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1、一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国 数学家韦达发现的.它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰 富，在数学解题中有着广泛的应用.【知识要点】AC0左+益=-勺它=1 .如果方程以/+8x + c = 0（aHO）的两根为K, 内,那么以， 以，这就是一元二次方程的根与系数的关系.2 .如果两个数的和为m,积为n,则以这两个数为根的一元二次方程为/-以差+肾=0.3 .若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根.4 .求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式.0X,
2、,= 0d, d,则方程有两个负根.【趋势预测】利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根 与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解.因此预测以后竞赛的重点 在以下几个方而：求方程中字母系数的值或取值范围；求代数式的值：结合根的判别式，判断根的符号特征：构造一元二次方程解题：证明代数等式，不等式；与一元二次方程的整数根有关的问题.【范例解读】题1 （1997 陕西）已知二次方程以-+以+二=OgcWO）有两异号实根m和n,且mn,那么，二次方程+ （功-以= 0的根的情况是（）（A）有两个负根（B）有两个正根（C）两根异号 （D）无实数根分
3、析 首先考虑方程u”十（飞一切口大一口 一 的判别式的符号.如果由判别式符号确定方程 有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号.解m，n异号且men.G mn = 0.，n0,从而 a , H 一刑;0 .方程cM +(2-x-a = 0的判别式：d = a+ 4ac = a2 (的一？sf 十上 =a2(p?2+ )2 0”，故方程ex2 + (m 一支)ax 一以=0必有两实根.设这两个实根为K,九,则由根与系数关系得a za、dXy + Xy = 02 -网) 0C,。 ，可知血,%均为负数，故选(A).题2 (1997 上海)若a和b是方程/+2+3 = 0的两个实根，c和d是方
4、程 /+2qx + 3 = 0的两个实根，e和f是方程.+2(/-/ + 3 = 0的两个实根，则 g-O3 - c)g+d)+d) + /的值为.分析由已知可得 ab=3, cd = 3, ef=3, a+b=-2p, c+d=-2q, f = -2(2 -g2),将 (a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开，把上列数值代入，可得所求值.但若全部展开，结果很繁，因此 考虑局部展开，分步代入.解由方程根与系数关系得ab=3, cd=3, ef=3, a+b=-2p c+d=-2q, e + f = -2(2 - B，不解方程，求2 + 3a 的值.分析待求式中a，B是不对称的，但根与系数的
5、关系具有对称性，应设法构造一个与待求 式相对应的代数式一起辅助解决问题.解由根与系数的关系得。+B=7, a B=8, 十42 一+ #)2 _ 2as - 72 - 2x8 - 33,9一4)2 =(c+2 -4c/= 17.因aB,故a-?=旧，-。，=-和幺=2+3尸2 =7 + 3/记 C ，令 有 ，从而AB=2 - + - + 3(a2 + Z?2) = 2(+ +3(g2 + ff2) = + 3x33 = 100-产ff jaff840 = 2二+ 3(，一/)= + 39+/)(0-切(a0)a=a/1Z+3乂 了 必-而)=-竺而，84* = +约+ -)伍0目_1旧=4。
6、3 - 85而.224 4 J 8题4 (2000 江苏)已知81 - 2沸一 5 二0 , 5M 242制-3 = 0,其中m, n为实数，则1泞I 一一 = n分析根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构.把两个变 元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值.解由已知等式可变形成23-2-5 =03型2 - 2m - 5 = 0与附2片 ,1 制一一 n=0由于m, Z的关系没有给定，故应分两种情况:1 m = 当 力时,11沙X 0当 附时，可知m,附是方程32工-5 = 0的两个根，则由根与系数关系1215图十一=一沈,一= 一一 得 修3 ,
7、n3 .1八 p陋一 一二0综合，得刈 或？.题5 (1996 江苏)设/一。左+ 1 = 的两个实根为。，B, 求以尸为根的一元二次方程；若以尸3为根的一元二次方程仍是-。左+ = 0,求所有这样的一元二次方程.分析 根据方程根与系数关系求C十方和&的值，由此即可作出新方程：根据新方程的一次项系数等于-P，常数项等于q,可求得p，q的值.解由根与系数关系得a+B=p, aB=q,c? +? =(c +?)3+=, a尸3=()了=/.所求方程是M 一面 _ 3,q)/ + / = 0 :(/ -3期二， 寸=0, 则p 0J, - 1 092,20q 017根据七种情况的值依次得以下七个方程
8、:x2 - 2x+l = 0 , x2 +2x + l = 0 ,x2 = 0 ,差2-x=0, x2 + x = 0 , x2 +1 = 0 t x2 -1 = 0.其中仅/+1 = 0无实数根，舍去.故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：x2 = 0,万 2 一元=0, x2 + x = 0 , x2 -2x+l = 0t x2 +2x + l = 0 , x2 -1 = 0 .题6 (2000 全国)设关于x的二次方程 (V - 6亡十&-十(2上2 - 6亡-4)工一亡2+4=。的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.分析根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用
9、两根都是整数设法 先消去是求得两根后，再求出是的值.解原方程可化为 (七一4)(太一2)/ 十(2兑2 - 6兑-4)/一次一2)(4+ 2) = 0.(k)(k-2)H0,，解得方程两根为勺一匕一一上1 k-A k-A ,24上 一4 = - 上 一 2 = -.（Z, h 1 亢，-1）芫1+1与+1消去k,得巧巧+ 3占+ 2 =0 ,，勺(芍+3)=-2.由于才1,内都是整数，故-2二210对应的k的值分别为6, 3, 3 .【方法指引】1 .构造对偶式法.对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或 对应的命题，然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除)，从而使问题获
10、得巧解.这种方法 称为构造对偶式法.常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等.2 .解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：(1)直接求解法.若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解.(2)利用判别式法.在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法 讨论，不等式分析求解.运用根与系数的关系.由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去 待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.(4)巧换主元法.若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求 解.本周强化练习【综合能力训练】1 . AABC的一边长为5,另两边长恰好是方程21 -12
11、为物二0的两根，那么m的取值 范围是.2 .设K1,全是方程/-2酥+ 1 + (/+2) = 0的两实根，且Q+1)(药+1) = 8,则k 的值是 ()(A)-3 或 1 (B)-3(C)lJ.(D)不小于万的一切实数x2 - 2j + = 03 .若方程2的两根为a, B,它也是方程K +0工十=的两个根，则 p=.a4 .若 abHl,且有5/+2001 9 = 0,及9/+ 2001/ 5 = 0 ,则& 的值是()95_ 2001_ 2001(A)5(b)9(C)5(D)95 .在RtZABC中，NC=90 ,若sinA和sinB是方程N一、叵左一上=0的两根，求NA 和NB的度数
12、及k的值.6 .求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程上一十的+ 1)五十太-1 = 0的根都是整数。清收胃傕业后再冒答臬！参考答案【综合能力训练】.ab =-1 .设另外两边长为a、b,则方=6,2 ,因为a, b是实数，所以120,即(-12)2-4x2x2 0, 18由三角形两边之差小于第三边，有aJ（以41）a -4ab = 436 - 2雨 536-2掰 18/.2 ,故m的取值范围为2o2 .由根与系数关系得 勺+% =2（4 + 1） ,x2=k2 +2 ,而（5+ 1）（2 + 1）=刀1工2+（勺+电）+1 =大？+2 +1）+1 =+ 2无+ 5.由题意得/+2归+5 =
13、 8,解得用=-3,%=1。而当上=-3时，J = -28 0 ,无实数根,舍去：当a=1时，方程的两个实数根为1和3。故选（C）。2,招 nx - 2x + =03.由8/是方程2 的两根得a +尸=工,储+/=但+2_24=4-、/5 由外/是方程/+F +4 =0的两根，得C?十 pc?十 = 0,#4+,2+1=0。两式相减,得P = -（。2 +为=拈-4。4.原式可变形为5+200M + 9 = 0,5+ 20011 + 9 = 0, r 以b1 b ,又 aS X1 即 b ,j_，a,苫是方程5-十200b+9 = 0的两根。1 9 9a、一= b 5 ,即2 5.故选（A）o
14、5.由根与系数关系，得 sin 工 + sin. B =短, sin Asm B = 一左/ ZA+ZB=90 , Sin S = cos J o于是有Jsin AcosA =、也 sinA - cos A =-ksin-cos = - 由式两边平方，得2,由、式知尸一;.2，即,A A-，泛 X + 1=0又由、式可得sin工，cos月是方程2的两根，则有sin = cos = sin B =2 ,故NA=NB=45 ，6.（1）若k=0,则方程为X-1 = 0,解得工二1符合题意:（2）若上=0,设方程的两个整数根为x；啊（巧归）,则有Zr+l .144十心= 一 1 一彳，k- 1I“产丁 =一云.-得巧 + 左2 - 8叼=-2 ,(/-l)(x2 -1) = 3 = 1X3O 一 = 1,% T =3, 十%=6或吃十啊=一2,1 - 7-1又当 亍或k=l时，判别式均可得到0,， 亍或k=l, 综上所述，满足条件的所有k的值有三个，分别为k=0,亍或1。