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1、三角函数专项训练1 .在 ABC中，角 A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为 1,已知2 (sin2A - sin2C)=(a b) sinB.(1)证明 a2+b2-c2=ab;(2)求角C和边c.2 .在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知bsinA= acos (B-(I )求角B的大小；(n)设 a=2, c=3,求 b和 sin (2A B)的值.3 .已知 a, 3 为锐角，tan a= , cos ( a+ 3) = 一 .(1 )求cos2 a的值；(2)求 tan (a- 3)的值.4 .在平面四边形 ABCD 中，/ ADC = 90 ,
2、 / A=45 , AB=2, BD = 5.(1)求 cos/ADB;(2)若 DC = 2叵,求 BC.5 .已知函数 f (x) = sin2x+Jsinxcosx.(I)求f (x)的最小正周期；(n)若f (x)在区间m上的最大值为弓,求m的最小值.6 .在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知asinA= 4bsinB, ac=V5 (a2-b2 - c)(I )求cosA的值；(n)求 sin (2B A)的值JL71TT7 .设函数 f (x) = sin ( cox 一二一)+sin ( wx-7),其中 0V wb, a=5, c=6, sin
3、B =5(I )求b和sinA的值；(n)求sin (2A+工)的值.a29 . ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知 ABC的面积为 七3smA(1)求 sinBsinC;(2)若 6cosBcosC=1, a=3,求 ABC 的周长.10 . ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知sin (A+C) = 8sin .(1)求 cosB;(2)若a+c=6, AABC的面积为2,求b.11 .已知函数 f (x) = J_5cos (2x- 2sinxcosx.J(I)求f (x)的最小正周期；(II)求证：当 xq- - ,二时，f (x)44
4、212 .已知向量 a= ( cosx, sinx), b= (3, J5), x0, R.(1)若江# h,求x的值;(2)记f (x) = 3*b,求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值.313 .在 AABC 中，/ A= 60 , c=a.(1)求sinC的值；(2)若a=7,求 ABC的面积.14 .已知函数f (x) = 2sin wxcoswx+cos2 wx ( w0)的最小正周期为兀.(1)求3的值；(2)求f (x)的单调递增区间.a, b, c,已知 b+c=2acosB.15 .在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为(1)证明：A=2B;2(2)若 cos
5、B=,求 cosC 的值.sinx- cosx)16 .设 f (x) = 2rSsin (兀x) sinx (I )求f (x)的单调递增区间;(n)把y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移工个单位，得到函数 y=g (x)的图象，求g (工)的值. 3617 .在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知asin2BbsinA.(1)求 B；(2)已知cosA=,求sinC的值. 318 .在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知b+c=2acosB.(I )证明：A= 2B;a,
6、b,(n)若 ABC的面积S= 亍，求角A的大小.19 .在 ABC中，角A, B, C所对的边分别是(I)证明：sinAsinB = sinC;(n)若 b2+c2- a2=bc,求 tanB.520 .在 ABC 中，AC=6, cosB =*，C =(1)求AB的长；(2)求 cos (A-一二)的值.621.兀兀已知函数 f (x) = 4tanxsin ( x) cos (x -)(1)求f (x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f (x)在区间-个上的单调性.1222. ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 2cosC (acosB+bcosA) =
7、c.(I )求 C；(H)若c=VY, ABC的面积为马3 ,求 ABC的周长.参考答案1.在 ABC中，角 A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为 1,已知2 (sin2A - sin2C)=(a b) sinB.(1)证明 a2+b2-c2=ab;(2)求角C和边c.【解答】证明：（1）二.在 ABC中，角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,由正弦定理得：-R- =2R=2,sinA sinB sinC?- sinA = , sinB = , sinC=,222.1 2 (sin2Asin2C) = (ab) sinB,2 ()=(a- b)?-化简，得：a2+b2-c2=ab,
8、 故 a2+b2 - c2= ab.解：(2)a2+b2- c2= ab,cosC =2abab2ab兀解得c=,.c= 2sinC=2? =再.2.在 ABC中，内角A, B, C所对的边分别为7Ua, b, c. 已知 bsinA= acos (B r-).（I ）求角B的大小;(n)设 a=2, c=3,求 b和 sin (2A B)的值.【解答】 解：（I）在 ABC中，由正弦定理得得bsinA=asinB,sinA sinB又 bsinA = acos ( B ).6TVTVasinB= acos (B), 即 sinB = cos (B)661. 口弘比，71=cosBcos- 6
9、+sinBsi=cosB+ 2tanB = VS,又 BC （0,兀），.二 B =7UTTT(n)在 ABC 中，a=2, c= 3, B= 3由余弦定理得b=W，由 bsinA= acos (B 得 sin6. avc,cosA = -sin2A= 2sinAcosA =华,cos2A = 2cos2A - 1 = sin (2A B) = sin2AcosB - cos2AsinB汕上建金巨143.已知 a, 3 为锐角，tana=4, cos ( a+ 3)=-(1 )求cos2 a的值;(2)求 tan (a- 3)的值.【解答】解：（1）由- cos2 a=前riQcos CL 3
10、sin a+c0号为税角* rr 4 sinCI.= 5m 3 cos CL = 5(2)由(1)24得,sin2 一,贝U tan2 a=sin2CL _ 24cos2Q -rF7T2sin ( a+ 3)则 tan ( a+ 3)cos( CL4 f )二一工tan (a 3)=tan2 a_ ( a+ 3)=lan2 Q-tan(a + b)!Han2 CL tan( CL + (3 )4.在平面四边形ABCD 中，/ ADC = 90 , / A=45 , AB=2, BD = 5.(1)求 cos/ADB;(2)若 DC = 2 求 BC.【解答】 解：(1) . Z ADC = 9
11、0 , Z A = 45 , AB=2, BD=5.，由正弦定理得:sin2AsinzC ADB sin45 .sin/ADB =cos/ ADB =. ABvBD, ./ ADBv/A,=V23-?5(2) ./ADC =90 , . cos/ BDC = sinZ ADBDC = 2匹BC= VbD2WC2-2XBBXDCXcosZBDC的最小正周期;(I)求f (x)(n)若f (x)在区间,m上的最大值为=sinf (x)(n)解：(I)函数(2x7T T)的最小正周期为若f (x)在区间可得2x-即有2m7TT7T6可一,2m 兀;,求m的最小值.f (x) = sin2x+ 一 飞
12、insin2x,m上的最大值为解得 m6 ,7T,则m的最小值为6.在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知asinA= 4bsinB, ac=V5 (a2-b2- c2)(I )求cosA的值；(n)求 sin (2B A)的值【解答】(I)解：由 一-,得 asinB= bsinA,sink sinB又 asinA= 4bsinB,彳# 4bsinB= asinA,两式作比得：旦上，a=2b.4b a由(铲-)，得二,JVsk2, 2_ 2 -7-ac忆由余弦定理，得cagA-b c -a =二见;GE 2bc ac B(n)解：由(I),可得 sj_nA:
13、,代入 asinA= 4bsinB, #54b 5由（I ）知，A为钝角，则B为锐角,2?I p 25 cosB=Vl-sin B=-4 于是 =口，cos2Bl-25in54q故； 11 - ： - - -7.设函数 f (x) = sin ( cox-JL)+sin (cox 元2），其中033,已知（n）将函数y=f （x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移7T个单位，得到函数的图象，求g（x）在君,等上的最小值.【解答】解：（I）函数f （x） = sin （cox-7U)+sin (cox TT =sin wxcos-6-cos wxsin-
14、- sin (K2cox)V3c.n=_ sin cox 一 2cos cox=Vlsin (cox-)1rJ,)=h/Ssin (7U CO 一&)=0,7TT解得 w= 6k+2 ,又 0V cob, a=5, c=6, sinB =（I ）求b和sinA的值;(n )求 sin (2A+4）的值.【解答】解：（I）在 ABC中，ab,X4故由 sinB =二，可得 cosB=.5CW4由已知及余弦定理，有 b=a +: -ZaxgB=25+36-2乂5义6%= = 135 b=|V 13|.由正弦定理能;力,得 sinAasinB13b=V13, sinA二三辛; X Q(n )由(I
15、)及 a v c,得 cosA=2Vl313sin2A= 2sinAcosA =12132.cos2A = 1 2sin A=-故 sin (2A+7T513n丝乂亚的乂亚132 132262a3 si nA【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得9. ABC的内角A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知 ABC的面积为(1)求 sinBsinC;(2)若 6cosBcosC=1, a=3,求 ABC 的周长.3csinBsinA= 2a,由正弦定理可得 3sinCsinBsinA= 2sinA,sinAw 0,2 sinBsinC=;3(2) .1 6cosBcosC= 1,cosB
16、cosC=cosBcosC- sinBsinCcos ( B+C)cosA= ,20A -212 .已知向量 a= ( cosx, sinx), b= (3, J5), x0, R.(1)若k # b,求x的值;(2)记f (x) = a-b,求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【解答】解：(1) a= ( cosx, sinx), b= (3, a / bV3|cosx= 3sinx,当cosx= 0时，sinx= 1,不合题意,当 cosxw 0 时，tanx=一 V3，3. xqo,兀,一 x=(2) f (x) = a T b= 3cosx- V3sinx= 2/3sinx)
17、 =2 ：_；cos (x+TV7),. xqo,兀,x+7T什,JTTT，当x=0时，f (x)有最大值，最大值 3马时，f (x)有最小值，最小值- 2l3.6 二313 .在 ABC 中，/ A= 60 , c=ya.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求 ABC的面积.【解答】解：(1) /A = 60 , c=a,由正弦定理可得 sinC = .?-sinA =7(2) a= 7,贝U c= 3,.CvA, sin2C+cos2C= 1,又由(1)可得 cosC1314返 X凡1 vl-1. sinB= sin (A+C) = sinAcosC+cosAsinC=14 214入I+
18、八2Saabc= -acsinB= x 7x 3x14 .已知函数f (x) = 2sin wxcoswx+cos2 wx ( w0)的最小正周期为兀.(1)求3的值;(2)求f (x)的单调递增区间.【解答】 解：f (x) = 2sin wxcos wx+cos2 wx,=sin2 wx+cos2 wx,由于函数的最小正周期为兀,则：T=翁二九所以函数的单调递增区间为:(kCZ),解得：5兀效冗+丁(kCZ)解得：3=1.兀(2)由(1)得：函数 f (x)/q-)闩冗71-, t (kN).15.在 ABC中，内角A, B,C所对的边分别为 a, b, c,已知b+c=2acosB.(1
19、)证明：A=2B;9(2)若 cosB=-1,求cosC的值.【解答】(1)证明：b+c= 2acosB,sinB+sinC = 2sinAcosB,sinC = sin (A+B) = sinAcosB+cosAsinB,1. sinB= sinAcosB- cosAsinB= sin (AB),由 A, B ( 0,兀)，0vA Bv 兀，B = A B,或 B=兀(A B),化为 A=2B,或 A=兀(舍去). . A=2B.(II)解:9 cosB=:3,sinB=lCO S% 一=亚.cosA = cos2B = 2cos2B T =目g，sinA= .1，cosC= cos (A+
20、B) = cosAcosB+sinAsinB=2716.设 f (x) = 2-/3sin (兀x) sinx- ( sinx- cosx) 2.(I )求f (x)的单调递增区间;(n)把y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移jrT个单位，得到函数 y=g (x)的图象，求g (工)的值.6【解答】解：(I)f (x) =2&jsin (兀x)sinx- (sinx- cosx) 2 = 2jsin2x 1+sin2x1+sin2x=sin2x- /3cos2x+/3 - 1c . /c 兀、=2sin (2x；)J令2k兀一JT可得函数的
21、增区间为 白兀-27V12 x k 7i+5兀1212,k ti+-5 n12,kCZ-2倍(纵坐标不变)，可得y =(n)把y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2sin (x 一再把得到的图象向左平移工匚个单位，得到函数 y=g (x) = 2sinx+-73 - 1的图象,37T,g k-1 =17.在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知asin2B4/3bsinA.(1)求 B；(2)已知 cosA =,求sinC的值.【解答】 解：(1) asin2B = JbsinA2sinAsinBcosB=VSsinBsinA,，cosB = 27T-
22、 B=-,(2) cosA =,sinA =逗T2d9sinC = sin (A+B) = sinAcosB+cosAsinB= 7Gx318.在 ABC中，内角A,B, C所对的边分别为 a, b, c,已知b+c=2acosB.(I )证明：A= 2B;（n ）若 ABC的面积S=,求角A的大小.【解答】（I）证明：b+c= 2acosB,sinB+sinC = 2sinAcosB,1. sinB+sin (A+B) = 2sinAcosBsinB+sinAcosB+cosAsinB = 2sinAcosBsinB= sinAcosB- cosAsinB= sin (A B). A, B是
23、三角形中的角，B= A- B,. . A=2B;2(n)解：. ABC 的面积 S=,42bcsinA = a2,2sinBsinC = sinA= sin2B,sinC= cosB,B+C=90 ,或 C=B+90 ,a, b,A=90 或 A=45 19.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别是(I)证明：sinAsinB = sinC;(n )若 b2+c2- a2bc,求 tanB.【解答】（I ）证明：在 ABC中，cosA cosB sinC+：=，由正弦定理得:8sh swB _minC sinA sinB -sinC - cossinB+cosBsinA _sin(A+B)
24、- 一 ?sinAsinB sinAsinB. sin (A+B) = sinC.，整理可得：sinAsinB = sinC,tanB = 4.bc,由余弦定理可得 cosA=e 4BsinB20.在 ABC 中，AC=6cosB =(1)求AB的长;(2)求 cos (A7TT的值.【解答】解：(1)ABC 中，cosB =,BC (0,兀)，sinB =.AB AC ,= sinC sinB.A为三角形的内角,兀A) = cos (C+B) = sinBsinC cosBcosC =一sinA =W210sinA=一cos (A-兀21.已知函数 f (x) = 4tanxsinx) co
25、s (x (1)求f (x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f (x)在区间-千上的单调性.【解答】 解：(1) f x x) = 4tanxsin (7T2x) cos (xJVyxw k 时TVZ,即函数的定义域为x|xw k Tt+, kCZ,2贝U f (x) = 4tanxcosx?(cosx+2当sinx)-肥1 V3= 4sinx ( cosx+_iJsinx)：-；=2sinxcosx+2/3sin2x -耳=sin2x+f (1 - cos2x) - 3= sin2x;cos2x=2sin (2x ),3则函数的周期T=(2)由 2kTt 一7Tv 2 k 兀+7T2，k&,
26、得k兀一7T12x k 7t+12,kCZ,即函数的增区间为（L 7k兀12kW12当k=0时，增区间为（-7T125兀12),k&,7T12- xq, , .止匕时 x6(-, 441242k廿兀 2x 2k 兀+k ez,k ti+5元12 x k k+LI兀12，kCZ,即函数的减区间为（k *12kl12),kCZ,k= - 1 时,减区间为（-77TV2JT12),kCZ,7T7三,，此时4JUW7T12),卷(i)求 C；）,增区间为（-,b, c, 已知 2cosc (acosB+bcosA) = c.(n )若c= JT， ABC的面积为见片,求 ABC的周长.【解答】 解：(I)二.在 ABC中，0V Cv兀，sinCw 0已知等式利用正弦定理化简得： 2cosC (sinAcosB+sinBcosA) = sinC,整理得：2cosCsin (A+B) =sinC,即 2cosCsin (兀一(A+B) = sinC2cosCsinC= sinCcosC =二，(n)由余弦定理得 7 = a2+b2-2ab7, 2( a+b) 2- 3ab= 7,.S=_LabsinC = ab = J-,242ab = 6,( a+b) 2- 18=7,a+b = 5,.ABC的周长为547吊.