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1、二次函数平行四边形存在性问题例题一.解答题（共9小题）1 .如图，抛物线经过A （ - 1, 0）, B （5, 0）, C （0,莒）三点. 2（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A, C, M, N四 点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理2 .如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于 点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于另一点B （点B在点A右 侧）.（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若
2、点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交 抛物线于点E.求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M, F, B. P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 试说明理由.3 .已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线尸菖肝6与x轴、y轴的交点 分别为A、B两点，将NOBA对折，使点0的对应点H落在直线AB上，折痕交 x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的
3、坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N （点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q, 使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，4 .已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线尸-1+6与x轴、y轴的交点 分别为A、B,将NOBA对折，使点0的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴 于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平 行四边形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理
4、由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T, Q为线段BT上一点，直接写出 QA-QO的取值范围.5 .如图，RtOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边0A与x轴重合， ZOAB=90, 0A=4, AB=2,把RtZiOAB绕点0逆时针旋转90。，点B旋转到点C 的位置，一条抛物线正好经过点O, C, A三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点 M,分别过点P,点M作x轴的垂线，交x轴于E, F两点，问：四边形PEFM的 周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明 理由.（3）如果x轴上有一动
5、点H,在抛物线上是否存在点N,使0 （原点）、C、H、 N四点构成以0C为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在， 请说明理由.6 .如图，直线y= -且x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和4BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM, 点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在,第1
6、页（共1页）7 .如图，抛物线y=ax?+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其中B （4, 0）、C （ 2, 0）,连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DEJ_x轴， 垂足为E,交AB于点F.（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作 圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标：（3）过D点作直线DHAC交AB于H,当DHF的面积最大时，在抛物线和直 线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接 写出符合要求的M、N两点的横坐标.8已知直线山地（目。）过点F（0,。，与抛物线y寺2
7、相交于B、C两(1)如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线， 与抛物线交于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、0、F为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图 2,设 B (m. n) (m0),过点 E (0. - 1)的直线 lx 轴，BRI 于R, CS_LI于S,连接FR、FS.试判断aRFS的形状，并说明理由.9.抛物线y=x2+bx+c经过A (0, 2), B (3, 2)两点，若两动点D、E同时从原 点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1
8、个单位长度，点D的 速度是每秒2个单位长度.(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D,使A、B、C、D四点围成 的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？2017年05月03日1587830199的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共9小题)1 .(2016安顺)如图，抛物线经过A ( -1, 0), B (5, 0), C (0,3)三点.2(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点
9、N,使以A, C, M, N四 点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+的+c (aWO),VA ( -1, 0), B (5, 0), C (0,二)三点在抛物线上，2c=0. 25a+5b+c=0抛物线的解析式为：y=L(2-2x-2 22第1页(共1页)（2） ,抛物线的解析式为：y_x22x 包, 22其对称轴为直线x=-=- T-2,2a 2吟 乙连接BC,如图1所示，VB (5, 0), C (0,-&)，2，设直线BC的解析式为y=kx+b (kWO), f5k+b=0直线BC的解析式为y=lx -回,
10、22当X=2时，y=l=-三， 22/P （2,-三）；2（3）存在.如图2所示,当点N在x轴上方时,如图，过点N2作N2DJ_x轴于点D, 在AAWD 与2co 中, ,ZN2AD=ZCM2O，AN2二cm2zak2d=zn2co/.AN2DAM2CO （ASA）,A N2D=0C=-,即N2点的纵坐标为立. 22/Ax （2016十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于 点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A, C两点，且与x轴交于另一点 B （点B在点A右侧）. （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行
11、y轴交x轴于点F,交 抛物线于点E.求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M, F, P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 试说明理由. - 2x -2至, 22 2/.N2（2+VI, 5）, N3（2 - a/14 22解得乂=2-旧或x=2 - V14，一旦），仙，互）或（2 -JH，互）.222第1页（共1页）【解答】解：(1)当y=0时,-3x - 3=0, x= - 1AA ( - 1, 0)当 x=0 时，y= - 3, AC (0, - 3), l-b+c=0 c =-3. fb=-2 c=-3抛物线
12、的解析式是：y=x2 - 2x - 3. 当 y=0 时,x2 - 2x - 3=0, 解得：X1= - 1, X2=3 /B (3, 0).(2)由(1)知 B (3, 0), C (0, - 3)直线 BC 的解析式是：y=x - 3,设 M (x, x - 3) (0WxW3),则 E (x, x2 - 2x - 3)/ME= (x - 3) - (x2 - 2x - 3) = - x2+3x= - (x-) 2+-；24.当*=旦时，ME的最大值为 24(3)答：不存在.由(2)知ME取最大值时ME-, E (老，-至)，M (3，-三) 42422,MF耳 BF=OB-OF金 22设
13、在抛物线x轴下方存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形,则 BPMF, BF/7PM./.Pi (0, -&)或 P2(3,一国)22由(1)知 yd - 2x - 3= - 3W - W2ill (1)知 y=x2 - 2x - 3=0W -旦2当 Pi（O, -&）时, 2Pl不在抛物线上.当 P2 （3, -&）时, 2P2不在抛物线上.综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P,使以P、M、F、B为顶点的四边形 是平行四边形.3. （2016义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将NOBA对折，使点O的对应点H落在 直线A
14、B上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N （点F 在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q, 使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在， 请说明理由.【解答】解：（1）连接CH由轴对称得 CHJAB, BH=BO, CH=CO在cha中由勾股定理，得 ac2=ch2+ah2直线厂+6与
15、X轴、y轴的交点分别为A、B两点j x=0 时，y=6, j y=0 时，x=8，B (0, 6), A (8, 0) ，OB=6, OA=8,在RtZiAOB中，山勾股定理，得AB=10设 C (a, 0), OC=aACH=a, AH=4, AC=8 - a,在 Rt/XAHC 中，由勾股定理，得(8 - a) 2=32+42解得 a=3C (3, 0)第1页（共1页）设抛物线的解析式为: 6=e 0=64a+8b+cu 0-9a+3b+cy=ax2+bx+c,由题意，得1解得：u 11b 二二c=6抛物线的解析式为:.1 z 11、2 25（2）由（1）的结论，得D （口 Z）216.D
16、F;型16设BC的解析式为:y=kx+b,则有/6=b。二 3k+b解得产6k=-2直线BC的解析式为:y= - 2x+6设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P （m, n） 作PE_LOA于E, HD交0A于F.AZPEO=ZAFD=90 PO=DA, PODAAZPOE=ZDAF/.opeAadfAPE=DF=n=1616X32P (立，生)216当x二时,2y= - 2X+6=1W 至216点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P.(3)由题意得，平移后的解析式为:y=(x-2)2 y 4 ix 刃 16，对称轴为：x=2,j x=0 时，y=-16当 y=0 时，。=(
17、x-2)2解得：町二4, X24 乙乙F在N的左边F (工 0), E (0,-3)，N (2 0)2162连接EF交x=2于Q,设EF的解析式为：y=kx+b,则有0=-yk+b* b解得：第1页(共1页)第1页（共1页）解得:4. （2016深圳模拟）已知:x轴、y轴的交点分别为A、，EF的解析式为：y=-Wx-l 81699尸三X玉 x=2x=245J 16如图，在平面直角坐标系xOy中，直线尸十6与B,将NOBA对折，使点。的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得
18、四边形ODAP为平 行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T, Q为线段BT上一点，直接写出【解答】解：（1）点C的坐标为（3, 0）. （1分） .点A、B的坐标分别为A （8, 0）, B （0, 6）, 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a （x- 3） （x- 8）.将x=0, y=6代入抛物线的解析式，得号.（2分） 过A、B、C三点的抛物线的解析式为片工2号行6.（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线顶点D的坐标为（红，迄 2 216设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.直线BC的解析式为y= - 2x+6.4分）设点P的
19、坐标为（x,-2x+6）.解法一：如图，作OPAD交直线BC于点P,连接AP,作PMJ_x轴于点M.VOP/7AD,A ZPOM=ZGAD, tanZPOM=tanZGAD. PM DG 90M GA25即 一26 二X 8-4解得x=li.7经检验x=也是原方程的解.7此时点P的坐标为心，里）.（5分）但此时5k曲，GA二反，OMGA. 72,* 0P=咚开，AD 二一, NPOlk/GAD cosZPOM cosZGADr.OPAD,即四边形的对边OP与AD平行但不相等, 直线BC上不存在符合条件的点P （6分）解法二：如图，取OA的中点E, 作点D关于点E的对称点P,作PNx轴于 点 N
20、.则NPEO=NDEA, PE二DE.可得PENgZiDEG.由0E吟二4，可得E点的坐标为（4, 0）.NE=EG，ON=OE - NEn NP=DG=5_. 2216 点P的坐标为: x=-1时，-2x+ 6=-2 X二 1 # 答， ZL10 点P不在直线BC.；直线BC上不存在符合条件的点P.（6分）（3） I QA - Q01的取值范围是| QAA。4.（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK,则QA - QO =0,当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时IQA-QO最大， 直线AH的解析式为：y=?x+6,直线BC的解析式为：y=-2x+6
21、, 联立可得：交点为（0, 6）, OQ=6, AQ=10,QA - QO =4,Z. QA - QO的取值范围是：0 QA - QO 4.5. （2016山西模拟）如图，RtAOAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角 边OA与x轴重合，ZOAB=90, OA=4, AB=2,把RtAOAB绕点O逆时针旋转 90。，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O, C, A三点.（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P,过点P作x轴的平行线交抛物线于点 M,分别过点P,点M作x轴的垂线，交x轴于E, F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出
22、解答过程；如果没有，请说明 理由.（3）如果x轴上有一动点H,在抛物线上是否存在点N,使0 （原点）、C、H、 N四点构成以0C为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在， 请说明理由.第1页（共1页）【解答】解：（1）因为0A=4, AB=2,把aAOB绕点。逆时针旋转90。,可以确定点C的坐标为（2, 4）；由图可知点A的坐标为（4, 0）,乂因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2, 4）, （4, 0）代入,0=16a+4b4=4a+2b解得a=-lb=4所以抛物线的解析式为y= - x2-4x；（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点P的坐
23、标为P（a, - a4a）则由抛物线的对称性知OE=AF, /EF=PM=4 - 2a, PE=MF= - a2+4a,则矩形 PEFM 的周长 L=24 - 2a+ （ - a2+4a） = - 2 （a - 1） 2+10,，当a=l时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10;（3）在抛物线上存在点N,使O （原点）、C、H、N四点构成以0C为一边的平 行四边形，理由如下：Vy= - x2+4x= - （x - 2） 2+4 可知顶点坐标（2, 4）,知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=-4作X轴的平行线，与抛 物
24、线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有x?+4x= -4解得xi=2+2, x2=2 - 272 AN 点坐标为 Ni （2+2狙，-4）, N2 （2 - 2狙，-4）.6.（2015葫芦岛）如图，直线丫=-a+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛 物线y=ax2+&x+c经过B、C两点.4（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当ABEC面积最大时，请求 出点E的坐标和4BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM, 点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M 为顶点的四边形
25、是平行四边形？如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在, 请说明理由.【解答】解：（1）直线y=-?x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B, 点B的坐标是（0, 3）,点C的坐标是（4, 0）, 抛物线y=ax?+&x+c经过B、C两点，43. 16a4-X4+c=0 4c=3解得外方C二 3/ y=-加4+3.84（2）如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M, EF交x轴于点F,点E是直线BC上方抛物线上的一动点，工设点E的坐标是（x, - -x2+x+3）,则点M的坐标是（x,-当+3）, 4/. EM=-国x2昌+3 - ( - Wx+3 )=-当2+斗， 84482 Sabe
26、c=Sabem+S.(mec-EMOC乙=lx( -2x2+2x)X4282= -x2+3x4=-3 (x - 2) 2+3,4，当x=2时,即点E的坐标是(2, 3)时，ZkBEC的面积最大,最大面积是3.（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.如图2,图2由（2）,可得点M的横坐标是2, 点M在直线y= - -x+3上， 4 点M的坐标是（2,三）， 2乂点A的坐标是（-2, 0）,AAM=2-(-2)2+(|-0) AM所在的直线的斜率是： 乌丁）；2-（-2） 8 y= - Wx?+Wx+3 的对称轴是 x=l, 84 设点Q的坐标是（1, m）,点P
27、的坐标是（x,-当2+旦x+3）,8422(x-l)2+(-1x +|x+3-m) 4飞二-3f x=5解得，21或12，产一F 1尸抵Vx0,六点P的坐标是（5,111（2）,可得点M的横坐标是2,点M在直线y二-Wx+3上，4V 点M的坐标是（2,反）， 2乂.点A的坐标是（-2, 0）,V *, AM=2-（-2）2+（1-0）当2+当+3),84V y=-当2+当+3的对称轴是x=l, 84工设点Q的坐标是（1, m）,点P的坐标是（x,-3 2 33-X V+3- TO_0x=-l解得，15, rv点p的坐标是（-i,至）.8综上，可得在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的
28、四边形是平行四边形,点 P 的坐标是（ 3, - &）、（5, - 21）、（ - 1,生）.8887. （2015梧州）如图,抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点,其中B （4, 0）、C （ - 2, 0）,连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DE_Lx轴，垂足为E,交AB于点F.（1）求此抛物线的解析式；（2）在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作 圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；（3）过D点作直线DHAC交AB于H,当DHF的面积最大时，在抛物线和直 线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平
29、行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标.C两点在抛物线y=ax2+bx+2上,第1贞（共1页） 所求的抛物线为：y=_Xj浊肝2 42（2）抛物线丫=工？+工乂+2,则点A的坐标为（。，2）, 42设直线AB的解析式为y=kx+b,.fb=2 14k+b=0L-A解得：b 2.，直线AB的解析式为y= - -ix+2,乙设F点的坐标为（X, -ix+2）,则D点的坐标为（x, -yx2-hyx+2） 242 G点与D点关于F点对称， G点的坐标为（x,工、24丫+2），42若以G为圆心，GD为半径作圆，使得OG与其中一条坐标轴相切， 若0G与x轴相切则必须由DG=GE,B|J -
30、l-x2+x+2 - （-x+2 =工/：2上x+2, 424242解得：x, x=4 （舍去）； 3若OG与y轴相切则必须由DG=OE, 即 -7_x2+yx+2-（yx2-K+2）=x 解得：x=2 x=0 （舍去）.综上，以G为圆心，GD为半径作圆，当。G与其中一条坐标轴相切时，G点的 横坐标为2或2.3（3） M点的横坐标为22近，N点的横坐标为搭士2心8. (2015资阳)已知直线y=kx+b (kHO)过点F (0, 1),与抛物线丫寺?相交(1)如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线， 与抛物线交于点
31、D,是否存在这样的点M,使得以M、D、0、F为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图 2,设 B (m. n) (m0,/. BF=n+l,乂 ；BR=n+l,ABF=BR./ZBRF=ZBFR, 又EFI, ，BREF,NBRF=NRFE, ，NRFE=NBFR,第1页(共1页)同理可得nefs=ncfs,/.ZRFS=i-ZBFC=90,2RFS是直角三角形.9. （2015百色）抛物线y=x2+bx+c经过A （0, 2）, B （3, 2）两点，若两动点D、 E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长 度，点D的
32、速度是每秒2个单位长度.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D,使A、B、C、D四点围成 的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？第1页（共1页）第i页(共1页)B (3, 2)两点,D四点围成的四边形是平【解答】解：(1)抛物线y=x2+bx+c经过A (0, 2), 2=c2-9+3b+c解得二-3, c=2抛物线的解析式为：y=x2 - 3x+2,令 y=0,则 x2 - 3x+2=0,解得：xi=l, X2=2,抛物线与x轴的交点坐标是(1, 0), (2, 0)；(2)存在，由
33、已知条件得ABx轴,，ABCD,/.当 AB=CD 时，以A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形，设 D (m, 0),当 C (1, 0)时，则 CD=m - 1,Am - 1=3,，m=4,当 C (2, 0)时，则 CD=m - 2,/. m - 2=3,/. m=5.AD (5, 0),综上所述：当D (4, 0)或(5, 0)时，使A、B、C行四边形；(3)设t秒钟时，B、D、E在同一条直线上，则OE=t, 0D=2t,AE (0, t), D (2t, 0),设直线BD的解析式为：y=kx+b,rt=b 2=3k+b ，0=2tk+b解得k=L或k上(不合题意舍去)，23j k= -, t=22点D、E运动工秒钟时，B、D、E在同一条直线上.2