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1、数的开方全章复习与巩固一知识讲解（提高）【学习目标】1 .了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、 立方根；了解开方与平方互为逆运算， 会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2 .理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3 .能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根10立方根被开方数非负数任总头数a3a性质一个正数内两个平方根，且互为 相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正
2、的立方根； 一个负数有 个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论2) a()a 0a( )0(a a 2 aa )a (a 033 )(aa33 aa 33a a要点二：实数有理数和无理数统称为实数1 .实数的分类按定义分：有理数：有限小数或无限循环小数实数无理数：无限不循环小数 按与0的大小关系分：正有理数 正数 正无理数0实数 负有理数 负数 负无理数 要点诠释:(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.352等；有特殊意义的数，)无理数分成三类：开方开不尽的数，如2,(如冗； 有特定结构的数，如 0.
3、1010010001(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式(4)实数和数轴上点是对应的 .2 .实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点对应 .3 .实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：aa 0| ；(1)任何一个实数 的绝对值是非负数，即 2aa ； 2 ()任何一个实数 0的平方是非负数，即，一 0 a0 a).)任何非负数的算术平方根是非负数，即 (3非负数具有以下性质：)非负数有最小值零；(12 )有限个非负数
4、之和仍是非负数；(0. 0 ,则每个非负数都等于(3)几个非负数之和等于4.实数的运算aa一个负实数的绝对值是它的相反的相反数是-一个正实数的绝对值是它本身；数；0.的绝对值是数；0先乘方、.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立实数混合运算的运算顺序：.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里开方、再乘除，最后算加减5.实数的大小的比较.有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的法则1.大；数大于负数，正数大于一切负数， 两个负数比较，绝对值大的反而 002法则.正数大于，小；.法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差
5、法，求商法，倒数法，估算法，平方法【典型例题】类型一、平方根和立方根 、下列命题：负数没有立方根；一个实数的算术平方根一定是正数；一个正数11或负数的立方根与这个数同号；如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是) 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ,其中错误的有( 或0;D.5 个个A.2个 B.3 个 C.4B;【答案】1. 0，士【解析】负数有立方根；0的算术平方根是 0;立方根是本身的数有【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键举一反三：)【变式】下列说法其中错误的是(根算5是25的术平方A. 24 4的平方B.根是34 43式等足不所有整是2、已知M满足
6、不等是C.一立方根的 0是方根都D. 0的平方根与立数是式的和，N满的237 x的平方根.M的最大整数.求+ N 2【答案与解析】 C66 3 a2,0, 1的所有整数有1解：.，2 +2 = + M= -1 + 10所有整数的和 2 23737XX 的最大整数.是满足不等式y2,.N 22：N= 2M+ N=4, M+ N的平方根是士 2.【总结升华】 先由已知条件确定 M N的值，再根据平方根的定义求出M+ N的平方根.类型二、实数的概念与运算.一 K .一二是的小数部分，化简|xy的整数部分，？、3（2014秋章丘市校级期末）设x是3|y, 35 V35 ,代入求出即可.5-y=, x=
7、5的范围，得出求出【思路点拨】.【答案与解析】V36 I2S V35 解：, V35 65,x/-35 5, y=x=5/353| ）（- 5.-. |x y 3|=|5-/3 | =|7 V35 =7.的大小.本题考查了估算无理数的大小和绝对值，解此题的关键是求出x、y【总结升华】举一反三：aabb11的值是 ；5+ 的小数部分为【变式】已知 5 +,的小数部分为则，11 ab的值是. 厂a b 1;a b 211 7；【答案】3b 4 a 11 11 ,提示：由题意可知10 在 3.1622 与 3.1623 之间，花在 3.14154与、已知无理数 3.1416之间. J10?n的值.（
8、结果精确到百分位）求 J-10?n的值的区间，再求出近似数.【思路点拨】 先求出【答案与解析】3.1415 与 3.1416 之间.3 3.162310在3.1622与3.1623之间，花在解：二,无理数3.1622 -3.14163.1415 ,10?n 0.0208 , 0.0206 10?n0.02 .【总结升华】 中间过程应多保留一位小数.举一反三：【变式】（2015春？北京校级期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一 V13次 探究活动：估算的色似?_ _ _小明的方法：，：| I- - :I：；,设=3+k (0 k 1),22,/13l() = (3+k),2.13
9、=9+6k+k ,=，k9+6k ,解得 13.心222 ,下面可参考使用）问题:V13 3+3.67. .心+2ab+b=a） a+b （上述方法中使用了完全平方公式：，所（结果保留两位小数）（i）请你依照小明的方法，估算mm,若a概括出估算的公式： 已知非负整数a、b、（2）请结合上述具体实例，m一b的代数式表示）.216.08.）;【答案】(a+1,且 m=a+b （用含，贝 U a 后再,商，设解：1=6+k (0k),22/37, (6+k)1()=2 ,37=36+12k+k 弋 36+12k,.3712,解得k【2 V37 6+Q心6.08. 故答案为：6.08;2 J- m +
10、b, a+1,且 m=a (2)若 am 则 a+ 一.故答案为：类型三、实数综合应用16+ I厂4 |=立方根.答案与解析,x 2y4=0 , +解：由非负数的性质可知：2x 16=0 y=6 .解得：x=8 的值是解题的关、y【总结升华】yX 2x8 y=2 X 6=83的立方根是 22x.本题主要考查的是非负数的性质、立方根的定义，求得x键.一反三：2208 bc c)(2a acab ,都是实数，且满足【变式】设、cba 3 2.的值求【答案】220aa2()bcc8 | 解：.2 a 0 a 22a bc0b 4,解得0 8cc 8 2a 3b c 412 8 0.3,点B关于点A的
11、对称点为、B两点，表示的数分别为一1C和，如图，数轴上6、A求点C所表示的实数.【思路点拨】首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段 求出点C所表示的实数.AB的长度，然后利用对称的性质即可【答案与解析】3,和A、B两点，表示的数分别为一1解：数轴上 L3, + 1到点A的距离为.，点J3,y的满足-2x,求、（2016春?南昌期末）已知实数xy5十的距离也为1到点则点CA设点C的坐标为x3, + C的距离为1 x=1A则点到点V | 3. x= 2【总结升华】 此题主要考查了实数与数轴之间的定义关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点，则点C到点A的距离等于点 B到点A的距离.两点之间的距离为两数差的绝对值.