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1、高等数学(上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质1、定义(以数列为例)lim xn = a y v 8 0,三N,当 n a N 时，| xn a |0,则 M8 0,当 乂“(,3)时,f (x)0 XX07(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。二、求极限的主要方法与工具1、*两个重要极限公式(1) ymsin = l(2)ljm(1 + 1)0=e2、两个准则 (1) *夹逼准则(2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法常用替换：当at 0时(1) sin (2) tan (3) arcsin3A(5) ln(1 +) /小，12(7) 1 - cos4 - 2(4
2、) arctan (6) e-(8) % +-1 n4、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义三、无穷小阶的比较*高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类1、连续的定义*f （x）在a点连续一米何去型（极限存在）弟一大跳跃型（左右极限存在 但不相等）2、间断点的分类（无穷型（极限为无穷大）第二类震荡型（来回波动） 恚他3、曲线的渐近线*五、闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念1、导数的定义*2、左右导数左导数f=lim工二lim f（x）-f x x x x - a右导数f如片四+1口+吗二3、导数的几何意义*4、导数的物理意义5
3、、可导与连续的关系： 可导t连续，反之不然。二、导数的运算FF1、四则运算 （uv），=uv，（uv）= uv + uv，（u） = uv 2uvv v2、复合函数求导设y =仲刈, 一定条件下步器*加 3、反函数求导 设y= 炒和乂= f(y)互为反函数，一定条件下：yX =Xy4、求导基本公式* (要熟记) 5、隐函数求导*方法：在F(x,y) = 0两端同时对x求导，其中要注意到：y是中间变量，然后再解由 y6、参数方程确定函数的求导*设x= x(t),y=y(t)定条件下dy Xdyxyx = 丁 = 一，yxdx xtdx(当tXtytXt 一 yxXt(Xt)3(可以不记)7、常用
4、的高阶导数公式(1)(莱布尼茨公式)n(uv)- Cunvk=0三、微分的概念与运算 1、微分定义*若 Ay = Ax + ogx),贝Uy=f(x)可微，,己 dy = A4x=Adx2、公式：dy = f(x)4x = f(x)dx3、可微与可导的关系*两者等价4、近似计算当| 4x|较小时，Ay定dy , f (x)之f (x +Ax) + f(xgx第三章导数的应用一、微分中值定理*1、柯西中值定理* 当取g(x)=x时，定理演变成:2、拉格朗日中值定理*当加上条件f(a)= f(b)则演变成：3、罗尔定理*案w (a,b),使得：伯)=04、泰勒中值定理在一定条件下:其中Rn(X)=
5、f(n 1) ()(n 1)!(X-%产=0(汽-X0)n)J 介于 X0、X之间.当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理 当儿=0时，公式变成5、麦克劳林公式 f (x)= f (0) + f,(0)x + .+ f (0)xn + R(x) n!6、常用麦克劳林展开式1 n nx o(x ) n!2(1)eX=1+x +土 +2!35(2) sin x = x - - + 2n 43!5!o(x2n)、罗比达法则*记住：法则仅能对0,二型直接用,0 二对于 0 ,笛严一笛,1二00严0,转化后用.事指函数恒等式*g gln ff 二 e三、单调性判别* 1、单调区间分界点：驻点和不可导点
6、四、极值求法*1、极值点来自：驻点或不可导点(可疑点)2、求生可疑点后再加以判别 .3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.4、第二判别法：一阶导等于0,二阶导不为。时，是极值点.正为极小，负为极大.五、闭区间最值求法*找由区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小六、凹凸性与拐点*1、拐点：曲线上凹凸分界点(4,y0).横坐标不外乎f ”(Xo) = 0，或f ”(%)不存在，找到后再加以判别 X。附近的 二阶导数是否变号.七、曲率与曲率半径1、曲率公式K = 1y | 3(1 y 2)22、曲率半径R = K第四章不定积分一、不定积分的概念*若在区间 I 上，F(
7、x)= f(x)，亦dF(x)= f(x)dx,则称F(x)为f(x)的原函数.称全体原函数F(x)+c为f(x)的不定积分，记为Jf(x)dx.二、微分与积分的互逆关系三、积分法*1、凑微分法*2、第二类换元法3、分部积分法*udv = uv- vdu4、常用的基本积分公式(要熟记).第五章定积分、定积分的定义a f(x)dx =项0； f ( i”x、可积的必要条件有界.三、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或单调四、几何意义 定积分等于面积的代数和五、主要性质*1、可加性 j= j2、估值 在a,b 上，m(b - a) w j f (x)dx m M (b - a)3、积分中值
8、定理*当 f(x)在a,b上连续时：(f (x)dx= f、)(b-a)4 亡a,bb4、函数平均值：a f(x)dxb - a六、变上限积分函数*七、牛-莱公式*八、定积分的积分法*1、换元法 牢记：换元同时要换限2、分部积分法 fudv = uv |b - fvduaa a3、特殊积分(1)当f(x)为周期为T的周期函数时:,71(3) 一定条件下:xf (sin x)dx =0 f (sin x)dx九、反常积分*1、无穷区间上(x)dx = lim j f (t)dt = F (x) *= F (+好)-F (a) 其他类似2、p 积分：L*：dx(aA0):xp 1时收敛、p工1时发
9、散3、瑕积分：若a为瑕点：则 ab f (x)dx = lim J f (t)dt = F(x) l： + = F(b)-F(a1 其他类似处理第六章定积分应用一、几何应用1、面积(1) C:,X = x?,(口 何日),则 A= jy(t)x(t)|dty = y(t)2、体积*(1)旋转体体积 * Vx =n / y2dx Vy = n x2dy或 Vy = 2冗 xy dx(2)截面面积为A = A(x)的立体体积为V =(A(x)dx3、弧长(1) s = a %1 + y%x(a w x w b) s = 乂扇 + ydt,(Q w t w B)(3) s= &S2 . P2d3(QB)二、物理应用1、变力作功一般地：先求功元素：dw=F(x)dx,x7a,b,再积分 w=bF(x)dxa克服重力作功的功元素dw咻积M P父g父位移2、水压力dP= 水深M面积M P M g第七章微分方程一、可分离变量的微分方程形式：dy = f（x）g（y）dx二、一阶线性微分方程*1、线性齐次：y，+p（x）y = 0通解公式*: y=CeTP（x）dx2、线性非齐次y，+p（x）y = q（x）通解公式 * : y =eTP（x）dx JeJP（x）dxq（x）dx + C）