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1、不定方程解应用)(二)采购员用一张1万元支票去购物。购单价590元的A种物若干， 乂买单价670元的8种物若干，其中8种个数多于A种个数，找 回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张)。如把购A 种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张 数也恰好相反。问购A物几个，8物几个？解：设购A种物x个，购8种物为x+y个，并设第一次购物找 回，,张100元，S张10元，则xx59O+(x + y)x67O+rx 100+5x10 = 10000 (1) (x+ y)x590+xx670 + 5x 100+rxl0 = 10000 (2)这是4个未知数，2个方程的不定方程组。
2、解方程时，方程变形 的一些法则(方程两边同时乘或除以不为0的数，方程不变；方程 两边同时加或减一个数，方程不变)仍适用。先将(1) (2)两边约 去10,得59x + 67x + 67y + 10r + 5 = 1000(3)59x + 59y + 67 x +1 Os + r = 1000(4)由于(3) (4)式的右边都等于1000,因此它们相等，整理后得8y+9r9s=0,再在方程两边同时加上9s-9r,得：8y=9(5r)由于)，是大于。的整数，所以$一，也是整数0。因此 8 19- (s-r), 9 I 8户v = 9 k应有. ，k为大于0的整数0s - r = 8攵但是S是10元
3、钱的张数，SW9,，是100元钱的张数，所以k=l, 因此 y=9, sr=8o 显然 s=9, r=lo代回式：得到x=3。所以：x=3, x+y=3+9 = 12, r=l, s=9。采购员购 A 物 3 件, 8物12件，找回1张100元，9张10元。1、有捆树苗，每人种6棵还余4棵，每人种5棵还余3棵，这捆树苗最少多少棵？2、李家和王家共养521头牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群 中仅有113是母牛，李家和王家各养多少头牛？3、 名学生去商店买足球，足球23元钱只，若该生身上的钞票都是2元 一张的，而商店的钞票都是5元张的，试问学生应该怎么付钱？4、A、B、C三个微型机器人
4、围绕个圆形轨道高速运动，它们顺时针同时 同地出发后，A在2秒钟时追上B, 2.5秒钟时追上C,当c追上B时，C和 B的运动路程之比是3： 2,问第一分钟时，A围绕这个圆形轨道运动了多少 圈？5、设有框苹果，把它们三等分后还剩1个苹果，取出其中两份后，将它们 五等分后还剩4个苹果，然后再取出其中三份，将它们四等分后还剩2个苹 果，问这框苹果至少有几个？6、某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m位男生和11位的捐款总数与乙班的9位男生和n位女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数帏信点兵和不定方程和书的作者不详，但后来经过宋朝数
5、学家秦九韶的推广，又发现r一种算法，叫 做“大衍求一术”。在中国还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，王树梅花甘一枝，七子团圆正半月， 除百零五便得知。它的意思是说：将某数(正整数)除以3所得的余数乘以70,除以5所得的余数 乘以21,除以7所得的余数乘以15,再将所得的三个积相加，并逐次减去105,减到 差小于105为止。所得结果就是某数的最小正整数值。用这首歌诀来计算上面的“韩信点兵”问题，我们便得到以下的算式：1X70+2X21+2X15=142.142 -105=37,即这群士兵共有37名。孙子算经上还有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数,三 三数之余二，五五数之余三，七
6、七数之余二，问物几何。”用上面的歌诀来算，便得 到算式：2X70+3X21+2X15=233,233 105X2=23,即所求物品最少是23件。上面的“韩信点兵”问题，我们可以表示成方程或方程组。设士兵共有m名。m除以3, 5, 7所得的商分别为x, y,z,那么由题意，有这是一个“未知数的个数（这里有m, x, y, z共4个）多于方程的个数（这里有3个）”的方程组。它可以合并成一个方程（将3个方程相加）3x+5y+7z+5=3m这个方程中含有2个或2个以上的未知数。我们把这样的方程叫做不定方程，把 前面这样的方程组叫做不定方程组。这个不定方程组还可以写成3x+1=5y+2=7z+2=m的形式。上面所例举的方程或方程组都有无限多个正整数解（这是因为方程或方程组 本身没有mvlOO的限制,所以取m=37, 37+105, 37+105X2,代入方程组，就可 以得到相应的各组x, y, z的值，例如等等，都是方程组的解也就是说，方程或方程组的解不都是唯一确 定的，这便是“不定方程”和“不定方程组”中“不定”两字的由来。我国著名的数学家华罗庚早在少年时代（上初中前）就求得了 “物 不知数”问题的答案。这类问题引起了他后来研究整数性质以至于“数 论”的兴趣。外国数学界也很重视，并把“大衍求一术”称为“中国 剩余定理”。