欧拉方程的求解.docx

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1、欧拉方程的求解1 .引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定 理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？ 他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的 化身”的盲人数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783 ).几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、 “欧拉圆” “欧拉公式” “欧拉定理” “欧拉函数”“欧拉积分”“欧拉变换”“欧拉常数” 欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用 冗表示圆周率、e表示自然对 数的底、f(x)表示函数、工表示求和、i表示虚数单位 以欧拉命名的

2、数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉 方程”.在文献1中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法 .变量 变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程， 然后再来求解 这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如 y = xK的解，进而求得欧 拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难 .本文在所学的欧拉方 程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方 程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2 .几类欧拉方程的求解定义1形状为xny aiX-y（nA1 | anxy any =0（1）的方程称为

3、欧拉方程.（其中a1，a2,，an，an为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如y = xK的解）二阶齐次欧拉方程：x2y + a1xy + a2y =0 .（2）（其中a1,a2为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y、y和y的系数都是幕函数（分别是x2、 ax和azx0）,且其次依次降低一次.所以根据幕函数求导的性质，我们用幕 函数y=xK来尝试，看能否选取适当的常数 K,使得y = xK满足方程（2）. 对y=xK求一、二阶导数，并带入方程（2）,得（K2 - K）xK a1KxK a2xK =0或K2 （a1 -1）K a2xK =0,消去 xK ,有K2 +（a 1）K +a?

4、 =0.（3）定义2以K为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2） 的特征方程.由此可见，只要常数K满足特征方程（3）,则幕函数y = xK就是方程（2） 的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1方程（2）的通解为（i） y =CiXK1 +C2XK1 ln x ,（2=%是方程（3）的相等的实根）（ii） y =CixK1 +c2XK2 ,（Ki=%是方程（3）的不等的实根）（iii） y =c1xacos（P In x） +c2xasin（Pln x） . （ Ki,2 =o（土Pi 是方程（3）的一对共 腕复根）（其中Ci、C2为任意常数）证明（i）若特征方程

5、（3）有两个相等的实根：Ki = K2,则yi =xKi是方程（2）的解，且设y2 =u（x） , yi =xKiu（x） （ u（x）为待定函数）也是方程（2）的解（由于3=u（x）,即yi , y2线性无关），将其带入方程（2）,得yixKi（ Ki2 - Ki）u 2K1xu x2u aixKi （Ku xu ） a2xKiu = 0 ,约去xKi,并以ut u、u为准合并同类项，得x2u （2 Ki ai）xu Ki2 （a1i）Ki a2u = 0 .由于Ki是特征方程（3）的二重根， 因此K12 （a1 -1）K1a2 =0或2Ki （4 -1）=0,于是，得2x u ux = 0

6、或xu u = 0 ,即（xu ） = 0故u（x） = ci In x C2.不妨取u（x）=lnx,可得方程（2）的另一个特解y2 = xK1 In x ,所以，方程（2）的通解为_ K1 _ K1 .y = c1xc2x In x .（其中C1, C2为任意常数）（ii）若特征方程（3）有两个不等的实根：K1#K2,则y1=xK1, y2=xK2 是方程（2）的解.K2又以= xr=x（K2S不是常数，即, y2是线性无关的. 必 x1所以，方程（2）的通解为y 二 GxK1 c2xK2.（其中Ci, C2为任意常数）（iii）若特征方程（3）有一对共腕复根：Ki,2 =Pi （P#0）

7、,则 乂 =x（o）, y2 =x聿是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有y1 = x*=x%i ax = x（cos（ P In x） + i sin（ P In x）,y2 =x（） =*%3、= x（cos（P In x） -i sin（ P In x）,显然，x： cos（ ： In x） = 1y22和x- sin（n x） = y1 - y22i是方程（2）的两个线性无关的实函数解.所以，方程（2）的通解为y = c1x - cos（ ： In x） c2x- sin（ ： In x）.（其中ci, c为任意常数）例1求方程x2 y - xy + y = 0的通解.解该欧拉方程的特

8、征方程为K（K -1）-K +1 =0 ,即（K - 1） = 0其根为：KLK2=1,精品资料所以原方程的通解为y = (c 021n x)x.(其中Ci, 02为任意常数)例2求方程x2y-xy-8y =0的通解.解该欧拉方程的特征方程为即其根为：所以原方程的通解为(其中Ci，C2为任意常数)例3求方程的通解x2K +(1 -1)K 8 = 0 ,2_ 一K -2K - 8= 0Ki = -2 , K2 = 4 ,ci4y =-2 C2x .xy 3xy 5y = 0 .解该欧拉方程的特征方程为K(K -1) +3K +5 = 0 ,即K2 2K 5=0其根为：Ki,2=T-2i ,y =

9、-c1cos(2ln x) c2 sin(2ln x). x(其中Ci，C2为任意常数)2.2二阶非齐次欧拉方程的求解(初等积分法)二阶非齐次欧拉方程：x2y + aixy + a2y = f (x).(4)(其中a2为已知实常数，f(x)为已知实函数)为了使方程(4)降阶为一阶线性微分方程，不妨设ai=1-Ki-22 = (5)则方程(4)变为x2y”+(1 Ki Oxy+KiK2a2y = f (x),即x(xy-(y)-Ki(xy-Kzy)= f (x),(6)根据韦达定理，由(5)式可知，Ki, 七是一元二次代数方程K2+(ai T)K+a2 = 0(3)的两个根.具体求解方法：定理2

10、若Ki, K2为方程(2)的两个特征根，则方程(4)的通解为y =xK2xK * Jx* Tf (x)dxdx.(7)证明 因为Ki, K2为方程（2）的两个特征根,于是方程（4）等价于方程（6）,令xy - K y ,p代入方程（6）并整理，得pp;小y =- xK2y x解之，得方程（4）的通解为y =xK2 xK12 x*1,f (x)dxdx.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3若Ki, K2为方程（2）的两个特征根，则（i）当Ki =a是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为y =

11、 xK1ln x x 1 f （x）dx - In x x * f （x）dx,（ii）当Ki 是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为y=-1xK1 x* 4 f （x）dx-xK2 x*27f（x）dx,K1 -K2（iii）当K12 =口土iP是方程（2）的共腕复特征根时，方程（4）的通解为1 . y =x -sin( - In x)x _?Jcos(!：:; In x) f (x)dx - cos(!：:; In x) x/sin(| In x) f (x)dx证明（ii）当Ki#K2是方程（2）的互不相等的的实特征根时, 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得、，K2

12、Ki -K2 1K11K1 -K1-xK2 x*1，(x)dxdxKT22Ki -K21Ki -K2xK2xj2 x_K1 f (x)dx-KK4Kx 1 x 1 f (x)dx - xK1 _K2 x 1d x#Tf (x)dxx-K2-1 f (x)dx(8)(iii)当 Ku =ccKiB是方程(2)的共腕复特征根时，K1 - K2 = 2P i ,y = x x x f (x) dxdx精品资料xK1 =x=x：e1nx再由欧拉公式有=x - cos( ： In x) i sin( 7n x),xK2 = x i = x e1nx 二 x- cos( ： ln x) -i sin( ：

13、 ln x),将其代入（8）式，整理可得方程（4）的通解为11y = x sin( - ln x) x - cos( ln x) f (x)dx - cos( - ln x) x - sin( - ln x) f (x)dx（i）的证明和（ii）类似.例 1 求方程 X2y-3xy +4y = x2 ln x +x2 的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为 K2 -4K +4 = 0 ,K1 = K2 = 2,特征根为所以由定理3,原方程的通解为23x2.23,2、2、y = x ln x x (x In x x )dx - In x x (x In x x )dx2 . 1 ,、

14、2 ,- . 1 ,、31 ,、2=x ln x (ln x)In x c1 T (ln x) (ln x) -022322 -22_ 1 .31 -2 _=Gx ln x c2xx 一 (ln x) (ln x)62(其中01 , C2为任意常数)例2求方程x2y“一2xy +2y = x3ex的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2 一 _K -3K +2=0 ,特征根为K1=2, K2=1,所以由定理3,原方程的通解为y = x2 xJ3x3exdx - x x?x3exdx=x2(ex g) -x(xex -ex -c2)二 Gx2 c2x xex(其中01, 02为任意常数

15、)例3求方程x2y“-xy+2y =-x的通解. cos(ln x)解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2k -2k+2=0 ,特征根为&,2=14，x dx cos(lnx)2、 x2y =xsin(lnx) x cos(lnx)dx-cos(lnx) x sin(ln x)cos(lnx)1 sin(ln x), dxx cos(ln x)1=xsin(ln x) dx-cos(lnx) x=xsin(ln x)(ln x c1) cos(lnx)ln(cos(ln x) c2)=xGsin(lnx) c2cos(lnx) xsin(ln x)ln x cos(lnx)ln(cos(l

16、n x)(其中ci，c2为任意常数)在定理3中，若令f (x) = 0 ,则得到二阶齐次欧拉方程(2)的通解.推论方程(2)的通解为(i) y = GxK1 +c2xKl ln x,( Ki = K2是方程(2)的相等的实特征根)(ii) y =cixKl +c2xK2 ,(Ki = K2是方程(2)的不等的实特征根)(iii) y =cixcos(P ln x)+c2xsin(P ln x) . ( Ki,2 =口 土iP 是方程(2)的共腕复特征根)(其中a, a为任意常数)2.3三阶非齐次欧拉方程的求解(常数变易法)三阶非齐次欧拉方程：乂3丫* + &乂， + 22乂丫+23丫 = f(

17、x).(9)(其中a1，a2, a3为常数)(9)对应的齐次方程为 x3y“ + aix2y + a2xy + a3y = 0.(i0)32(11)特征万程为 K(ai -3)K , (2-a a2)K a3 =0.定理4设Ki是方程(11)的根，%是方程 2 一一一K (3K2 a1 -1)K 3K2(K2 -1) ZaR a2 = 0的根，则(9)的通解为y = xK1 JxK2 吐*2*1,)Jx(K2卡K1 +10f (x)dxdxdx .(12)证明 根据条件y=cxK1 (c为任意常数)是方程(10)的解.设y = c(x)xK1是方程(9)的解(其中c(x)是待定的未知数)，将其

18、代入方程(9),整理得c (x) (3Kl d)x,c(x) 3K1(K1 -1) 2a1Kl a2x)(x)二c c,二、(13)K13 (a1 - 3)K12 (2 - a1 a2)K1 ajx-x) = xK1 3)f (x)因为K1是(11 )的根，则K13 (a1 -3)K12 (2 -a1 22)( a3 = 0,于是(13)式化为c(x) +(3K +a1)xc(x) +3K(K1 1)+2a1K1 +a2x2c(x) = x郑 f (x) (14) 这是以c(x)为未知函数的二阶欧拉方程.设K2为(14)对应的齐次方程的特征方程 2K +(3K+a 1)K+3(出1 -1) +

19、 2a1K1+a2 = 0,(15)的根，则c(x)=xK2 x0范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在 x0范围内的2果相似.4 .致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作， 本次毕业论文的写作已经接近尾声 了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础 .其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老 师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过 程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程， 但我们不能因此就放弃, 而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的在这里首先要感谢我

20、的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外， 他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习， 并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导， 为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献1王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程M. 第 3 版.北京：高等教育出版社，2006:142 -144.2华东师范大学数学系.数学分析(上)M.第3版.北京：高等教育出社，19

21、99:87 -199.3钟玉泉 .复变函数论M. 第 3 版.北京：高等教育出版社， 2003:10 -11.4胡劲松 .一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报J,2009,11(2):143 -144.5胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程 .大学数学 J,2005,21(2):116 -119.6米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报J， 2008,21(3):260 -263.7胡劲松 .齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报 J,2004,18(1):4 -748.8冀弘帅 .认识伟大的数学家 欧拉 .数学爱好者 J,2006 ， 10 ： 52-53.9卓越科学家欧拉.中学生数理化 (北师大版 )J,2007,Z2: 101 -102.Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！