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1、第 2 章 命题与证明检测题120 分，时间： 120 分钟）一、选择题 （每小题 3 分，共 30 分）1 . （2013湖南湘潭中考）下列命题正确的是（）A.三角形的中位线平行且等于第三边；B.对角线相等的四边形是等腰梯形C.四条边都相等的四边形是菱形；D.相等的角是对顶角2 .有如下命题： 无理数就是开方开不尽的数； 一个实数的立方根不是正数就是负数； 无理数包括正无理数、 0 、负无理数； 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是l 或 0其中错误的个数是（ ）A.1B. 2C.3D.43 .下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A 一组对角相等B 对角线互相平分C 一组对
2、边相等D 对角线互相垂直4 . （2013四川攀枝花中考）下列命题错误的是（）A.菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半；B.矩形的对角线相等C.有两个角相等的梯形是等腰梯形；D.对角线相等的菱形是正方形5 .若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形6 .如图，在4ABC中，AC的垂直平分线分别交 AC,AB于点D,F , BE，DF交DF的延长线于点E,已知/ A =30。，BC =2,AF =BF,则四边形BCDE的面积是（）A.2 3B.3 3C.4D.4 37 .（2013四川遂宁中考）如图，在4ABC中，7 c=90 ,
3、7b=30,以点a为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于2MN的长为半径画弧，两弧交于点P ,连接AP并延长交BC于点D ,则F列说法中正确的个数是（ DAC ：AD是/ BAC的平分线；/ ADC =60；点D在AB的中垂线上；SSa abc =1:3 .A.1B.2C.3D.48.用反证法证明在4ABC中，若/ABa/C,则/A60： 第一步应假设A.乙A =60?B.z A b,则ab；梯形的面积等于梯形的 中位线与高的乘积的一半.18 .写一个与直角三角形有关的定理 .三、解答题（共66分）19 .（6分）如图,在 MBC中,D,E两点分别在
4、AB和AC上,求证：CD,BE不可能 互相平分.20 .（8分）已知a,b是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除.（用反证法证明）21 . （8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O , EF过点。且分别交 AD,BC于点E,F .求证：OE=OF .22 . （10分）如图，在 ABC中，/ACB =90?, BC的垂直平分线DE交BC于点D ,交 AB 于点E , 点F在 DE上，且 AF=CE=AE.求证：四边形ACEF是平行四边形.当/B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并说明理由.23 .（ 10分）如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角
5、线BD上的两点，且BF =DE .求证：AE =CF .ED的延长线24 . (12 分)如图，AB=AC, D 是 AB 上一点， DEBC 于点 E交CA的延长线于点F.求证：4ADF是等腰三角形.25 . (12分)如图，在 ABC中，AB=AC,AD，BC,垂足为D, AN是 ABC夕卜角/CAM的平分线，CE AN ,垂足为E.(1)求证：四边形ADCE为矩形.(2)当4ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.参考答案1 .C 解析：因为三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以选项A错误；因为对角线相等的四边形还有矩形等， 所以选项B错误；因为相等的角
6、有很 多，不一定都是对顶角，所以选项D错误.故选C.2 .D 解析：开方开不尽的数是无理数，但无理数就是开方开不尽的数是 错误的，例如 故错误；一个实数的立方根不光是正数、负数，还 可能是0,故错误；无理数包括正无理数和负无理数，不包括 0,故 错误；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1, 0或-1,故错误.故选D.3 .B 解析：利用平行四边形的判定定理知 B正确.4c解析：直角梯形有两个角相等，都是 90,但它不是等腰梯形，故选项C是错误的.5c解析：由四边形的两条对角线相等，知顺次连接该四边形各边中点所得的四边形的四条边相等，即所得四边形是菱形.6 .A 解析：: DE是AC的
7、垂直平分线，F是AB的中点，DF / BC , /C=90。，四边形BCDE是矩形.: /A=30, /C=90, BC=2, /. AB =4, AC =如2 -BC2 =”2 -22 =2后,BE=CD=43, /.四边形 BCDE 的面积为 2Ms/3 =243 .7 .D 解析：根据作图的过程可知，AD是/ BAC的平分线，故正确.因为在 ABC 中，/C=90, / b=30,所以 / cab=60.又因为AD是/ BAC的平分线，所以/ CAD =/ DAB=1 / CAB=30,2所以 / ADC =90 / CAD =60 ,故 正确.因为/ DAB = / B=30,所以AD
8、=BD ,所以点D在AB的中垂线上，故正 确.因为在 RtACD 中，/ CAD =30 ,所以 CD =1AD , 2所以 AD =2CD,BD =2CD , 所以 BC =CD +BD =3CD .因为 Sadac =1AC CD ,2所以 SaabcAC BC =1AC 3CD =3AC CD , 222所以 $ dac : Saabc =：ACCD (|aCCD1：3,故正确.综上所述，正确的结论是，共有4个，故选D.8 .D 解析：/A与60的大小关系有/A60, /A=60。，/A60。”时，应先假设 /AW 60。.故选 D.9 .A 解析：由题意知 AC =4 cm, BD=5
9、 cm, S芦形:1? 5 =10( cm2). 攵210 .A 解析：由折叠的性质知DC =DF ,则四边形CDFE为正方形， CD =CE =BC -BE =10 -6 =4 cm .11 . AB / CD 或 / A+/ D =180。或 / B +/C =180 口(答案不唯一)12 .如果a2=b2,那么a=b 假 解析：根据题意知，命题如果a=b,那么a2=b2的条件是a=b，结论是 金七”，故逆命题是 如果a2=b2,那么 a=b，该命题是假命题.13./BAD =90o （或 AD LAB,AC =BD 等）13 .5 解析：: BP,CP分别是/ ABC和/ACB的角平分线
10、, /ABP=/PBD, Z ACP =/ PCE .: PD/AB, PE/AC, /. ZABP =/ BPD , /ACP=/CPE,/. /PBD=/BPD, /PCE = /CPE, /. BD=PD,CE=PE,二 APDE 的周长=PD +DE +PE =BD +DE +EC =BC =5 cm .15.28 解析：由勾股定理得 AB2+BC2=AC2,又 AC =10, BC=8,所以 AB=6,所以五个小矩形的周长之和为2父(8 +6) =28 .16.2 解析：/ CAB =90。60。=30。.; 在等腰梯形 ABCD中，/ BAD =/ B =60o ,/. CAD /
11、BAD ZBAC =30o. CD II AB , /. ZDCA =/CAB =30o=/CAD . CD =AD =BC =2 cm .17 . 解析：对于，因为S弟形=1 (a+b)h,其中a,b,h分别是梯形上底的 2长、下底的长及高，而梯形中位线c=ja+b),所以S梯形=c-h,即梯形的面 积等于梯形的中位线与高的乘积.18 .直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方解析：本题是一道开放型题目，只要保证命题是真命题即可.19 .证明：假设cd,be可以互相平分，如图，连接DE ,则四边形BCED是平行四边形，BD / CE , 这与 AABC相矛盾.CD,BE不可能互相平分.20
12、.证明：如果a,b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1) a,b两数中恰有一个能被3整除，不妨设a能被3整除，b不能被3整除，令 a=3m,b=3n 土 1 (m,n者B是整数)，于是 a2 +b2 =9m2 +9n2 6n +1 =3(3m2 +3n2 2n)+ 1 ,不能被3整除，与已知矛盾.(2) a,b两数都不能被3整除，令a=3m1,b=3n1 ( m,n都是整数)，则a2 +b2 = (3m 1)2 + (3n 1)2 =9m2 6m +1 +9n2 6n +1= 3(3m2 +3n2 土2m 2n)+2,不能被3整除，与已知矛盾.由此可知，a,b都是3的倍数.21 .证明：:
13、四边形ABCD是平行四边形，. AD/BC,OA=OC, /EAO =/FCO,/AEO=/CFO,. AOE COF ,故 OE =OF .22 . (1)证明：由题意知 /FDC =/DCA =90。，/. EF/CA, /. /AEF=/EAC.; AF =CE =AE ,/F=/AEF=/EAC =/ ECA .又,: AE=EA, /. AAECAEAF , /. EF =CA , /. 四边形 ACEF 是平行四 边形.(2)解：当/B=30?时，四边形ACEF是菱形.理由如下：: / B =30?,/ACB =90?,. ac=2abDE 垂直平分 BC ,. BE =CE .2
14、又 AE=CE, J. CE=；AB,. AC =CE , /.平行四边形 ACEF 是菱形.23 .证明：:四边形ABCD是平行四边形，.二AD=BC, AD / BC.Z ADE =/ FBC在 4ADE 和 4CBF 中，AD=BC, / ADE =/FBC, DE = BFADECBF, . AE =CF24 .证明：.朋二M， Zj = Zf. 朋/于点， /F斯二/阻=呀， 二/升/觇二/外/矶=9俨, mm /朋二/切F， /EM二/册4JF是等腰三角形.25 . (1)证明：在眦中，朋二心加1册，/硼二心耶是揪:外角/如的平分线，二 /妣二/0， /。尤二/眈+/CAE=N8眸 9。?.又 初任 _U，： /ADC=/CEA=9。，四边形ADCE为矩形.(2)解：给出正确条件即可.例如，当ADBC时，四边形ADCE是正方形. 2用川C，4D1BC于点D， dc=bc.又AD=；BC,二初.由(1)知四边形ADCE为矩形，矩形ADCE是正方形.