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1、五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难 点.下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考.一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法： 或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其 与长线段相等.例 1.如图 1,在4ABC 中，/ ABC=60 , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD .分析：要证 AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在 AC上截取AF=AE ,则只要 证明CF=CD .证明：在
2、AC上截取AF=AE ,连接OF. AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB , / ABC=60 .Z 1 + 7 2=60 , ./ 4=Z 6=Z 1 + 7 2=60 .显然， AEO0AFO, ./ 5= Z 4=60 ,/ 7=180 (/ 4+/ 5) =60 在ADOC 与FOC 中，/6=/7=60 , /2=/3, OC=OC . DOCA FOC, CF=CDAC=AF+CF=AE+CD .截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加 以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍
3、、分等类的题目。例2:如图甲，AD/ BG 点E在线段 AB上，/AD昌/CDE / DC叵/ ECB 求证：CDAD+BG图甲思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CDAC+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”， 即在CD上截取CF=CB只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问 题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BG如图乙在与BCf中，*CH = CB；工fCJtBCE CE=CE .FCEABCE(SAS , ./2=/1。又. AD/ BQ /AD（+/BC=180 , /DC+/CD=
4、90 ,. /2+/3=90 , /1 + /4=90 ,./3=/4。在 4FDE 与ADE,DE = ZADE DE DEZ3 = Z4 - .FDEAADE（ASA , . DF=DA .CD=DF+CF, . CD=AE+BC解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另 一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等 于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差 小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。2）在
5、利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连 接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。二、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路.例3.已知三角形的两边长分别为 7和5,那么第三边上中线长 X的取值范围是（）分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断.解：如图2所示，设 AB=7 , AC=5 , BC上中线AD=x .延长AD至E,使DE = AD=x .AD是BC边上的中线，BD=C
6、D/ADC=/EDB （对顶角） . ADC EDBBE=AC=5在ABE 中 AB-BE vAEvAB+BE即 7-5V2XV7+5 .1VXV6例4：已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EFAD提示：倍长 AD至G,连接BG,证明ABD8ACDA 三角形BEG是等腰三角形例5：已知：如图，在 AABC中，AB=AC交 AE于点 F, DF=AC.求证：AE平分/BAC提示：方法1:倍长AE至G,连结DG方法2:倍长FE至H,连结CHD、E 在 BC上，且 DE=EC 过 D作 DF /BA提示：倍长AE至F,连结DFA例 6
7、:已知 CD=AB , / BDA= / BAD , AE 是 ABD的中线，求证：/ C= / BAE证明 AABEAFDE (SAS进而证明 AADMAADC(SAS)5、如图5, AD为AABC的中线，求证：AB+AO2AD.6、如图6所示，AD是aABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF 求证；AC=BF.图6你热爱生命吗？那么别浪费时间，因为时间是组成生命的材料-富兰克林5、分析：要证 AB+AC2AD由图想至U： AB+BDADAC+CDAD所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD比要证结论多BD+CD故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AR即加倍中线，把
8、所要证的线段转移到同一个三角形中去A证明1延长AD至E,使DE=AD,连接BE, CE:AD为色抽的中线（已知）J.BD=CD （中线定义）在AACD和AEBD中BD - CD C 已证）Z1 = /X对顶角相等）AD = ED（辅助线作法） . .AC* EBD（SAS . BE=CA（全等三角形对应边相等） 在4ABE中有：AB+BEAE三角形两边之和大于第三边） .AB+AC2A D6、分析：欲证AC=BF只需证AG BF所在两个三角形全等，显然图中没有含 有AG BF的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AG BF的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，
9、能够把这两 条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线 段，所对的角相等即可。思路一、以三角形ADCXJ基础三角形，转移线段 AG使AG BF在三角形 BFH中方法一：延长AD至UH,使得DH=AD连结BH证明ADCffi HDB&等，得 AC=BH通过证明/ H=/ BFH得至1J BF=BHA证明：延长AD到H,使得DH=AD,连接BHD为BC中点二 BD-DC在乙也。和&HDE中AD = DHDObKE用J . AB+LKAB曲 DgE-AB=AE. 在母HRS与瓦 CPD中，PE = PD ZPEA = ZPDCAE= DC全等三角形问题中常见的辅助线的作法常
10、见辅助线的作法有以下几种：1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是 全等变换中的“对折”.2）遇到三角形的中线， 倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等， 或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答