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1、椭圆经典题型练习一.选择题(共13小题)221 .设椭圆与+弓=1 (a b0)的左、右焦点分别为Fi,松，以F1F2为直径的 2 L工a b)D.-2圆与直线bx+，7Hy=b2 5.已知点M (-4, 0),椭圆等-十三尸1(01?b0)的一个焦点F (2, 0)点A (-2, 1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P,使得|PA+| PF =8,则椭圆E的离心率的取值范围是()相切，则该椭圆的离心率为(A 弓B =C. -2 .已知方程(m-1) x2+ (3-m) y2= (m-1) (3-m)表示焦点在y轴上的椭 圆，则实数m的取值范围为()A. (1, 2)B. (2, 3)C.
2、(-00, 1) D. (3, +00)4223 .已知椭圆为+*l(ab0)的两个焦点分别为F1, F2, P是椭圆上一点，且/F1PF2=60,则FFE的面积等于()A.二B.二C 6D. 3224.椭圆2Ts=1的左、右焦点分别为F1、F2,弦AB过F1,若 ABE的内切圆25 16(l的斜率存在)交椭圆于B.周长为砥A、B两点的坐标分别为(X1, y1)和(X2, y2),则|y2-y4的值是A I3 B =.,上 C * & D y y 3 f3 f2 217.已知椭圆C：号+勺l（ab0）的左焦点为Fi,离心率为工，P是椭圆C上/ b 22的动点，若点Q （11）在椭圆C内部,且|
3、 PF1|+| PQ的最小值为3,则椭圆C的标准方程为（22A.-228.在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C: J吃=1 （ab0）的右焦点F作x轴的垂线，交C于点P,若乖而=2, cos/ OPF堂，则椭圆C的方程为（）2 ,2A =14322B I=14 29.设椭圆C：的左焦点为两点，则| AF|+| BF的值是（F,直线 l: y=kx (kw 0)与椭圆C交于A, BA. 2C.2 .10.设椭圆&的左焦点为f,直线l: y=kx (kw 0)与椭圆C交于A,B两点,则 AFB周长的取值范围是（A. (2,4)B 4二.；：C.(6, 8)D. (8, 12)11 .已知FiF2是椭
4、圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PFUP用，且/P及Fi=60,则C的离心率为（）V3-1 cD. V3- 12212 .椭圆三十号l（ab。）的左右焦点分别为F1, F2, A为椭圆上一动点（异 /b2c* 工 21n X 2 1C - b0)右焦点为F,存在直线y二t与椭圆C交于A, B两点，使得 ABF为等腰直角三角形，则椭圆 C的离心率e=.2219 .已知F1，F2是长轴长为4的椭圆C：2k+三产1(&1?0)的左右焦点，P是椭圆上一点，则4 PF1F2面积的最大值为.20 .已知点P (x, v)在椭圆巨+建二1上运动，则亍+最小值是331 l+y三.解答题(共10小题) /c
5、.1 .已知Fi, F2分别为椭圆工+y2=1的左、右焦点，过Fl的直线l与椭圆父于不 2同的两点A、B,连接AF2和BE.(I )求 ABE的周长；(H)若AF2BF，,求 AB目的面积.2 .已知p：实数m使得椭圆二+廿;1的离心率 无 程,坐). z m22(1)求实数m的取值范围；(2)若q： tWmWt+9, p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围.3 .已知椭圆C:1+工1=1 (ab0)的离心率为三，短轴端点到焦点的距离为a2 b222.(1)求椭圆C的方程；(2)设A, B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OAL OB.求证：原点O 到直线AB的距离为定值，并求出该定值.
6、2 2厂4 .已知椭圆C:三+三=1 (ab0)的离心率为也，F1, F2分别是其左、右 转产2焦点，P为椭圆C上任意一点,且|PF1|+| PFd=4(1)求椭圆C的标准方程；(2)过 日 作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q (m, 0)在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=- 2&交于点M、N,若MF11NF1,求m的化5 .已知椭圆刍二1的离心率为且经过点(1, *0 . a b(1)求椭圆方程；(2)直线y=kx+m交椭圆于不同两点A, B,若|AB仁立，AOAB(O是坐标原点) 的面积等于*,求直线AB的方程.226.已知椭圆C: %+=1 (ab0)的左、右焦点分别为F1，F2且
7、离心率为过左焦点F1的直线l与C交于A, B两点，4AB5的周长为16.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点P (2, 1)作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.227 .设Fi, F2分别是椭圆C：%+*l(ab0)的左、右焦点，M是C上一点， a2 b2且MF2与x轴垂直.直线MFi与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为丝，求C的离心率.5(2)若直线MN在y轴上的截距为3,且| MN|二7|FiN| ,求a, b.8 .已知椭圆C: &H=1 (ab。)的离心率为 坐，且C过点(1,空). lb22(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k (kb0)的右焦点F (1,0),过F且
8、垂直于x轴的弦长为3,直线l与圆(x-1) 2+y2=1相切，且与椭 圆C交于A, B两点，Q为椭圆的右顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)用S, &分别表示 ABF和4ABQ的面积，求&?&的最大值.19椭圆练习 参考答案与试题解析一.选择题(共13小题)221 .【解答】解：椭圆号+J=1 (ab0)的左、右焦点分别为Fi, F2, a b以F1F2为直径的圆x v24.【解答解：由椭圆*+三=1,可得a=5, b=4, c=; a2_k=3.zb lbv如图所示，设 ABE的内切圆的圆心为G.连接AG, BG, GE.设内切圆的半径为 r ,则 2几厂叫 解得 r= 1 .则 “ABFoW
9、NIAB |+| AF2I+ |BF2 1)=7 |72-7! | ?| F1F2| ,白义 4a=| y2 - y1| X 2c, . | 丫2-y1| = .故选：D.c 3+y2=c2,以F1F2为直径的圆与直线bx+次，y=b2相切，可得：/ b二二,即 a2 - c2=ac,因为 e- (0, 1),所以 e乂LTbWVa2故选：C.2 .【解答】解：方程(m 1) x2+ (3 m) y2= (m 1) (3 m),22即工 十 万二1，方程(m - 1) x2+ (3 - m) y2= (m - 1) (3- m)表示焦点在 y 3f id-1轴上的椭圆，可得 m- 13-m0,
10、解得2Vmb0),可得a=5, b=3,c=/a2_b2=4.设| PF1I =m, | PF2| =n,则 m+n=2a=1Q 在RPE 中，由余弦定 理可得：(2c) 2=m2+n2- 2mncos60 ,可得(m+n) 2 3mn=6 即 1023mn=64, 解得 mn=12. FFF2 的面积 S=Lmnsin6012 乂吏=3V5.故选：B.2225.【解答】解：设F (-c, 0), A (xi, yi), B(X2, y2),直线AB的方程为22y=k (x+2),代入椭圆方程+l(0bb0)的一个焦点F (2, 0), / b2另一个焦点为F(-2, 0),由椭圆的定义可得2
11、a=|PF+| PF|,即 | PF| =2a- | PF| ,可得 | PA - | PF| =8- 2a,由 | PA| -| PF| 2a - | QE|=3,. 2a -7P=3,22=7-a2=b2 +c2,联立解得a=2, c=i, b2=3. .,椭圆C的标准方程为高-+j=i. a 24 J故选：A.8. .sin/OPF=3【解答】解：.|OF|=c, PF x 轴，cos/ OPF=,3cos/ OPF=-, | OP| =一叵a=c, OP而=2, 3 sinZOPF V6 23 . | OP| ?c?cos/ OPF= OP ?c?逅他c?c?近=2, 323解得 c2
12、=2, IP c=/2/. | OP|=V3,.| PF =X立=1,.P(& 31),22 a+=12OF I =BF I +210 .【解答】解：.椭圆3 彳+/二1的左焦点为F(-如，0),右焦点F2 (73,0),直线l:y=kx(20)与椭圆C交于A,B两点,连结BE,则AF=BF,AB=2OB由一的定义可知：BF+BE=2a=4, OBC (1, 2)则 AFB周长的取值范围是(6,8).故选：C11 .【解答】解：Fi, F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PFUPF2,且 ZPF2Fi=60,可得椭圆的焦点坐标 F2 (c, 0),所以P (|c, 冬).可得： 。= 1
13、,可得=1,可得 e4-8e2+4=0, eC (0, 1), qr 4b244(-4-1)12【解答】解：由椭圆的定义可得2 (a+c) =6,所以a+c=3ffi,当A在上(或下)顶点时， AF1F2的面积取得最大值，即最大值为 bc=巧，22由及a2=c2+b2联立求得a=2, b=V3, c=1,椭圆方程为:+* =1,故选：A-:I.113【解答】解：过点C做x轴垂线，垂足为D,根据正三角形性质可知D为A,B的中点，C坐标为(1, V3), C点的坐标代入椭圆方程得33=1,2 m解得m=6,所以椭圆的离心率为： 军善.故选：CV6 3二.填空题(共7小题)2.,可设 Q (cos
14、q 2sin J),14 【解答】解：二点Q在椭圆J+宁:1上移动，由圆 C: (x- 4) 2+y2=4,可得圆心 C (4, 0),半径 r=2.|CQ= VtcoSe-4)+(2sine 产V-3co s2 9 -Seos 6 +20卜85 呜)2405,当且仅当cos 8 = 1时取等号. | PQ|的最大值=5+r=7.故答案为：7.15【解答】解：:。、A、P三点共线(O是坐标原点)，0A-0P=24,. | OA| ?| OP =24,设OP与x轴夹角为9,设A (x, y)在第一象限，B为点A在x轴的投影，则OP在x轴上的投影长度为| OP| cos 0 2, 吗=24x J
15、|0A|2x2+y2=24Xj-=24 X 1 24 X =8/3.当且仅当 x=2% ) 时等号成立.几千3则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为8典.故答案为：8a.16解答】解：直线y=kx+k恒过(-1,0),直线与焦点在y轴上的椭圆/ 后二1 m 4总有两个公共点，可得：，：| QE| - 144+36 =6巫，当且仅当Q, P, F2共线，即kPF二k,即当=-时，Rt-312上述不等式取等号， t=- 5. P ( - 5, 4),据c=3, a=3x而，离心率为：e=/屋.故答案为：笔.18.【解答】解：要使 ABF为等腰直角三角形，则B (c, 2c).2.2J+: 1,又
16、a2=b2+c2, . b2=2ac, ? c2+2ac a2=0, ? e2+2e 1=0,a2且 0e 1,e=v，2 - 1.19【解答】解:故答案为：血-1.22F1, F2是长轴长为4的椭圆C；三a2 b2点，a=2, b2+c2=4的端点，此时三角形的面积最大,S=bc5（5+2x2）4；即士一最小值是言，故答案为：I55 J 1+y255.解答题（共10小题）21 .【解答】解：（I） V F1, F2分别为椭圆彳+y2=1的左、右焦点, 过F1的直线l与椭圆交于不同的两点 A、B,连接AE和BF2. .ABE 的周长为 | AF1|+| AF2|+| BR|+| BF2|=4a
17、=4.（3分）（II）设直线l的方程为x=my- 1,由4设 A（X1, y1），B（X2, y2）,则 y1+y2=x=my-l2d,得（m2+2） y22my 1=0.I-, 丫产-2-， m +2m +2（5分）. AF2LBF2,F2A?F2B=0,F3A?F3B= （x1）（X21） = （my1 一2） （my2-2) +yiy2= (m2+1) yiy2- 2m (yi+y2)+4=22in2+2m+2z-mL - 2m xJ-+4=rn +? =0.m2=7.(化分).ABE 的面积 S=x|FiF2| x，g 、-4yly 2 =f .2.【解答】解：(1)当0Vm2时，:
18、专!，又1工号，上。2时，.小山,又4222m2 4工2上解得4Vm8.综上所述实数m的取值范围：或4Vm8.4 in 22(2) vq： tmt+9, p是q的充分不必要条件，.加停ir 1或Kmg?t, t+9 , .,解得lt823.【解答】解：(1)由题意知，e=Xl, a=Jb2+c2=2,又 a2=b2+c2, a 22所以a=2, c=/3, b=1,所以椭圆C的方程为：+y2=1 ；(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线 AB的方程为x=&但；5此时，原点O到直线AB的距离为图5;当直线AB的斜率存在时，设直线 AB 5的方程为 y=kx+m, A (x1，yO , B(X
19、2, v2 .代入椭圆方程 x2+4y2=4,得(1+4k2)x2+8kmx+4m24=0,贝1= (8km) 2- 4 (1+4k2) (4m2 4) =16 (1+4k2m2)0,x1+x2=一Skino， l+4kz乂泾=4 ml+4k2贝U yy2= (kx1+m) (kx2+m) =k2x1x2+km (x1+X2)+m2222=k2? 41n U +km (+m2=ni, 由 OALOB 得 kO*OB= 1 , 即l+4kzl+4kL+4k2x1x2+y1y2=0,22所以5* =。即m2=1 (1+k2),所以原点 O到直线 AB的距离为 l+4kz5d= J2=2,，综上，原
20、点O到直线AB的距离为定值率.山+J 554 .【解答】解：(1)由题意可得：金?，|PF1|+| PE|=4=2a, a2=b2+c2.a 222联立解得：a=2, c=M=b.椭圆C的标准方程为： +-=1. 42(2)如图所示，设直线l的方程为：ty=x+&, A (%, yi), B，丫公.rty=x+V2联立./ v2 ，化为：(t2+2) y2-2 & ty-2=0,yi+y2=21 , yiy2一 了 .彳+T=1t2+2t2+2直线QA的方程为：y=2J_ (x-m),可得：M (一2伤 打(一班二) X FX -ID直线 QB的方程为：y= 72(x- m),可得 N (-2
21、近，(.X?FX2 -ID; MFi NFi ,?=0 .又 Fi (加，0 ). yi (-2V为2V八、，晨万)2+_!?=0 , 化为：2xiX2 - m (Xi+X2)州占XI F乂2 F+m2+，尸、;一+一三0，- xi+x2=t (yi+y2)- 2&, xix2= (t /2) (ty2 =t2yiy2 - V2t (yi+y2)+2.(2t2+8+4 :m+m2) yiy2 (2v ：+2mt) (yi+y2)+4+4 :m+2m2=0,(2t2+8+4Vm+m2) ? 了 (2t+2mt)+4+4-/2m+2m2=0,t2+2t2+2化为：(m2-4) (t2-1) =0.
22、? tCR 上式都成立，. m2-4=0,解得 m= 2.V 45 .【解答】解：（1）椭圆与+工|二1的离心率为*且经过点 3 零）， a b/N可得e一坐，士-T=1，a2-b2=C2,解得a=/2, b=1,则椭圆方程为 =+y2=1;a 2 a 2b2(2)直线 y=kx+m 与椭圆 x2+2y2=2 联立，可得(1+2k2) x2+4kmx+2m2 - 2=0,2设 A (xi, yi), B(X2, y2),则 xi+X2=- 4km , xiX2=Sm,l+2kz 2 221ABi= I ：？i = U；.,二;：；一二；=V16k2+8-8in2= 由4OAB （O是坐标原点）
23、的面积等于 返1+21/2设O到AB的距离为d,可得AB|d&I,即d&l,即有，周 二 223 Vl+k2即 3m2=2+2k2联立解得 m=1, k= ； m= - 1, k= , 22则直线AB的方程为y=返x+1或y=返xT. 2222厂6 .【解答】解：（1）如图所示，椭圆C:%+%=1的离心率为学,.=1, zXABE 的周长为 | AB|+| A+| BF2| =4a=16, . . a=4,a 222；c=2四,b2=a2-c2=4, 椭圆 C的方程三二1；（2）设过点P （2, 1）作直线l, l与椭圆C的交点为D （x1，y1），E （x2, y2）,（v 2 廿 2十 二
24、1164则，22，两式相减，得（xj -耳2?） +4（V12-上。）=。，x2 产？+=：1164（xI+x2）（x1一x2）+4 （y1+y2）（v2 =0,.古比 的刽星* l-7 2 - zl+z2 _2X2 _ 1 直线l的斜率为 k= = 77 7 r= = $ m门31t 一 ,工厂尺2 4（打+万）4X2X12此弦所在的直线方程为y- 1 = - （x-2）,化为一般方程是x+2y- 4=0.k27.【解答】解：（1）根据匚二号，及题设知M （c, ?）,5b2=24ac将 b2=a2-c2代入 5b2=24ac解得或二-5 （舍去）， a 5 a故 C 的离心率为 工；（4分
25、）.5（2）由题意得，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MFi与y轴的交点D （0, 3）是线段MFi的中点，故 a即b2=6a（7 分）由 |MN|二7|FiN| 得|DFi|二3|FiN|,设 N （xi, yi）r 3（x0,设点 P、Q 的坐标分别为(, y“、(x2, y2),刖,一 3km1)小 X 1 + K9=丁，工 1 工厂9，1/ IHk2 1 l+4kJ-yi+y2=(kxi+m)(%+m)=k2町工2+km(X + K2)+ m2，直线OP、1、OQ的斜率成等比数列，整理行 km( k J x J+m二02 V 12 k 戈K?+km(m +工 2)+m2 2
26、.出又mw0,所以，小二，结合图象可得k=，故直线1的斜 1+4 k242率为定值.9 .【解答】解：椭圆的焦点分别为Fi (-2/2, 0)、F2 (2/2, 0),长轴长为6,22焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：=1 (ab0), a=3,产工+2a2 bZ22Jb2=a2-c2=9-8=1,椭圆C的方程为：?-+二1;由，J z ,消y整理得： 9 1二10x2+36x+27=0,由 =362-4X10X27=2160,直线与椭圆有两个不同的交点，设A (X1,y1)，B(X2,y2),中点E(x,y),则x1+X2=-毕，由中点坐标公式可知： xo=K1 = Y, y0=x0+2=i-
27、,5255故线段AB的中点坐标为(-?，?).10 .【解答】解：(1)由已知c=1,生一二3,又a2=b2+c2,解得&=2, bR5.椭圆C的方程为：-+-1; (2)当l斜率不存在时，AB=2/，得Si?8=6.J；V当1斜率存在时，设为直线为y=kx+m,由1与圆(x-1)2+y2=1相切，得m2+2km=1y=kx+in)联立、J y2 ,得(3+4k2) x2+8kmx+4m2-12=041rl* T 2-Skm设A (xi, yi), B (x2, y2),贝 1町 + 工？二工1时广1 上 3+4kz1 上 3+4k2网二扃白町r 2国面/在丑箕.Q到直线的距离d阜4，1 *3+4k*Vi+k2coo _ 1 I I 1 c i j(3-m，4k2) |2k+m|S?&fIab| xix |ab| xd-i2Vi+k24L-2 2(3+4k2)2将(*)式代入得 S?S2-6(4 J产，令 t-m2+1C (1, +8).ki4 + iti2+12?&-6( /)2-6(.:-)?6.综上，S?&的最大值为 6.m +d +1I OF2 I ,则四边形AFBF是平行四边形，：AF=BF. ；|AF|+| BF = I BF2 I =2a=4,故选：C.