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1、几何综合题1 .已知ABC, AD是 BAC的平分线，且 AD=AR 过点C作AD的垂线，交 AD的延长线于点 H.(1)如图 1,若 BAC 60直接写出 B和 ACB勺度数；若AB=2,求AC和AH的长；(2)如图2,用等式表示线段 AH与ABAC之间的数量关系，并证明.答案：(1) B 75 , ACB 45 ;作DEL AC交AC于点E.RtAADE 中，由DAC 30 , AD=2 可得 DE=1, AE 哀.RtA CDE 中，由ACD 45 , DE=1,可得 EC=1.AC 3 1 .，, 3, 3RtA ACH 中，由 DAC 30 ,可得 AH ;2(2)线段AH与AB+A
2、C之间的数量关系：2AH=AB+AC证明： 延长AB和CH交于点F,取BF中点G,连接易证 ACH AAFH.AC AF , HC HF .GH / BC . AB AD ,GH.ABD ADB.AGH AHGAG AH . AB AC AB AF 2AB BF 2 AB BG 2AG 2AH .2.正方形ABCD的边长为2,将射线AB绕点A顺时针旋转，所得射线与线段 BD交于点M，作CE AM于点E ,点N与点M关于直线CE对称，连接CN .(1)如图1 ,当045时,依题意补全图1 .用等式表示 NCE与 BAM之间的数量关系： .(2)当4590时，探究 NCE与 BAM之间的数量关系并
3、加以证明.(3)当090时，若边AD的中点为F ,直接写出线段 EF长的最大值.备用图答案：(1)补全的图形如图 7所示. / NCE=2 / BAM .(2)当 45 K90 时， NCE=1802 BAM .证明：如图8,连接CM,设射线AM与CD的交点为H.四边形ABCD为正方形,ZBAD= ZADC= ZBCD= 90,直线 BD为正方形 ABCD的对称轴,点A与点C关于直线BD对称.射线AM与线段BD交于点M,/ BAM= / BCM= a./1=/2=90. CEXAM , /CEH= 90, / 3+7 5=90.又/ 1+ 7 4=90, / 4=7 5, /1 = /3./
4、3= / 2= 90.点N与点M关于直线CE对称，Z NCE= Z MCE= Z 2+ Z 3= 1802 BAM .(3) .,2 1/士/日 DM士*使得的值不变?MEL EB3.如图，已知 AOB 60，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PE OB ,交OB于点E ,点D在 AOB内，且满足 DPA OPE , DP PE 6.(1)当DP PE时，求DE的长；(2)在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点 M,并证明你的判断.答案：(1)作 PF，DE 交 DE 于 F .PE BO , AOB 60, OPE 30. DPA OPE 30EPD 120.DP PE, DP PE
5、6,PDE 30, PD PE 3.DF PD cs303出.2 . DE 2DF 3.3.(2)当M点在射线OA上且满足OM 2J3时，也的值不变，始ME终为1.理由如下：当点P与点M不重合时，延长 EP到K使得PK PD. DPA OPE, OPE KPA,KPA DPA.KPM DPM . PK PD,PM是公共边， KPM DPM .MK MD.作 ML，OE于L,MN，EK于 N .MO 2 同 MOL 600, ML MO sin60o 3. PE BO, MLXOE ,MN EK,.四边形MNEL为矩形. EN ML 3. EK PE PK PE PD 6,EN NK .MN E
6、K,MK ME. ME MK MD,即 DM 1. ME当点P与点M重合时，由上过程可知结论成立4.如图，在菱形 ABCDK / DA=60。，点E为AB边上一动点(与点 A, B不重合)，连接 CE将/ ACE勺两边所在射线CE CAl点C为中心，顺时针旋转120。，分别交射线 AD于点F, G.(1)依题意补全图形；(2)若/ ACE=,求/ AFC的大小(用含a的式子表示)；(3)用等式表示线段 AE AF与CG之间的数量关系，并证明.(2)解：由题意可知，/ ECFW ACG=120. / FCG之 ACE=a. .四边形 ABCD是菱形，/ DAB=60,/ DAC=Z BAC=30
7、 :/ AGC=30.AE AF , 3CG . ./AFC =a+30.(3)用等式表示线段 AE、AF与CG之间的数量关系为证明：作CH, AG于点H.由(2)可知/ BAC=Z DAC=Z AGC=30.CA=CG. HG =1AG2 / ACE 土 GCR / CAE 之 CGRACE AGCF.AE =FG在 RtHCG中，HG CG cos CGHAG =，3CG即 AF+AE= 3 CG5.如图，RtAABC,/ ACB= 90 , CA =CR过点C在AB。卜作射线 CE且/BCE=，点B关于CE的对称点为点D,连接AD BD CD其中AD BD分别交射线 CE于点M N(1)
8、依题意补全图形；(2)当 =30 时，直接写出/ CMA勺度数;(3)当 0 45时，用等式表示线段 AM。电间的数量关系，并证明.答案：(1)如图;(2) 45。；(3)结论：AM = CN.证明：作 AG EC的延长线于点 G.点B与点D关于CE对称，.CE是BD的垂直平分线.CB=CD./ 1 = 7 2=. CA=CB, .1. CA=CD. ，/3=/CAD.,. Z 4=90 ,./3=1 (180/ACD)=- (18090) =45.22，/5=/2+/3= +45 -=45 .,. Z 4=90 , CE是BD的垂直平分线，.1 + Z 7=90 , / 1 + Z 6=90
9、 . / 6=/ 7.AG EC, ./ G=90 =/ 8. 在 BCN和 CAG 中，“8=/ G,/ 7=/ 6,BC=CA, . BCIN CAGCN=AG. RtAAMG 中，/ G=90 , / 5=45 , AM=、2 AG. AM=、2CN.6.在正方形ABC用，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段八港点A顺时针旋转90 得到线段AQ连接BP,DQ(1)依题意补全图1;(2)连接DP,若点P, Q D恰好在同一条直线上，求证： DP2 DQ2 2AB2；若点P, Q, C恰好在同一条直线上，则 BP与AB的数量关系为： .答案：(1)补全图形略(2)证明:连接BD ,如图
10、2,线段AP绕点A顺时针旋转90。得到线段AQ ,AQ AP , QAP 90 .四边形ABCD是正方形，AD AB, DAB 90.ADQ 心 ABP.DQ BP , Q 3.90BD2,.在 Rt QAP 中， Q QPABPD 3 QPA 90 .22在 Rt BPD 中，DP BP22又 DQ BP , BD 2AB ,22_ _2 DP2 DQ2 2AB2 . BP AB .7.如图，在等腰直角 ABC中，/ CAB=90 , F是AB边上一点，作射线 OF,过点B作BGL CF于点G,连接AG(1)求证：/ ABG/ACF(2)用等式表示线段CG, AG BG之间 的等量关系，并证
11、明.B答案：(1)证明： /CAB=90BG CF于点 G, Z BGF=Z CAB=90. / GFB=Z CFA /ABG=/ACF(2) CG= 2AG+BG.证明：在 CG上截取ChkBG,连接AH, ABC是等腰直角三角形，Z CAB=90 , AB=AC. /ABG=/ACHAABG ACHIAG =AH, / GAB= / HAC /GAH=90 ._ 22_2AG AH GH .GH= . 2 AG. CG=CH+GH= , 2 AG+BG.8.如图，在正方形 ABC由，E是BC边上一点，连接 AE线FH分别交AB CDT点M N,交对角线 AC于点P,(1)依题意补全图形；(
12、2)求证：/ FAG/APF(3)判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明.延长CB至点F,使BF=BE过点F作FH1AE于点H,射连接AF.F答案：(1)补全图如图所示.(2)证明二.正方形 ABCD, ./ BAC=/BCA=45 , / ABC=90/ PAH=45 - / BAE.FHI AE.，/APF=45 +/BAE. BF=BEAF=AE / BAF=Z BAE.FA(=45 +/BAF. / FA/APF.(3)判断：FM=PN.证明：过B作BQ/ MN交CD于点Q,MN=BQ, BQXAE. 正方形ABCD,AB=BC, Z ABC=ZBCD=90 ./ BAE=Z CBQ
13、ABEi BCQAE=BQ.AEMN . / FAC：/APF,AF=FP. AF=AEAEFP.FP=MN .FM=PN.9.如图所示，点 P位于等边ZXABC的内部，且/ ACP=Z CBP.(1) /BPC的度数为 ;(2)延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD, CD.依题意，补全图形；证明：AD+CD=BD; 在(2)的条件下，若 BD的长为2,求四边形ABCD的面积.(2)RM 1所示.在等边 ABC中， ACB 60 ACP BCP 60 .ACP= CBP,CBP BCP 60 .BPC 180CBP BCP 120 .CPD 180 BPC 60 . PD = PC, zX
14、CDP为等边三角形. ACD ACP ACP BCP 60 , ACD BCP.在 ACD和 BCP中,AC BC,ACD BCP,CD CP, AACDABCP SAS .AD BP. AD CD BP PD BD.4 分(3)如图2,作BMAD于点M , BNLDC延长线于点 N . ADB= ADCPDC 60 , . ADB= CDB 60 .ADB = CDB 60BM=BN -3BD3.2又由（2）得，AD CD BD=2,13 AD CDc_c ，c11S四边形ABCD =SAABD +SA BCDAD gBM CD gBN222.2 乙 V3.7分10 .如图1,在等边三角形
15、ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段 QA绕点Q顺时针旋转，使得点 的对应点E落在射线BC上，连接BQ,设/ DAQ=a（0 “V60且 井 30）.（1）当 0 “V 30时，在图1中依题意画出图形，并求/ BQE （用含”的式子表示）；探究线段CE, AC, CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30VaV 600时，直接写出线段 CE, AC, CQ之间的数量关系.备用图解：(1)3.(2)设直线色+33 与x轴，y轴的交点分别为点A,点 B,可得 A(3点0),B(0.3)0A33 , 0B 3, OAB 30由ow Lq w 75,作直线v点x如图13,当。D与x轴相
16、切时，相应的圆心标取到最大值.作DRx轴于点Ei ,可得 DZ II 0B,E-iBOARAO5满足题意，其横坐 0D的半径为1,图13AE1BC, BD是AC边上的高，点 C关于直线 BD的对称点为点 E,连接BE(1)依题意补全图形;若/ BAC=,求/ DBE的大小（用含的式子表示）；(2)若DE=2AE,点F是BE中点，连接AF, BD=4,求 AF 的长.(1)解：如图. : AB=AC, / BAC=/。1： / ABO/ACB=902点C关于直线BD的对称点为点E, BD是AC边上的高.：BD CE, CD=DE.:BE=BC./。1: /BEG/AC&90 2(2)解：作 FGAC于 G,BD CE, ：FG/ BD, ,_1”.点 F是 BE 中点，EG=DG. ： FG=BD 4分2DE=2AE, /.AE=EG=DG. 5分设 AE=EG=DG=x,贝U CD=DE=2x, AC=5x, . AB=AG5x.BD=4x.BD=4, ：x =1. 6分.AG=2.1 FG=-BD =2, 2：AF=2#. 7分