初中数学竞赛辅导专题.docx

《初中数学竞赛辅导专题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛辅导专题.docx（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、智浪教育一普惠英才文库初中数学竞赛辅导专题最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞赛都是必考内容。现 根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：(一)根据非负数的性质求最值。1 .若M=x 士 a 2十b ,则当x a =0 M有最小值b 。22 .若M = - (xa) +b ,则当xa=0 M有最大值b 。3.用(a b 2 之 0 ,a 0, da之0的方法解题。【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。】例题(1)、若实数 a , b , c 满足 a2 + b2 + c 2 = 9 ,则代数式(a b)2 + (b c)2 +(c a)的最大值是

2、 ()A. 27B 、 18 C 、15 D 、 12解：(a b) 2+(b c) 2+(c a)2=2(a 2+b2+c2) 2ab 2bc 2ca=3(a 2+b2+c2) a2b2c22ab 2bc2ca=3(a 2+b2+c2) (a 2+b2+c2 + 2ab+ 2bc+ 2ca)=3(a 2+b2+c2) (a+b+c) 2 = 27 - (a+b+c) 2 w 27 .a2+b2+c2 = 9 ,a,b,c 不全为0 。当且仅当a + b + c = 0时原式的最大值为 27 。【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a2 + b2+c2)后用完全平方式。】例题(2)、如

3、果对于不小于 8的自然数N ,当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么 K的最小值是()A、1 B、2 C、3 D 、4解：设3N+1是完全平方数， 设3N+1 = X 2 (N 8),则3不能整除X,所以X可 以表示成 3P 1 的形式。3N+ 1= (3P 1)2= 9P26P+1=3父2X+1=X+1+ (X 1) 2。即 3N+1能够表示成三个完全平方数的和。所以K的最小值为3。选C。【说明，本例的关键是如何把3X2拆成X2+X + X2,然后配方求解。】例题(3)、设a、b为实数，那么a2+ab+b2 a2b的最小值是。解：a2+ ab+ b2 a

4、2b=a 2+ (b 1)a + b2 2b=a 2 + (b 1)a + ( b-1 )2+ 3 b2 b 2424=(a + -bz1 )2 + 3(b-1)2-1 -1 。24只有当a+ 21=0且b1= 0时，即a=0, b=1时取等号。所以原式的最小值是一1。2【注意：做这一类题的关键是先按一个字母降哥排列，然后配方。】例题(4)、已知实数a、b满足a2+ab+b2=1 ,则a2ab+b2的最小值和最大值的和是 。解：设 a2ab+b2 = K,与 a2+ab+b2 =1 联立方程组，解得：a2+b2 = 1 (1 + K),ab = (122一 K) o. (a + b)0,a?

5、+ b? + 2ab= (1 +K)+2X (1 K)0, . Kw 3 . (a b)2 20,.a2+b2-2ab = 1 (1 + K) -2X 1 (1 -K)0,/. K -. 得223cc 1以a2ab+b2的最小值是-3【本题的关键在于直接运用一 、，1,最大值是3 ,这两个值的和是33ab) 20 例题5、若a、b满足3指+ 5 1bl = 7 ,则S = 2 Ji 3 I b I的最大值为，最小值为解：联立 3痣 +5|b| = 7 和 S = 2 /O 3|b| 两式，解得 19、6=21 + 5S, 191b|=14 3S。19 0, .,.21 + 5S 0,S- 21

6、 。-19 I b I 0,14-3S 0 ,5S 14 ,得一321S 2ab ( a +b 2 v,ab )性质求最值。例题(6)、若X 0 ,则函数Y = VX + -L + XX + +2的最小值。3 XX解：原式行寻=VX +白2 J3/X*.+ 2 JjX * =2 +2 = 4 。所以原式的最小值是4【说明：这个公式的来源是由(ab)20直接推出的。】例题(7)、已知 a、b、c、d 均为实数，且 a+ b+ c+ d = 4 , a2+ b2+c2+ d2 = 16，求 a 3的最小值与最大值。解：a+b+c+ d = 4 ,，b+c+d = 4- a ,(b +c + d)2

7、=b2 + c2 + d2 + 2bc + 2cd + 2bd w b2 + c2 + d2 + (b2 + c2) + (c 2+d2)+(d 2+b2)=3(b 2+c2+d2) b+c+d = 4 a, ，(b+c+d)2 = (4 a)2 .a 2+ b2+ c2 + d2 = 16,b2+ c2+ d2 = Bo3 3(4a) 2 3X( - -a2),化简得 a(a -2) 0 ,解得 0w a 2ab,从而达到了把(b+c+d)以及b2+c2+d2都用a替换的目的。】(三)、用一元二次方程根的判别式A=b2-4ac (结合韦达定理)求最值。例题(8)、已知实数 a、b、c满足a+

8、b+c = 2 , abc = 4 ,求a、b、c中最大者的最小值；送)求I a I + I b I + I c I的最小值。解：，设a为最大者，则由题意得 b +c=2a,bc=,由韦达定理得b、c是关于X的二a次方程X2(2 a)X+=0的两个实数根。= (2a) 24X1X - 0 ,展开后整理并分 aa解因式得(a2+4)(a - 4) 4，.二a 4。所以最大数a的最小值是4 。【即当b=c=-i时a取最小值。划线部份转化为二次方程根与系数关系是关键。另外设a、b、c哪个最大是等价的。】、由。知最大数a的最小值为4,所以a、b、c不可能全为正，那么只可能是两负一正,若 a 为正，则

9、b、c 均为负，. I a I + I b I + I c I = a b c = 2a- 2 0 , / a4,I a I + I b I + I cl6 . I a I +I b I + I c I的最小值是6 。例题(9)、求函数Y =的最小值。3X2 6X 512X2 X 12解：原式可化为(1X2+X+ 1) Y =3X2+6X+ 5 ,整理得(6-Y) X2+ ( 12 2Y) X+ (10 22Y) =0,因为X的取值范围是全体实数，所以关于X的二次方程有实数根，A = (12 2Y) 2-4X (6 Y) (102Y) = 4Y2+40Y 96 0 。即 Y2-10Y+ 24

10、0，得 KW 4。.= m1 + m2 的最小值为 4。例题（11）已知矩形A的边长分别为a、b,如果总有另一矩形 B,使得矩形B与矩形A的周长 之比和面积之比都等于（试问K是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。解：K存在最小值。设矩形 B的边长分别为 m n ,根据题意得：2）=K, mn =K,2（a b） abm+ n =K（a + b）,mn = Kab ;则 m n 是关于 X 的方程 X2K（a + b）X + Kab = 0 的两个根。必须满足=K2 （m+ - 4Kmri 0 , Kw 0, . K 4mn 。，K 的最小值是 4mn ） 。（m n）（

11、m n）【说明：二次方程根的判别式往往和韦达定理结合在一起应用】（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。例题（12）已知0WaW4,那么| a-2 | + | 3-a |的最大值等于（）A . 1 B. 5 C. 8 D. 3解：根据已知条件采用取零点分段讨论法求最大值。根据绝对值的几何意义，a=2 ,a=3是两个零点，结合 0waw 4分成0WaW2,2a W3,3a W4三段讨论。，当0w aW2时，原式=5 2a,当a=0时达到最大值 5;，当2aW3时，原式=1 ;（3）,当3aW4时，原式=2a 5,当a=4时达到最大值3;综合O在0W aw 4上原式的最大值为 5 。

12、所以选取B。例题（13）、ai是一个五位自然数，其中a, b, c, d, e为阿拉伯数字，且 abcd ,则a-b + b-c + c d | + d e 的最大值是 。解：由已知条件 abce时，原式=2d-a-e,当d=9,a=1,e=0时，原式的最大值为 17 。所以原式的最大值为 17 。例题（14）、d，求代数式1X-1 +X- 2+ X- 3+ X- 2003的最小值。（2）,求代数式| X-1 + X- 2+X-3+X-2004的最小值。解：0,本题用分段讨论法肯定是不恰当的，也太麻烦了。应该用绝对值的几何意义来解比较妥当。因为I X- 1 1的意义是：在数轴上表示实数X的点到

13、表示1的点的距离。所以只有当X在表示点1、2、3、2003的正中位置时，即当 X=1002时，X-1 + X- 2 + X- 3+ +X 2003 1的值最小，即原式最小值为1001 + 1000+999+2+1 + 0+1+2+-+ 999+ 1000+ 1001 = 2 （1 + 2+3+ 1001） = 1003002。（2）,因为 1、2、3、2003、2004的正中位置在数1002和1003之间，所以当 X在1002WXW 1003范围内取任意一点值时，原式 都能取到最小值。当 X=1002或X=1003时原式的值最小。现用 X=1002计算，原式的最小值为 1001 + 1000+

14、 999+ 2+ 1 + 0+1+2+ 1000+ 1001+ 1002 = 2 （1 +2+ + 1001） +1002 =1004004 。【说明：对于求IX a1+X a2| +Xa3| +Xan型代数式的最小值，有如下结论可以应用：当an是奇数时，在X=an上1时，代数式的值最小；当an是偶数时，在包WXW亘二匕2 222时代数式的值最小。】（五）、用二次函数图象性质求最值。例题（15）、若 | y1w1,且 2x+y = 1.贝U 2x2+16x+3y2 的最小值是。解：I y I w 1, . . 1 w yw 1,由 2x+ y=1 得 y=1 2x,即一1 w 1 2xw 1,

15、 . . 0W xw 1.又 y=1 - 2x, y2=4x2- 4x+ 1, 2x2+ 16x+ 3y2 = 14x 2+ 4x + 3 = 14（x + ）2+ 北？.丁 0749wxw 1,而二次函数的图像对称轴是直线x=- 1 ,在对称轴的右侧，y随x增大而增大，7当x=0时，原代数式的最小值是3 。（当x=1时有最大值21。例题（16）、设m是不小于一1的实数，使得关于 X的方程X2+2（m-2）X + n2-3m+ 3 = 0有两、/ 2、, 2个不相等的实数根 X1, X2。求UXJ + UXL的最大值。1 - X11 - X 2解：.原方程有两个不相等的实数根，/ 0 ,解得m

16、 1,且已知m是不小于一1的实数，1W m 1 。由韦达定理得： X + X = 2 （2 - m） , X 1 X2 = m 2 3m+ 3 ,mX：mX22 mlX1 X2 2 -2X2 -X1X2（X1 X2）12y = =+ 2-=-2-1一21一竺一二 =2（m - 3m+ 1）=2（m1 -X11 -X2X1X2 -（X1 X2） 13）2-5 .y是关于m的二次函数，对称轴为直线m =,在对称轴左侧，y随m的增大222而减小，因为一1wm0, -11c+7 0, - c ,5WQ - . ，Q的最大值是一1/11 , Q的最小值是一5/7。711【本例先用c代换a、b ,根据非负

17、数性质确定 c的允许值范围，在 c的约束下求Q的 值域，确定 Q的最大、最小值。】（八）、用不等式性质和整体代换思想求最值。例题（18）、已知 X, X2, %, %, X5, %,共 为自然数，且 X X 2%上,又X + X2+X6+X7 = 159,则 X + % + * 的最大值是 。解： X1X2 X6X6+ 1 X2+5X + 6; X6X1+5,，X2X+1; 7X1+ （1 + 2+ 5 + 6） WX1+X2+ X6+X7 = 159, .1. 7X 138, X1195, X 的最大值是 19。同理 6X2+ （ 1 + 2+ + 5） X+ *+ X7 = 140，.二%

18、 720, X2的最大值是 20;， X 3的最大值是 22。. K + X2+*的最大值是 61 。（九）、用图形的旋转法求最值。例题（19）、如图（2-1 ）, P为正三角形外一点，且不与A、B在同一直线上，AP=2 BP=3,当此三角形的边长、位置都可改变时，PC的长能否取到最大值？若能取到，求出这个最大值；若不能取到，请说明理由。解：把 APB绕点A顺时针旋转 60,使AB与AC重合，得 ACP,连结PP,则4 APP 是正三角形，PP=AP=AP=2, RC=PB=3 当 P、P1、C不在一直线上时， PC2存在整数a1,a2,an使得a+a2+an = a加。=1990,则 n的最

19、/J、值是 。解：由于1990是偶数，且只能被 2整除，所以由a1a2an=1990知a1,a 2,a n中只有一个偶 数；又由a1+a2+ an =1990是偶数知，在a1,a2,an中有偶数个奇数。因为n2,所以n必是大于等于3的奇数。当 n=3 时,设 a1 a2 a3 ,由 a1 + 出 + a3 =1990,知 a1 R,结合 a1a2a3 =1990 得 a1=1990,3或者a995，从而找不到a2,a 3满足条彳当 n = 5时，可取a1=1990,a 2=a3=1,a 4=a5=1，满足 条件。所以n的最小值是5。（十一）、用数学建模求应用题的最值。例题（21）、某蔬菜基地种

20、植西红柿，由历年的市场行情知，从二月一日起的250天内,西红柿的市场售价 P与上市时间t的关系用图（3-1）中的一条线段表示；西红柿的种植成 本Q与上市时间t的关系可用图（3-2）中的抛物线来表示。（市场售价P和种植成本Q的单位: 元/10 2kg,时间单位：天 ）。若认定“市场售价种植成本=纯收益”，问何时上市的西红柿纯收益最大?解：如图(3-1)得函数关系式为：P = 300 t (0 wtw 250).如图(3-2)得函数关系式为：Q = (t 150) 2+ 100 (0 t 250).200纯收益S = PQ = - (t50) 2+ 100 .即从二月一日开始的第 50天上市西红柿

21、的纯200收益最大。【说明：此类生活中的数学问题，具有强烈的时代气息，来源于生活生产实际，是近年来各 级各类竞赛考试的热门试题，综合性强，知识的涉及点多，知识的应用要求高，在辅导中要引起 重视。】(十二)、练习题：1、已知：a 0 ,且 Jb2 4ac = b 2 2ac ,求 b2 4ac 的最小值。【把已知条件两边平方后得ac = b 1,代入b2 4ac就能求得最小值 4。2、已知在直角坐标系中有三点A(0,1)、B (1,3)、C (2,6),直线Y=aX+ b上横坐标为0、1、2的三点为 D E、F,试求a、b的值，使DA+EB2+FC2取得最小值。【把D、E、F三点的纵坐标用含 a

22、、b的代数式表示，然后把 dA+eB+FC?用含a、b的二次式表示，配方后求出最小值。当 a=5/2,b=5/6,最小什为1/6。】3、设X1, X2是关于X的方程 父+aX+ a = 2的两个实数根，则(X2X2) (X2X)的最大值 为。4、求函数丫=乂+ X2+ 1的最小值。【Y=(X2+1) 2+3,当X=0时Y最小值是1。】45、四边形ABCD勺面积为32, AR CQ AC的长都是整数，且它们的和为 16,这样的四边形有几个？这样的四边形边长的平方和的最小值是多少？【先由AB=a、CD=b AC=mtB是正整数，且四边形ABC面积=三角形ABC面积十三角形 ACD 面积=1/2ah

23、 a+1/2bh bW 1/2(a + b)m ,当且仅当ha=hb=m时等号成立，这时 ABII CQ即四边 形ABCM平行四边形或梯形，且AC是高。又从(a+b) m 32,a + b+m=16得满足条件的四种情况。】6、设实数 a,b 满足 a / bc8a + 7=0b2 c2+bc-6a+6=0,则a的最大值与最小值的和是 。【先由原方程组求出b2+c2,bc用a表示的代数式，再由(bc)20解不等式a2-10a+9W0求得1waW9,所以a的最大值为9,最小值为1。】7、如果a,b,c是实数，且满足关系式 b2+c2=2a2+16a+14与bc=a24a5,那么a的最大值 与最小值

24、的和是 .【用(b-c) 2A08、若 M= (X+ 1) (X+2) (X+3) (X+4) +50,贝U M的最小值是 .9、若M=4X-12XY+10Y2+4Y+9,贝U当X=Y=时M的值最小， M的最小值为 。10、正实数X、Y、Z满足XY+YZ=10则X2+5Y2+4Z2的最小值是 。【由 XY+YZ=10导 4XY+4YZ=40 则 X2+5Y2+4Z2= (X-2Y) 2 + (Y-2Z) 2+40,当 X=2丫且 Y=2Z 时原代数式有最小值 40。】11、实数 P Q R满足P+Q+R=5 PQ+QR+RP=3贝U R的最大值是 。【令 P= (5-R) /2+d, Q= (

25、5-R) /2 -d,代入 PQ+QR+RP=3 3R210R 13=-4d2,解不等式3R2-10R-13 W0得R的最大值是13/3。也可用力法解。】2 112、若X为正实数，求 Y= X+ 的最小值。XY= (X-1 )2+1,当X=1时Y有最小值1。】13、已知xy=1,那么代数式 工+ 上的最小值是44x 4y14、若x0,则函数y=KX + 工 + Jx+1+2的最小值是3 X . x1 - x2 - x4 - 1 x415、若xw0,则y=2一x一 1 x的最大值是 xy= =& V3 + 2 x11 x2 x41 x4x211x21x2 1x216、已知函数y=x2+(a-1)

26、x+2a 2-2a-100,且存在实数x,使得y w 0,则满足条件的最大整数 的值是 。017、若x为实数，求函数y= ：5x 2j5x + 7的最小值。x 1【用根的判别式， 0,则c的最小值是【用韦达定理和根的判别式，24 20、已知x,y,z 是实数，并且满足 x+y+z=0,xyz=2,则z的最小值是 , lxl + 1 y I +I z I最小值是 。【用/法，结果为 2、4】21、在四边形 ABCD, AD=DC=1 / DABh DCB=90, BC, AD的延长线交于 巳 求 AB - Saabp的 最小值。/42【设PD=x，得AB - Saabp= (x 1) =y,用力

27、法求得最小值是2- J3。】2(x-1)22、已知 2x 1 _ i .x 5 3x ,求 x-i1 x+3 I 最大值和最小值。4,-36/11 3223、设x为实数，y= I x + 2 I + I x-4 I ,求y取最小值时的所有实数x 。1-2WxW4。】24、已知y= I x-1 I - I 2x I + I x+2 I ,且-2 w xW 1,则y的最大值与最小值的和是()A. 0 B. 2 C. 4 D. 5选 B25、I m-2 I + I m-4 I + I m-6 I + I m-8 I 最小值是()A. 4 B. 6 C. 8 D. 12【选 B26、设a为实数，若二次

28、函数 y=x2-4ax +5a2 3a的最小值为 m,当a满足0w a2-4a-2 w 10时， 求m的最大值。【由0Wa2-4a-2 w 10得2+V6 w aw 6或-2 w aw2- 6 ,求得m的最大值为18。】27、设P是实数，二次函数 y=x22Px-P的图像与X轴有两个不同交点 A (xi , 0)、(x2,0),若 A B两点之间的距离不超过I 2P-3 I ,求P的最大值。【9/16】28、印刷一张矩形广告，它的印刷部份的面积是32dm2,上、下各空白1dm,两边各空白0 5dm,设印刷部份从上到下的长度是xdm,四周空白处的面积为 Sdn2,要使四周空白处的面积最小，这张矩

29、形广告纸的长和宽各是多少？【用/法或x+1/x 2 Jx ,长是9dm,宽是6dm.】29、在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为(4, - J3),且在X轴上截得的线段 AB长为6,请在丫轴上求一点P,(不写作法)使PA+PB的值最小，并求P点坐标。【轴对称法，2 7 30、平面直角坐标系中，有点 P (-1 , -2)和Q (4, 2),取点R (1,何，求当m为何值时, PR+QFW最小值。【因为点P、Q在直线x=1的两侧，所以只要求出过点 P、Q的直线方程，然后求直线 PQ直线x=1的交点坐标 。m=-2/5 31 、若a,c,d 是整数，b是正整数，且满足 a+b=c,b+c=

30、d,c+d=a.那么a+b+c+d的最大值为 ( )A. - 1 B. - 5 C. 0 D. 1【选 B】32、已知x2+xy+y2=2，求x2-xy+y 2的最大值和最小值。6, 1/3】33、已知a,b是正数，抛物线 y=x2+ax+2b与y=x2+2bx+a都与x轴有公共点，则 a2+b2的 最小值是 。【当a=4, b=2时，最小值为20。】34、已知x,y,z是三个非负有理数，且满足 3x+2y+z=5,x+y+z=2,设S=2x+y-z,求S的最大和 最小值。【把y、z用x表示，然后确定 x的取值范围，就可通过解不等式组求S的最值。】35、在A ABC中，/ AW /CW / B

31、,且2/B=5/ A 求/ B的最大和最小值。75, 10036、圆周上依次相连排列着十个圆，要将 1, 2, 3,，10这十个数分别填入十个圆圈内，使 任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某个整数M求M的最小值并完成你的填图。【根据题意建立不等式组，确定MK 27 5, M的最小值为28,填法有多种：如10, 7, 6, 3,2, 9, 8, 5, 4,1 就是一种。】37、如图，A ABC的边AB=2, AC=3 I n出分别表示以 AR BG AC为边的正方形，则图中阴影部分面积和的最大值是 【把三角形EC喊点C顺时针旋转900,得三角形ECF,点C为FA的中点，A BCF的面积=A

32、 ABC的面积，即A ECF的面积=A ABC的面积，所以阴影部分面积和 =3AABC的面积。而A ABC的面积w 1/2AC - AB,只有当/ BAC=90时等号成立。面积和的最大值为9。】38、AABC43, BC=a AC=b,以AB为边向A ABC外作等边 A AB口问当/ ACB为多少度时， C、D两点的距离最大？最大值是多少？若以AB为边向外作正方形 ABDE问当/ ACB为多少度时，点C到正方形ABD前中心O的距离最大？最大值是多少？E F(6-2)600,点B与A重合, CD的值最大。此时/得 DAE A DBC 且 A DEC ACB=120, CD的最大值是a【如图6-1

33、 ,把 DBC绕点D逆时针旋转 是等边三角形，当 C、A E三点共线时，+ b.在图6-2中，同理可得当/ ACB=90时，CO的最大距离为 ” (a+b)。】39、将形状为等腰三角形的铁片改制成有一个内角为450的平行四边形，问怎样做才能使材料的利用率最高？(接缝处材料损失不计)【取AC BC中点 D E,连结 DE,把ACDE绕点E逆时针旋转180,得A EBF,则A EB国AECD这时四边形ADF呢平行四边形。它的面积就等于AABC的面积，材料利用率最高。】40、代数式 rvz-rwy-suz+swx+tuy-tvx 中，r、s、t、u、v、w x、y、z 可以取 1 或者-1。(1)

34、证明代数式的值为偶数；(2)求这个代数式所能取到的最大值。【中六项的值均为 1或-1 ,且个数同奇同偶，所以和必为偶数；。2六式相乘积为-(rstuvwxyz ) 2=-1,所以这六项中至少有一项为 -1 ,这六项的和最多是 5-1=4 ,取u、x、y为-1 ,其它字母为1,原式的最大值为4.】41、设a、b、c是互不相同白自然数，ab2c3=1350,则a+ b+c的最大值是 。11350=2 X 33X52=( 2X 33)X52X 13=(2X52)X12X 33=( 2X 3X52)X32X 13,所以有四解。】42、求能使n3+ 100被n+ 10整除的最大整数 n的值。n3 100

35、 n3 103 -9002=n -10n + 100n 10 n 10900,nn 10的最大值为890。】43、一个正整数除以 5、7、9、11的余数依次为1、2、3、4,求满足上述条件的最小正整数。【设这个数为 P,则P-1能是5的倍数，P-2是7的倍数，P-3是9的倍数，P-4是11的 倍数，且5、7、9、11、互质，5、7、9、11的最小公倍数是173144 、已知 x,y,z 为自然数，且 x1（y 是自然数）,1999-xx（已知yx）,2000+x 1（z是自然数），所以1Wx999.5,所以x=999, x + y + z的最大值是4998。】45 、设正整数 a、b、c、d满

36、足条件a/b=b/c=c/d=5/8, 则a+b+c+d的最小值是。【因为 a=5/8 - b,所以 8 I b;同理 d=8/5 c=64/25 - b,25 I b;所以 200 I b,当 b=200 时,a +b+c+d=1157是最小值。】46 、已知 x+y+z=1,且 0W xW 1,0 y 3 ,求 M=2x+5y+4z 的最大值和最小值。2【由 x+y+z=1,z=1-x-y,M=-2x+y+4,y=2x+M-4;又由 0WxW1, 0WyW1, yx+,得 x、2y只能在如图（7）所示的阴影区域内变化，而 M- 4为直线在y轴上截距，随着 M的变动, 形成了一系列平行直线， M-4在。到1之间变化，所以4WMK 5, M的最小值是4,最大值 是5。】y=1X-x=1图（7）