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1、四边形、关系结构图:个葡是直角纽部边相等、特殊盗圈玛扬虹力72_A1.平行四边形的性质：平行凶边形ABC ABCD是平行四边形邵豳嫩既婚一个角是直角(2)两组对边分别相等；:(3)两组对角分别相等；(4)对角线互相平分；5)邻角互补.B2.平行四边形的判定:(1两组对边分别平行(2)两组对边分别相等(3)两组对角分别相等四边形ABCD是平行四边形(4) 一组对边平行且相等(5)对角线互相平分3 .矩形的性质：(1)具有平行四边形的所有通性；四边形ABCD是矩形？(2)四个角都是直角；4 .矩形的判定:(1)平行四边形 + 一个直角(2)三个角都是直角四边形ABCD是矩形.(3)对角线相等的平行
2、四边形5 .菱形的性质：f(1具有平行四边形的所有通性;四边形ABCD是菱形？，(2)四条边都相等；(3)对角线互相垂直且平分对角6 .菱形的判定：(1平行四边形 十一组邻边相等(2)四条边都相等卜四边形ABCD是菱形.(3)对角线互相垂直的平行四边形7 .正方形的性质：(1具有平行四边形的所有通性；四边形ABCD是正方形？2)四条边都相等，四个角都是直角；13)对角线相等、互相垂直且平分对角8 .正方形的判定：(1平行四边形 +一组邻边相等+一个直角】(2)菱形+一个直角?四边形ABCD是正方形.(3)矩形+ 一组邻边相等三、梯形1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯
3、形。2、梯形的判定(1)定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。(2) 一组对边平行且不相等的四边形是梯形。3、直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。4、等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行。(2)等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。(3)等腰梯形的对角线相等。(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线判定：(1)定义：两腰相等的梯形是等腰梯形(2)定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。(选择题和填空题可直接用)5、梯形的面积1 一 一 一(1)如图
4、,S梯形abcd =(CD +AB)，DE(2)梯形中有关图形的面积： S 式BD S咨AC ； S咨OD - SaOC ； S&DC = S aCD .6、梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形)四、有关连接四边形各边中点所得图形的知识点:(1)顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；(2)顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；(3)顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；(4)顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；(5)顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；(6)顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；(7)顺次连接对角线互相垂
5、直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形五、一些定理和推论：1、三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半2、梯形的中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半3、推论：夹在两平行线间的平行线段相等4、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5、推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形【练习一】一、填空题，/1、如图，OABCD,则 AB=, =AD, /A=, 三/ D, /正fe若止匕时/B+/D=128 ；贝U/B=M,
6、 /C=M.2、如果一个平行四边形的周长为80cm,且相邻两边之比为1: 3,则长边=cm,短边=cm.3、如下左图，DABCD, /C的平分线交 AB于点E,交DA延长线于点F,且AE=3 cm, EB=5 cm,则口 ABCD的周长为.4、如上中图，UABCD, ABBC, AC LAD,且 AB : BC=2 ： 1,贝U DC ： AD=，/ DCA= 度，/D=/B=/DAB=/BCD=M.5、如上右图，DABCD的对角线AC, BD交于点O,则图中全等三角形有 qt 二、选择题1 . DABCD 中，/A ： / D=3 ： 6,则/C 的度数是（）A.60 0B.120C.90
7、D.150 2 .在DABCD中，/A： / B ： /C ： / D的可能情况是（）A. 2：7：2：7B. 2：2：7：7C. 2：7：7：2D. 2：3：4：53 .如下左图，从等腰 ABC底边上任意一点D ,作DE / AC交AB于E, DF / AB交AC于F, 则aedf的周长（）A.等于三角形周长B.是三角形周长的一半C.等于三角形腰长D.是腰长的2倍4 .如上右图，ABCD中，BC ： AB=1 ： 2, M为AB的中点，连结 MD、MC,则/DMC等于（）A.30B.60C.90D.455 .以不共线的三点为顶点，可以作平行四边形（）A. 一个B.两个 C.三个 D.四个6
8、.平行四边形具有，但一般四边形不具有的性质是（）A.不稳定性B.内角和等于3600C.对角线互相平分D.外角和等于36007 .如下左图，在口ABCD 中，DB=DC, ZC=70, AELBD 于 E,则 / DAE 等于（）A.20 0B.25 0C.30 D.35 三、解答题1.已知：如上右图口ABCD的周长是20 cm, ADC的周长是16 cm.求：对角线AC的长.【练习二】一、判断题1 . 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形（）2 .两组对边分别相等的四边形是平行四边形（）3 .对角线相等的四边形是平行四边形（）4 .有两组对角分别相等的四边形是平行四边形（）5 .对
9、角线互相垂直的四边形是平行四边形（）6 .邻边互相垂直的四边形是平行四边形（）7 .如果一条对角线将四边形分成两个全等三角形，那么这个四边形是平行四边形（）8 .对角线互相平分的四边形是平行四边形（）9 . 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形（）二、填空题1 .如果一个四边形的每对相邻内角都互补，那么这个四边形是 .2 .延长zABC的中线AD到E,使AE=2AD,则四边形ABEC是.3 .如果一个四边形以其对角线交点为中心，在平面内旋转 180,与原四边形重合，则这个四边形是 o4 . 口 ABCD的周长是48厘米，AB=6厘米，则BC=厘米.三、选择题1.判断一个四边形是平行四
10、边形的条件是（）A.一组对边相等，另一组对边平行B.一组邻边相等，一组对边相等C.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边平行D.一条对角线平分另一条对角线，且一组对边相等2 .平行四边形的对角线将它分成四个三角形，则这四个三角形的面积（）A.都不相等B.不都相等C.都相等D.以上结论都不对3 .下列条件能组成一个平行四边形的是（）A.相邻的两边分别是5 cm和7 cm, 一条对角线长是13cmB.两组对边分别是3 cm和4 cmC.一条边长是7 cm,两条对角线长分别是3 cm和4 cmD.一组对角都是135 ,另一组对角都是4004.下列给出的条件中，能判断四边形 ABCD是平行四边形的是（
11、）A.AB/CD, AD=BC B.AB=AD, CB=CDC.AB=CD, AD=BCD./B=/C, /A=/D【练习三】一、填空题1 .三角形的中位线平行于 ,且等于的一半.2 .连结任意四边形的四边中点，所得到的四边形是3 . 一个三角形的三边长分别为4, 5, 6,则连结各边中点所得三角形的周长为 .4 .三角形三条中位线将其分成 个全等三角形.二、选择题1 .顺次连结梯形各边中点所组成的图形是（）A.平行四边形B.菱形C.梯形D.正方形2 .顺次连结对角线互相垂直的四边形中点所得图形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3 .等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中
12、点，则所得图形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形三、解答题2.四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平 行四边形，证明你的结论.【练习四】一、判断题1 .矩形的对角线互相平分（）2 .矩形的对角线互相垂直（）3 .对角线相等的四边形是矩形（）4 .矩形具有平行四边形的一切性质（）5 .对角线相等的平行四边形是矩形（）二、填空题1 .如下左图，矩形的两条对角线夹角是 60, 一条对角线与较短边的和是15,则该矩形对角 线的长是.2 .如上右图.已知矩形的长为 20,宽为12,顺次连结矩形四边中点所形成四边形的面积是3 .矩形除具有平行四边形性质外
13、，还具有性质：；.4 .矩形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O,若/AOB=120,则/ OBA=.5 .矩形的对角线相交成60角，对角线长为10厘米，则矩形的宽为 .6 .在四边形ABCD中，/A=/B=/C=/D,则四边形 ABCD是形.7 .判定一个四边形是矩形，可以先判定它是,再判定这个四边形有一个 或再判定这个四边形的两条对角线 .8 . ABCD的两条对角线相交于一点 O,若4AOB是等边三角形，AB=2 cm,则 ABCD的 面积等于.三、选择题1 .如下左图，过矩形 ABCD的顶点A作对角线BD的平行线交CD的延长线于E,则4AEC 是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.
14、不等边三角形D.等腰直角三角形2 .如上右图，在矩形ABCD中，。是BC的中点，/AOD=90,若矩形ABCD的周长为30 cm, 则AB的长为（）A.5 cm B.10 cm C.15 cmD.7.5 cm3 .下列命题中正确的是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.三个角是直角的多边形是矩形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.两条对角线相等的平行四边形是矩形A产（7刃Ic4.在矩形ABCD中，AB=2AD, E是CD上一点，且 AE=AB,则/ CBE等于（）A.30 0B.22.5 0C.15 D.以上答案都不对四、解答题1、如左下图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O,AE平分/B
15、AD,交BC于E,若/ CAE=15,求/ BOE的度数.=a 2、如右上图口ABCD,四内角平分线相交于E、F、G、H.求证：四边形EFwH是毒、 【练习五】一、判断题1 .对角线相等的四边形是菱形（）2 .菱形的对角线互相平分（）3 .对角线垂直的四边形是菱形（）4 .只有菱形才可能对角线互相垂直（）5 .邻边相等的平行四边形是菱形（）二、填空题1 .邻边相等的平行四边形是 .2 .菱形的一个角是150。，如果边长为a,那么它的高为 .3 .如果菱形的周长等于它的一组对边距离的 8倍，那么它的四个角分别是度.4 .菱形的两条对角线长分别是8 cm和10 cm,则菱形的面积是 .5 .菱形除
16、具有平行四边形的性质外，还具有一些特殊性质，四条边 ,对角线.6 .菱形的一个内角是120。，边长为4厘米，则此菱形的两条对角线长分别是 .7 .要判断一个四边形是菱形，可以首先判断它是一个平行四边形，然后再判定这个四边形的一组或两条又t角线.8 .将矩形四边形中点顺次连结，形成的四边形是 三、选择题1 .四边相等的四边形是（）A.菱形B.矩形2 .菱形的面积等于（）A.对角线乘积C.对角线乘积的一半3 .下列条件中，可以判定A.两条对角线相等C.两条对角线相等且垂直个四边形是菱形的是C.正方形D.梯形B.一边的平方D.边长平方的一半（）B.两条对角线互相垂直D.两条对角线互相垂直平分9 .在
17、口ABCD中，下列结论中，不一定正确的是（）A.AB=CDB.AC=BDC.当ACLBD时，它是菱形D.当/ABC=90,它是矩形四、解答题2.在矩形ABCD中，。是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F.求证：四边形AECF是菱形AD【练习六】一、判断题1 .有一个角是直角的平行四边形是矩形2 .有一个角是直角的菱形是正方形3 .两条对角线互相垂直的矩形是正方形4 .四边都相等的矩形是正方形5 .正方形具有矩形和菱形的所有性质6 .既是矩形又是菱形的图形是正方形二、填空题1 .正方形的性质：正方形的四个角 ,四条边,正方形的两条对角 线,并且.2 .正方形的对角线长为
18、10 cm,则正方形的边长是 .3 .正方形的判定方法：的菱形是正方形.的矩形是正方形.4 .正方形以对角线的交点为中心，在平面上旋转最少 度可以与原图形重合.三、选择题1 .下列命题正确的是（）A.四角相等且两边相等的四边形是正方形B.对角线相等的平行四边形是正方形C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.对角线和一边的夹角是45。的菱形是正方形2 .如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则/ FAB等于（）A.135 0B.45 0C.22.5 D.30 四、解答题1 .如左下图，ABCD和AEFG者B是正方形.求证：BE=DG2 . （1）顺次连结平行四边形四边中点所组成的图
19、形是什么四边形（2）顺次连结矩形、菱形、正方形各边中点，分别组成什么四边形【练习七】 一. 选择题1 . 一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的两底的一个锐角为（）A、30B、 45C、60D、 752 .在 Rt，ABC 中，/ ACB =90, / A =30, AC = AB的垂直平分线交 AB于D ,交BC于DDB= 10,刃B 么 AC =14.在/ABC中，/C = 90，周长为（5+2j3）cm,斜边上的中线 CD = 2cm ,则Rt dBC的面积为作图题已知三个村庄的位置如图，三村联合打一口井，向三个村庄供水，使水井到三个村庄的 距离相等，水井的位置设在何处？请用
20、尺规画出水井位置，不写作法，保留痕迹。四.解答证明题:16.在平行四边形ABCD中，BC = 2AB, E为BC中点，求/ AED的度数。18.如图：在，ABC 中，/ BAC =90*, AD，BC 于 D , CE 平分/ ACB,交 AD 于 G ,交 ABA于E, EFLBC于F,求证：四边形 AEFG是菱形。19 .如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E,1DCC作菱形AEFC,若菱形的面积为9V2 ,求正方形边长。20 .如图AD是/ABC边BC边上的高线，E、F、G分别是AB、AC、AFE为一边FB边形EDGF是等腰梯形。21 .如图，AC、BD是矩形ABCD的对
21、角线，AH BD于H , CGXBD的平分线，交GC的延长线于E,求证：BD = CEFDCGEDHCC的电点，求证：四B EA46G, AE 附/ BAD3.1.1平行四边形的性质、1.CD BC /C /B 64 1162.30 103.26 cm 4.2 ： 1 30 605.4、1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.A1二、1.解：. 口ABCD 的周长为 20 cm.-.AD+DC=- X20=10(cm)而 ADC 的周长为 16cm.即 AD+DC+AC=16 . 10+AC=16, .AC=6, .对角线 AC 的长为 6 cm.2.证明：V AB/ CD；/1
22、= /2, /3=/4,.1 =，2在4AOB 和ACOD 中 (AB=CD-.AOBACOD. .AO=CO, BO=DON3=N43. (1)补全图形，略(2)证明：.AD / BC, ；/ADE=/CBF.在 ADE 和 4CBF 中，.ADE =/CBF. G 是 AB、AC 的中点 ；FG/BC 且 FG = BC v CDXDB 且 E 是 BC 的中点.,.DE=1BC,/.FG=DE2.答：最多有三个，如图口 EFGH、口 FMHN、口 EMGN 证明：提示三角形中位线定理一、1. V2. X 3. X 4. V5. V二、1.10 2.120 （平方单位）3.对角线相等 四个
23、内角均为90 04.30 55厘米6.矩7.平行四边形内角是直角相等8.443 cm2三、1.B 2.A 3.D 4.C1 一四、1.解：在矩形 ABCD 中，=AE 平分/BAD,/ BAE=/ BAD=45又. /CAE=50 , .BAO=/BAE+/CAE=60 AOB 为等边三角形, .OB=AB, /ABO=60.OBE=/ABC/ ABO=9060 =30vZ BAE=45 , / BEA=45. . AB=BE, OB=BE180 - OBE 180 -301匚。 / BOE= =752.证明：如图在口ABCD中，VAE BG、CG、DE分别为四个内角平分线 /1 = /2=9
24、0, Z 3+7 4=90在 4ABH 中/AHB=90 =/GHE,在 4AED 中 / AED=90 同理可证/ GFE=90 , / HGF=90 四边形EFGH为矩形.3.2.2菱形、1. X 2. V3. X 4. X 5. V、1.菱形 2.a 3.30 0 150 300 150或 150 30 150 30 4.40 cm2 5.相等 互相垂直且平分一组对角6.4厘米，4几厘米7.邻边相等 互相垂直8.菱形、1.A 2.C 3.D 4.B四、1.证明：在菱形 ABCD 中，AB=AD=BC=CD, ZB=ZD又;E、F分别是BC、CD的中点，BE=DF在4ABE 和 AADF
25、中，AB=AD, /B=/D, BE=DF.ABEAADF, . AE=AF2.证明：（证法不惟一）:。是AC的中点，a AO=CO又在矩形 ABCD 中，AD/BC, ；/1 = /2在4AOE 和ACOF 中，/1 = /2, AO=CO, / AOE=/COF=90.AOEACOF, ；AE=CF 又EF是AC的垂直平分线， .AE=CE, AF=CF . . AE=CE=AF=CF .四边形 AECF 是菱形、1. V 2. V 3. V 4. V 5. V 6. V二、1.是直角 相等 相等 互相垂直平分于 2.5五cm3.一个内角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直4.90三
26、、1.D 2.C四、1.证明：:四边形ABCD、AEFG都是正方形，；AB=AD, AE=AG又. /BAE+/EAD=90 , / DAG + /EAD=90 ./BAE=/DAG,BAEADAG . . BE=DG2. （1）平行四边形（2）顺次连结矩形各边中点所组成的图形是菱形，顺次连结菱形各边中点所组成的图形是矩形，顺次连结正方形各边中点所成的图形是正方形单元测试参考答案：一选择题（每小题2分，共12分）1. B; 2. A; 3. C; 4. C; 5. B; 6. A;二.填空题：（每小题3分，共24分）7. 96cm2; 8. 12; 9. 36; 10. 60 ; 11. 10
27、0; 12.，二或，=；1313. 5; 14.屈4，a. 15.有铅笔作图痕迹，有点 o为所作点为水井的结论。四.16.证 1: . E 为 BC 中点，. BE = EC = 1BC, = BC = 2AB AB = BE = EC = DC 2 . / BAE = / BEA , C CED = / CDE v四边形ABCD是平行四边形/ B +/ C = 180. / BAE +/ BEA+Z CED +/ CDE +/ B +/ C =360 .2 (/BEA+/CED) +180？=360./BEA+/CED =90* ./AED =180J (/BEA+/CED) = 180s-
28、90s = 90s17 .证：v BE = DF, EF = EF, BE + EF = DF + EF . . BF = ED. AD = BC, AEXBD, CFXBD,./AED0/CFB AD = BC. / ADB =/ CBD AD / BC 四边形ABCD是平行四边形18 .证：CE 平分/ ACB, EAXCA, EFBC. .AE = FE / /AEC0/FEC.AC = FC CG = CG / ACG FCG / 5 =/7 = BL： GF/ AE .AD BC, EFIBC-.AG / EF. AG =GF (或 AE = EF)一四边形AGFE是菱形（一组邻边相
29、等的平行四边形是菱形）19 .解：设正方形的边长为x:AC为正方形ABCD的对角线.AC = V2xS菱形AEFC =AE CBnM5x x=V2x2 =942 x2 =9 . . x = 3 舍去 x = 3答：正方形的边长为3。20 .证：: F、G、E 分别为 AB、AC、BC 的中点， . FG / BC, FE / GC.EF = GC = 1AC.在 Rt/ADC 中， v DG 为斜边 AC 边上的中线 /. DG = 1 AC22EF = DG v FG / BC FG / DE H FGDE 一.四边形 EDGF 是等腰梯形。21.证：二.矩形 ABCD 的对角线 AC、BD . . AC = BDAD = AD./BAD0/CDA且有：AB = DC, /BAD=/CDA = 90 / 1 = / 4AH BD. . / 2 + / 390,而/ 1 + / 290. / 3 = / 1 = Z4AE 平分 / BAD ./ 3 + Z 5 = /6 + /4/ 5 = /6VAH BD, EG，BD；AH/ GE . / 5 =丘/ E =/%-4o.AC = CE = BD；BD = CED