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1、中考总复习：特殊三角形一知识讲解（提高）【考纲要求】【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】1 . 了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、 等边三角形、直角三角形的性质和判定.2 .能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题.3 .会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、等三角形.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形1.4 .性质：（1）具有三角形的一切性质；;（等边对等角）（2）两底角相等；（三线合一）（3）顶角的平分线，底边中线，底边上的高互 相重合0 .等边三角
2、形的各角都相等，且都等于60 （4）.等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条要点诠释：.判定：3）; （1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形；。的等腰三角形是等边三角形.（3）有一个角为60要点诠释：腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；（1）（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.考点二、直角三角形 直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.1. .性质：2直角三角形中两锐角互余；（1） 30。锐角所对的直角边等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，
3、那么这条直角边所对的锐角等于（3）勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；（4）222,那么这个三角形是直角三角形；a=c+b勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a, b, c满足 （6）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半I 1要点诠释：2 2ch=ab,其中a、b二为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；（1）直角三角形中，S ab* （2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形.3.判定：(1)两内角互余的三角形是直角三角形；(2) 一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
4、则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边【典型例题】类型一、等腰三角形OC1. (2014秋？自贡期末)如图，点 O是等边 ABC内一点，/ AOB=110 , / BOC= a.以 为一边作等边三角形 OCD，连接AC、AD .(1)当a =150。时，试判断 AOD的形状，并说明理由；(2)探究：当a为多少度时， AOD是等腰三角形?【思路点拨】(1)首先根据已知条件可以证明BOCA ADC ,然后利用全等三角形的性质可以求出/ ADO的度数，由此即可判定 AOD的形状；(2)利用(1)和已知条件及等腰三角形的性质即可求解.【答案与解析】解：(1) . OCD是等边三角形，.OC=CD ,而
5、 ABC是等边三角形，BC=AC ,ACB= / OCD=60 , ./ BCO= / ACD ,rOC=CD4/BCD二NACD 在ABOC 与 AADC 中，BC二 AC,.-.ABOCA ADC , ./ BOC= / ADC ,而/ BOC= a =150 , / ODC=60 , ./ ADO=150 60 =90 ,.ADO是直角三角形；,CAO=d , / BAO=c , / ABO=b , / CAD=a / CBO= ) .设/ 2 (.则 a+b=60 , b+c=180110 =70 , c+d=60 , a+d=50 / DAO=50.b d=10 ,(60a)d=10
6、 ,.a+d=50 , 即/ CAO=50 , 要使 AO=AD ,需/ AOD= / ADO , .190a =a 60 ,.a =125 ;要使 OA=OD ,需/ OAD= / ADO , a 60 =50 , a =110 ;要使 OD=AD ,需/ OAD= /AOD , .190a =50 ,.a =140 .所以当a为110、125、140时，三角形 AOD是等腰三角形.【总结升华】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键.举一反三：【变式】把腰长为 1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是
7、2十企2【答案】2.已知：如图，菱形ABC叶,E、F分别是CR CD上的点，BE=DF(1) 求证:AE=AF. 若AE垂直平分BC, AF垂直平分 CD,求证： AEF为等边三角形.【思路点拨】菱形的定义和性质【答案与解析】/D , ABC皿菱形，AB=AD,/B=，.四边形 里.邑 a AE=AF.CD, AE垂直平分 BC, AF垂直平分.(2)连接AC,AB=AC=AD AB=BC=CD=DA ,ACD都是等边三角形.ABC和, _二_。二二，一上ZEAF=ZCAE+ZCA = 60n是等边三角形.又.AE=AF&4型.【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性
8、质例4】举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形DE.,连接CE D,延长BA到E,使AE=BDABC变式】如图，为等边三角形，延长 求证：又 BE=DF-LADFBC至ij CE=DE.BD到F,使DF= BC,连接EF【答案】，延长 等边 ABG .AB= BC= AC, / B= 60.,. BF= BD+DF BE=AB+AE AE= BD, BC= DF, .BF= BE,等边 BEF,.EF= BE, / F= / B, .BC& FDE (SAS .CE= DE.类型二、直角三角形.3. (2015秋？东海县校级期中)如图，ABC中，CFAB,垂足为 F, M为BC的中点，E
9、为AC上一点，且 ME=MF(1)求证：BEX AC;(2)若/ A=50 ,求/ FME的度数.121MF=BM=CM=BC1 )根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再求出【思路点拨】 QME=BM=CM=BC ,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；(2)根据三角形的内角和定理求出/ABC+ /ACB ,再根据等腰三角形两底角相等求出/BMF+/CME ,然后根据平角等于 180。列式计算即可得解.目【答案与解析】(1)证明：: CFLAB,垂足为F, M为BC的中点， 工 gMF=BM=CM=BC ,. .ME=MF ,ME=BM=CM=BC ,.BELAC;(2)解
10、：./ A=50 , ./ ABC+ / ACB=180 50 =130 ,.ME=MF=BM=CM , ./ BMF+ / CME= (1802/ABC) + (1802/ACB)=3602( / ABC+ / ACB )=360 2X 130=100 ,在 AMEF 中，/ FME=180 100 =80 .【总结升华】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，2)中整体思想的利用.熟记性质是解题的关键，难点在于( 4.如图， AC丽 BCE都是等腰直角三角形，/ACD= / BCE= 90 , AE交DC于F, BD分别交CE,的位置和数量关系，并说
11、明理由.BD和AE试猜测线段 H.、G于点AE.【思路点拨】 AACD和 BCE都是等腰直角三角形，为证明全等提供了等线段的条件.【答案与解析】 猜测AE = BD, AE BD.理由如下： / ACD= / BCE= 90 , / AC济 / DCE= / BC曰 / DCE 即 / ACE= / DCB ACDm BCE都是等腰直角三角形，AC= CD, CE= CB. .AC眸 DCB(SAS). AE= BD, / CAE= / CDB / AFC= / DFH ./ DHF= / ACD= 90 , AE BD.【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种举一反三：【变式】.
12、以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第 2个等腰直角三角形 ABA再以等腰直角 三角形ABA的斜边为直角边向外作第 3个等腰直角三角形 ABB,，如此作下去，若OA=OB=1 则第n个等in腰直角三角形的面积 S=.【答案】.类型三、综合运用图 图5 . (2012?牡丹江)如图， ABC 中.AB=AC P 为底边 BC 上一点，PE AB, PF AC, CHI AB, 垂足分别为 E、F、H.易证PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接AP. PEXAB, PF AC, CHI AB,111SSS=AB?CH AB?PE =AC?PF =. ABCAA ABPAACP222 .SS S
13、 又abcaaaabpacp111 AB?CH.AB=AC ., PE+PF=CH . AB?PE+AC?PF= 一 一 222 又有怎样的数量关系？请写出你的CH PF、P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE (1)如图， 猜想，并加以证明：PF=3,当的距离为 PFBC上，且P到直线AC2()填空：若/ A=30 , ABC的面积为49,点P在直线PE=.边的距离到 AB边上的高CH=.点P时，则AB【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，(2) 中分情况讨论是解题的关键.【答案与解析】(1)如图，PE=PF+CH证明如下：1 . PEXAB, PF AC, CHI AB,111SSS=
14、AB?CH=AB?PE, = AC?PF abcacpaaabpa222SSS, = / +ABCAABPaacpa111ab?CH2 .AB?PE=AC?PFi _ 222 又AB=AC(2) .在 ACH中，/ A=30 , .AC=2CH1S=ab?ch ab=ac一 ABCA21 X2CH?CH=49一 2：CH=7.分两种情况：P为底边BC上一点，如图.,.PE+PF=CH .PE=CH-PF=7-3=4;P为BC延长线上的点时，如图.,.PE=PF+CH.PE=3+7=10. 10或4; 7故答案为【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中6.在AABC中，AC
15、=BC,点D为AC的中点. 44c3=9 0中(1)如图1,E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90。得到线段DF,连结CF, 过点F作，交直线AB于点H.判断FH与FC的数量关系并加以证明.FH 1FC(2)如图2,若E为线段DC的延长线上任意一点，(1)中的其他条件不变，你在(1)中得出 的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明.【思路点拨】 根据条件判断FH=FC,要证FH=FC一般就要证三角形全等.FXnFC,于点G延长交DE DE=DF. EDF=Z ACB=90 ,由题意，知/CB. . . DG/的中点，D为AC.点2.的中点，且为 .，点GAB凸上5c- .
16、DG的中位线.为2- AC=BC , ,DC=DG DC- DE =DG- DF. EC =FG即, /edf =90 EH .L FC . 2+/CFD=90./1 + /CFD =90 , /- 1 = / 2 / aOGE 2EF都是等腰直角三角形，与 . / DGA = 45./ DEF =FGH = 135 CEF = /FGH .CEF 9AFH=FC .与FC仍然相等.（2） FH对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和【总结升华】.方法解决问题的能力和培养举一反三：】例7【高清课堂：等腰三角形与直角三角形的中是AE均为等腰直角三角形，点CDEB,C,D在一条直线上，点 M【变式】如图，AAB5SBC正确结论的个数 DM;BM=DM.S;BM +SAEC不歹U结论：点， tan /；S座小/。 CD 个 C.3 个 D.4 个是（）A.1B.2 个AM E BDC D.【答案】