方 2课时2.5 有理数的混合运算 1课时2.6 准确数和近似数 1课时2.7 计算器的使用 1课时复习、评价3课时，机动使用1课时，合计 16课时。一、教科书内容和课程教学目标 （1）本章知识结构框图如下：有理数的运算乘 法乘法法则倒 数乘法运算律交换律结合律分配律减 法减法法则加减混合运算转化为加法统一成加法加 法加法法则加法运算律交换律结合律乘 方乘方的意义乘方运算科学记数法除 法除法法则除法与乘法间的关系有理数的
4、混合运算加、减、乘、除、乘方混合运算的法则准确数和近似数准确数和近似数的概念有效数字计算器的使用加、减、乘、除、乘方运算按键方法（2）本章教学目标如下： 目标类别 目标层次知识点及相关技能知识技能目标过程性目标了解理解掌握灵活运用经历(感受)体验(体会)探索有理数的加法通过实例经历有理数加法法则的产生过程有理数的加法法则加法的运算律求两个(或若干个)有理数的和运用有理数的加法解决简单实际问题常见的求和简便算法有理数的减法通过实例经历有理数减法的产生过程有理数的减法法则减法与加法的相互转化求两个有理数的差将加减统一为加法，并化为省略加号的和式若干个数的加减混合运算矛盾对立的双方，在一定条件下互相
5、转化的辩证唯物主义思想运用有理数的加减法解决简单实际问题有理数的乘法通过实例、类比的方法和数轴，经历乘法法则的产生过程有理数的乘法法则乘法的运算律求若干个有理数相乘的积倒数的概念运用有理数的乘法解决简单实际问题有理数的除法根据除法是乘法的逆运算，归纳有理数的除法法则有理数的除法法则运用除法法则求两个有理数相除的商零不能作除数将除法转化为乘法若干个有理数的乘除运算有理数除法的简单应用矛盾对立的双方，在一定条件下互相转化的辩证唯物主义思想有理数的乘方通过实际例子经历乘方概念的产生过程乘方、幂、指数、底数的概念乘方与幂的表示法有理数的乘方运算幂的符号法则科学记数法乘方的简单应用，对较大的数字信息作出
6、合理的解释和推断乘方、乘、除混合运算有理数的混合运算有理数的加、减、乘、除和乘方的简单混合运算运用 运算律简化运算利用有理数的混合运算解决简单的实际问题准确数与近似数通过实例经历近似数和准确数概念的产生过程近似数的精确度的两种表示方式 说出一个由四舍五入得到的有理数的精确位数或有效数字根据预定精确度取近似值计算器的使用计算器面板的组成和功能计算器的基本工作过程用计算器进行加、减、乘、除和乘方及混合运算用计算器探索数学规律（3）本章教学要求 掌握有理数的加法和减法及简单的混合运算，理解有理数加法的交换律和结合律，并能运用加法运算律简化运算。 掌握有理数的乘法和除法及简单的混合运算，理解有理数乘法
7、的交换律、结合律和分配律，并能运用乘法运算律简化运算。 理解乘方的意义，掌握有理数的乘方运算。 掌握有理数的加、减、乘、除以及乘方的简单混合运算（以三步为主） 能综合运用有理数的运算解决简单的问题 会用科学记数法表示较大的数，能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。 了解近似数与有效数字的概念，会根据预定精确度取近似值。会用计算器进行加、减、乘、除和乘方运算，以及一些简单的混合运算。(四)本章教材分析1教科书首先从建筑工地仓库进出货记录为例，直观得出有理数加法法则，之后又通过例2，在数轴上表示有理数的加法运算，这一方面是通过数轴直观验证有理数的加法法则，另一方面又充分体现数轴的作用，展示数
8、形结合的思想。然后通过合作学习，在图案内填数这种游戏方式，让学生探索有理数加法的运算律交换律和结合律。2有理数减法的核心是将减法转化为加法。教科书以气温为例，直观探索有理数的减法法则。3有理数乘法法则中，“负负得正”的导入和理解是本章教学的难点，教科书采用乘法与加法的联系，首先把两个正有理数及一个正有理数和一个负有理数的乘法看成几个相同因数的和，并用数轴直观表示运算的过程和结果，由此引入两个正有理数及一个正有理数和一个负有理数相乘的方法。之后又以实验室中的温度变化为例，直观得出两个负有理数相乘的方法。这样将抽象概念进行了形象化的处理，既使学生体验有理数乘法法则的由来，又使学生体会有理数乘法法则
9、规定的合理性。4教科书从除法与乘法的逆运算关系导出除法的运算法则，并且根据乘法与除法的逆运算关系，还介绍可以将除法转化为乘法来进行。5乘方是几个相同因数的乘积，可以用乘法运算解决。科学记数法与乘方有关，是为简化记数方法而引进的。本章先引入大数用10的乘方来表示的科学记数法（对小数用10的负整数次幂表示的内容在七年级下册整式的乘除一章里引入），并且在对大数的科学记数法的介绍中，教科书通过我国首次载人航天飞船飞行的行程，全国1年需要粮食的估计等情景的创设，让学生感受大数，并对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。6有理数混合运算在实际生活中经常碰到的，进行有理数混合运算的关键是按有理数混合运算的
10、法则依次进行运算。7准确数和近似数是日常生活中常见的两类数，近似数在实际问题中有着广泛的应用，并且当一个大数的近似数的精确度用有效数字表述时，就需要采用科学记数法，因此近似数的内容与乘方也有一定的关系，故而放在本章学习。8本章的最后一节是计算器的使用，着重介绍使用计算器进行有理数的加、减、乘、除和乘方运算，繁琐的运算可以用计算器解决，借助计算器还可以探索某些数的规律。二、本章编写特点（一）将数学的抽象内容与生产生活实际相联系1在章前图和节前图中提供了有理数运算的实际背景，在章前语和节前语中用实际问题引入本章或本节的内容。例如，章前语介绍了有理数运算的作用，以及提出可以用有理数运算解决的实际问题
11、：水库泄洪时，水位以每时2cm的速度下降，3时候后水位下降多少 ？利用有理数运算可以确定往返在各条交通线上的列车的位置，以及了解企业经营中的盈亏状况等。2从实际问题出发，引入有理数的运算。如从建筑工地仓库水泥进出货的合计计算中出现（+5）+（+3）和（-2）+（-4），由此引入同号两数相加；从水泥的库存变化计算中出现（+5）+（-2）引入异号两数相加。从厦门的最高气温比哈尔滨高多少摄氏度的计算中出现9-（-7），引入有理数的减法。从3时前实验室的温度计算中出现（-2）（-3），引入两个负数相乘等等。3重视运用有理数运算的有关内容解决实际问题有理数加法学习后设置例4，用有理数的加法运算确定玩具赛
12、车的位置；有理数减法学习后，设置例2，用有理数减法运算比较我国吐鲁番盆地与死海的海拔高低；设置例3，运用有理数的加减混合运算解决储蓄所的现款变化问题；在科学记数法的学习中，设计例4，估算全国每天、每年大约需要多少粮食；在计算器使用的学习中，设计例2，解决增长的百分比问题等等。（二）运用数轴表示有理数的加法运算。数轴的运用，一方面可以通过数轴的直观形象，加深对有理数加法运算的理解，另一方面也渗透了数形结合思想。充分运用数轴，是本套教材的特色之一，吸纳了国际上的成功经验。（三）重视合作学习的设计，让学生在与同伴合作、自主探究中探索、归纳有理数的运算法则、运算律等。1在有理数加法运算律的学习中，让学
13、生通过在图案内填数这种游戏方式，探索有理数加法的运算律，要求学生在与同伴的合作交流中归纳、发现规律。这一探究是在前两学段已学过加法运算律的基础进行，学生能够得出结论。2在有理数减法法则的学习中，设计通过怎样的计算来比较厦门和哈尔滨两地气温高低的合作学习，让学生通过观察温度计上显示的温度之差来体会有理数的减法法则。3在科学记数法的学习中设计合作学习，让学生在与同伴合作中感受大数，并对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，同时体会书写大数中引入科学记数法的必要性。4在有理数的混合运算中设计合作学习，让学生在与同伴的合作中探索有理数混合运算的法则，同时感受有理数运算的应用。（四）重视探究活动的设计
14、，让学生的知识和数学学习方法得以引申和拓展1在有理数加法的学习后，设计了前两个学段学过的两个结论：“若两个数的和为0，则这两个数都是0”和“任何两数相加，和不小于任何一个加数”。当数扩充到有理数后，这些结论是否还成立？通过这个探究活动可以加深对有理数加法的进一步认识和理解。2在有理数乘法的学习后，设计了若干个数相乘其积是负数与乘数中负数个数关系的探究，以此加深对有理数乘法符号法则的进一步理解。3在有理数乘方的学习后，设计了一张纸对折若干次后厚度的探究，让学生体验数学探究的方法及感受乘方运算中数的快速增大。4在计算器使用的学习后，设计了用计算器按流程操作探索数的规律，让学生在探究中体验程序思想及
15、现代信息技术的作用，同时体验数学的神奇，激发求知欲和学习数学的兴趣。三、教学建议（一）注意与第一章及前两个学段所学知识的联系和衔接有理数的运算与第一章的绝对值，及前两个学段所学的数的运算联系紧密。有理数的运算可以归结为两个方面：一是绝对值的运算，二是符号法则。绝对值的运算是前两个学段已解决的问题，因此有理数运算教学中要注意与第一章的绝对值及前两个学段学过的数的运算相衔接，并把重点放在让学生掌握符号法则。（二）注意把握教学要求有理数运算的学习重点在于掌握有理数运算的算理和运算结果符号的确定，这是今后式的运算的重要基础，是计算器所不能替代的。但运算中涉及的数应简单，繁琐的带分数尽量少出现，混合运算
16、一般控制在三步及以内。如果涉及的数比较复杂可以利用计算器解决。（三）重视有理数运算的实际问题背景设计和有理数运算在生活实际中的应用数学来源于生产生活实际，反过来又应用于解决生产生活实际问题，教学中要充分利用教科书对有理数运算的实际问题背景的设计，注意从实际问题出发引入有理数运算，并通过实际问题的直观解决，归纳出有理数运算的法则。让学生在实际问题的解决中感受引入有理数运算的必要性和体会有理数运算法则的合理性。（四）注意计算器的适度使用一方面，用计算器可以进行有理数的运算，因此没有必要让学生进行复杂的笔算，复杂的计算可由计算器完成，要让学生有更多的时间运用有理数的运算解决问题。另一方面，有理数运算的基本要求仍然不能削弱，因此计算器的使用要在学生掌握了有理数的基本运算后进行，并且简单的、基本的运算还是要求学生用笔算，特别要求学生会运用运算律优化与简化计算过程。7