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1、参数方程的应用参数方程的应用在数学解题方法中，参数法是给人印象最深的一种，对参数方程中参数的几何意义和物理意义的了我解，是正确选取参数的前提，正确的选取参数，往往能使得一些看似复杂的问题，变得简单。一、利用参数方程求点的坐标例 1、已知直线1 经过点 P ( 1， 2)，且倾斜角为，求直线 1 上到点 P 的距离为 的点的坐标。分析：写出 1 的参数方程之后，要求点的坐标，关键在于对参数t 的几何意义的了解。解：直线 1 的参数方程为x=1+tCos x=1+ t ( t 为参数) y=2+tStn 即 y=2+ t在直线 1 上到点 P 的距离为 的点所对应的参数 t 满足 |t|= 即 t
2、= ，代入 1 的参数方程，得 或 。 所以，所求点的坐标为(3， 4)和(-1 ， 0)例 2、已知 P 为圆 x +y-6x-8y+21=0 上一点，且A (-1 ， 0)， B (1 ， 0)，求使|AP|+|BP| 为最小值的点 P 的坐标( x,y )。 分析：将圆配方， (x-3)+(y-4)=4, 圆上动点 P 用参数形式给出，可使问题简化。222222解：配方，得( x-3 ) +(y-4)=4圆的参数方程为设P(3+2cos0, 4+2sin 0)为圆上任意一点，则|AP|+|BP|=(3+2cos 0 +1)+(4+2sin 0 ) +(3+2cos 0 - 1)2+(4+
3、2sin 0 )2=60+8(3cos 0 +4sin 0 )=60+40sin( 8 +6 )(其中：6 =arctan )当sin( 0+6)=-1时，|AP|+|BP尸 取得最小值20。此时，8 + 6 = , 8 = - 6.cos 8 二-sin 6=-,sin 8 = -cos8 = -P 坐标为(一、利用参数方程求长度例 3、已知椭圆+ =1 ，和点 P ( 2， 1)，过 P 作椭圆的弦，使P 是弦的中点，求弦长。x=2+tcos e解：设弦所在的直线方程为：(t y=1+tsin022222222 为参数)代入椭圆方程，得(2+tcos 0 ) +4(1+tsin0 ) =1
4、6化简：得(cos 0 +4sin 0 ) +4(cos 0 +2sin 0 ) -8=0P 为中点，弦长 = 22222例 4、已知两圆x +y=9 和( x-3 ) +y=27, 求大圆被小圆截得劣弧的长度。分析：两圆交于 A 、 B 两点，大圆圆心(3， 0)，要求出大圆被小圆截得劣弧的长，就要设法找出的大小，又由两圆对称性可知，只要找出 A C 与 x 轴正向夹我有即可。解：设 A 点的坐标为根据两圆的对称性可设( 3+3 cosa ， 3 sina )。根据两圆的对称性可设& a A也在小圆在，则有(3+3 cosa ) +(3 sina)=9即 18 cosa=-27,cosa=-
5、于是，a= , / ACB二大圆被小圆截得劣弧长为x =式二、利用参数方程求最值例 5、已知椭圆方程为，求它的内接矩形的面积的最大值，x=acos 0y=btsin 0 8解：椭圆参数方程为222222 为参数 )设椭圆内接矩形的一个顶点为（acos 0 ,bsin 0）（ 0为锐角）则矩形面积 S=4acos 0 - bsin 0 =2absin2 0 2ab:S max =2ab例 6、如图，已知点P 在圆上 x +（y-2）= 上移动，点Q 在椭圆 x +4y=4 上移动，求|pQ| 的最大值。解：|pQ| &|PO |+|O Q|二 +|O Q|设 Q（2cosa,sina），而 O
6、（ 0,2 ）贝O Q|=4cosa+ （ sina-2 ）=-3（ sina+ ） +：|O Q| ：|pQ| W：|pQ| &的最大值是四、利用参数方程求轨迹例 7，已知抛物线y =x+1 ，定点 A（3， 1） ， B 为抛物线上任意一点，点 p 在线段 AB上，且有 BP ： PA=1： 2，当点B 在抛物线上变动时，求点 P 的轨迹方程。分析：设点 p 的坐标为 （x ， y） ，点 B 的坐标为（ x 0+y0 ），由于 AP ： BP=2： 1，得 x= ， y=即 x 0= ， y 0=由于 B（x0 ， y 0） 的抛物线 y =x+1 上，或 y 0= x0+1将代入，得（
7、户+1化简得 3 y-2x-2y+1=0即 x= y-y+即 x= y2 2222222222 2222 ，此轨迹为抛物线。例8, /MON=60,边长为 a的正三角形 APB在/ MON内滑动，使得A始终在OM上，且O、P两点在AB两侧，求P点的轨迹方程分析建立坐标系后，根据已知条件可知P的位置由/ PBN的变化决定，设/ PBN=,e为参数，只需批出 p的坐标(x , y)与e的关系式，可以得出 p点的轨迹的参数方 程，参数可分为普遍方程。解：如图建立起直角坐标系，设 p (x , y), /PBN=e, e为参数，且0&e&vZ AOBg AVP= ： / OAB= PBN=0在 OB 中，V , OB=x=OB+acos0 = asin0 +acos 0y=asin 0222 消去 0 得(x- y ) + y=a即 3x -4 xy+7y-3a =0 222而 x= asin( 0 +actan )(其中 0& 8 & ) 则arctan & 0 +arctan &+arctan:sin( 0 +arctan ) 1;x & a所求轨迹方程为3x-4 xy+7y-3a =0 ，其中x C , a以上几例说明，利用参数方程求解，只要参数选取恰当，就能起到事半功成之效，因此，应重视参数方程的应用。 22