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1、2017丰台重点高中新高一年级开学分班统一考试数学试题本试卷包括三个大题，共8页，满分100分，考试时量90分钟。一、选择题：1 .下列计算，正确的是（）A.a2?a2=2a2B.a2+a2=a4C.（-a2）2=a4D. （ a+1）2=a2+12 .如图，/ AOB的一边OA为平面镜，/ AOB=37 36；在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线 DC恰好与OB平行，则/ DEB的度数是（）D. 74 12A. 75 36B. 75 12C. 74 36年龄（岁）13141516人数1542年龄如表：关于这法错误的是（）差是33 .某中学篮球队12名队员的12名队
2、员年龄的年龄，下列说A.众数是14B.极C.中位数是14.5D,平均数是14.84 .如图，在 4ABC中，AB=AC , / A=30 , E为BC延长线上一点，/ ABC与/ ACE的平分线相交 于点D,则/ D的度数为（）A. 15B, 17.5 C, 20D, 22.5 5 .已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,则另一个根为（）A.5B, - 1C, 2D, - 56 .有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A.白B.红C.黄D.黑7 .如图，4ABC的面积为6, AC
3、=3 ,现将 ABC沿AB所在直线翻折，使点 C落在直线AD上的C处，P为直线AD上的一点，则线段 BP的长不可能是（）A. 3B. 4C. 5.5D. 108 .如图，四边形 ABCD是菱形，AC=8 , DB=6 , DH AB于H,贝U DH等于（）9419A.答B- C. 5D. 4559 .已知点P （a+1, -+1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）10 .如图，已知二次函数y=ax2+bx+c （aw。）的图象如图所示， 给出以下四个结论： abc=0,a+b+c0,ab,4ac-b24 24(1)通过画图，可得：四边形时，P4=；五边形时，P
4、5=(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a, b的值.19 .小军同学在学校组织的社会实践活动中，负责了解他所居住的小区450户具名的生活用水情况，他从中随机调查了 50户居民的月均用水量(单位：t),并绘制了样本的频数分布表：月均用水量2x 33x 44 W 55 x 66 x 77 W k 88Wy 9频数2121032百分比4%24%30%20%6%4%(1)请根据题中已有的信息补全频数分布：,;(2)如果家庭月均用水量在 50)的图象与BC边交于点E.(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；(2)当k为何值时，4EFA的面积最大，最大面积是多少23 .如图，A
5、C是。的直径，BC是。O的弦，点P是。外一点，连接 PB、AB , / PBA= / C . (1)求证：PB是。的切线；(2)连接OP,若OP/ BC,且OP=8, OO的半径为2班，求BC的长.24 .如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (-灰，0), B (0, 3), C (0,-1)三点.(1)求线段BC的长度；(2)若点D在直线AC上，且DB=DC,求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，直线 BD上应该存在点P,使以A, B, P三点为顶点的三角形是等腰三角形请利用尺规作图作出所有的点P,并直接写出其中任意一个点P的坐标.(保留作图痕迹)25 .如图，已知抛物线 y=ax2+bx
6、+c (aw。的对称轴为直线 x= - 1,且抛物线经过 A (1, 0) , C (0, 3) 两点，与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x=- 1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴 x= - 1上的一个动点，求使 4BPC为直角三角形的点 P的坐标.26 .如图，在4ABD中，AB=AD,将4ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C. E是BD上一 点，且BEDE,连结CE并延长交AD于F,连结AE.(1)依题意补全图形；(2)判断/ DFC与/ BAE的大小关
7、系并加以证明；(3)若/ BAD=120, AB=2,取AD的中点G,连结EG,求EA+EG的最小值.备用图27 .在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)及两个图形Wi和W2,若对于图形 皿上任意 一点P(x,y),在图形W2上总存在点P(x：y)，使得点P，是线段PM的中点，则称点P，是 点P关于点M的关联点，图形W2是图形Wi关于点M的关联图形，此时三个点的坐标满足(1)点P(-2,2 )是点P关于原点。的关联点，则点P的坐标是(2)已知，点 A(02-10 解得：a0,ab,4ac- b20；其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】首先根据二次函数y=a
8、x2+bx+c的图象经过原点，可得 c=0,所以abc=0;然后根据x=1时，y0,可得a+b+cv0;再根据图象开口向下，可得a 0,图象的对称轴为 x=-l,可得- 2二-g,2 2a 2bb;最后根据二次函数 y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得 。，所以b2 -4ac0, 4ac-b20,据此解答即可.二、填空题：2221c11.x =(x-4 ) +(x-2 ) 12.-n4)(1)通过画图，可得：四边形时，P4= 1 ；五边形时，P5= 5(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求 a, b的值.【解答】解：(1)画出图形如下.由画形，可得：当 n=4 时
9、，P4=1 ；当 n=5 时，P5=5,故答案为：1; 5.(2)将(1)中的数值代入公式，得：解得:4X(4-1)L- 245X(5-1)(a=5 b=6* (4? - 4a+b)?(5 2 - 5a+b)450户具名的生活用水情况,19. 小军同学在学校组织的社会实践活动中，负责了解他所居住的小区他从中随机调查了 50户居民的月均用水量(单位：t),并绘制了样本的频数分布表:月均用水量2x 33 W x 44x 55 X 66 x 77 X 88Wy 9频数2121032百分比4%24%30%20%6%4%(1)请根据题中已有的信息补全频数分布：15 , 6 ,12%(2)如果家庭月均用水
10、量在 5Wy 8范围内为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水 量家庭大约有多少户(3)记月均用水量在2Wy 3范围内的两户为a1，a2,在7x 8范围内的3户b1、b?、b3,从这5户家庭中任意抽取2户，试完成下表，并求出抽取出的2户家庭来自不同范围的概率.【解答】解：(1)50X30%=15, (2)50-2- 12-15-10-3-2=6,6寸0=0.12=12% ,故答案为：15, 6, 12%；(2)中等用水量家庭大约有 450X (20%+12%+6%) =171 (户)；电d6L割c a己十口 0 . a,)r e-曰八 3.(E.5)5 玉.c d. 5) 小-口_日
11、工，冷3(3)抽取出的2户家庭来自不同范围的概率:c 12 3p= =P 20 5【点评】此题主要考查频数分布表和概率的相关知识，会求频数，会用样本估计总体，会用列表法求 事件的概率是解题的关键.20. (1)证明：由题意m#1 .2 = -(m+1) -4M2(m-1) 1分2(m-3 ) 0包成立,二方程(m T )x2(m+1加+2 =0总有实根； 2分(2)解：解方程(m-1 )x2-(m+ 1 )x+ 2 =0 ,X2 m -1.方程 d 2工。八的两根均为正整数，且 m是整数，m -1 x -m1x 2=01- m-1 =1,或 m-1 =2.m =2 ,或 m =3.4 分21.
12、 (1)证明：:平行四边形 ABCD, a OB=OD. OB=OE, a OE=OD.A _ _p ./OED=/ODE.1/分 OB=OE, ；/1 = /2.7./ 1 + /2+/ODE+/OED=180。，/0)的图象与BC边交于点E.(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；(2)当k为何值时，4EFA的面积最大，最大面积是多少【分析】(1)当F为AB的中点时，点F的坐标为(3, 1(2)根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于1【解答】解：(1)二.在矩形OABC中，OA=3, OC=2,.F为AB的中点，F(3, 1),二.点F在反比仞函数y=. k=3, .该函数的解
13、析式为 y= (x0)； K(2)由题意知E, F两点坐标分别为 E (,，2) , F (3, ,2一. SEFA=AF?BE=Xyk(3-/) , =，. *k = *),由此代入求得函数解析式即可；的二次函数，利用二次函数求出最值即可.B (3, 2),-(k0)的图象上，K)3)，(k 3) 2+总22 .如图，在矩形 OABC中，OA=3, OC=2 , F是AB上的一个动点(F不与A, B重合)，过点F的当k=3时，S有最大值.S最大值国423 .如图，AC是。的直径，BC是。的弦，点P是。外一点，连接 PB、AB, / PBA= / C .(1)求证：PB是。的切线；(2)连接O
14、P,若OP/ BC,且OP=8, OO的半径为25，求BC的长.【考点】切线的判定.【分析】(1)连接OB,由圆周角定理得出 /ABC=90 ,得出/C+/BAC=90 ,再由OA=OB ,得出 / BAC= / OBA ,证出/ PBA+ / OBA=90 ,即可得出结论;(2)证明ABCs pbo,得出对应边成比例，即可求出BC的长.【解答】(1)证明：连接OB,如图所示：. AC 是。的直径，Z ABC=90 , C+Z BAC=90 , OA=OB , . . / BAC= / OBA , ./PBA=/C,/ PBA+/ OBA=90 ，即 PBOB, ，PB 是。的切线；(2)解：
15、:。的半径为2近,，OB=2 加，AC=4 正，. OP/BC, ，/C=/BOP,又/ ABC= / PBO=90.abcspbo .组工2 即 QB 0PBC 啦BC=2 .24.解：(1)(2)设直线把A (-加B (0, 3)C (0, T) . BC=4.AC的解析式为y=kx+b ,0)和C(0, - 1)代入 y=kx+b ,-l=b0=-.解得:直线AC的解析式为:DB=DC , .点D在线段BC的垂直平分线上.，D的Fl分纵坐标为1.把 y=1 代入 y= - Y3x - 1,解得 x= - 2D 的坐标为(-21).JP的坐标为(-3丘，0),(-泥，2),(3)当A、B、
16、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点 (-3, 3-V3), (3, 3+班)，写出其中任意一个即可25 .如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (aw。的对称轴为直线 x= - 1,且抛物线经过 A (1, 0) , C (0, 3) 两点，与x轴交于点B .(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x=- 1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴 x= -1上的一个动点，求使 4BPC为直角三角形的点 P的坐标.【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)先把点A,
17、C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b, c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得 a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a, b, c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线 y=mx+n ,解方程组求出 m和n的值即可得到直线解析式；抛物线解析式为y= - x2 - 2x+3 直线y=mx+n的解析式为y=x+3 ；(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x= - 1代入直线y=x+3得，y=2 ,M (-1, 2),即当点M到点A的距离与到点 C的距离之和最小时 M的坐标为(-1,2);(3)设 P (- 1, t),又因为 B (-
18、3, 0) , C (0, 3),所以可得 BC2=18, PB2= (- 1+3) 2+t2=4+t2,t值即可求出点P的坐标.PC2= (-1) 2+ (t-3) 2=t2- 6t+10 ,再分三种情况分别讨论求出符合题意若点若点B为直角顶点，则C为直角顶点，则BC2+PB2=PC2 即:BC2+PC2=PB2 即:18+4+t2=t2-6t+10 解之得:18+t2 6t+10=4+t2 解之得:若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2 即:4+t2+t2- 6t+10=18 解之得:t= - 2；t=4,t, _t1Z)t2 -3717.综上所述P的坐标为(-1, - 2)或(-1.
19、呼或一r).【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析DC2B式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题.A26.解：(1)(2)判断：/ DFC = / BAE.ABCD 为证明：二.将 ABD沿BD翻折，使点A翻折到点C.BC=BA=DA=CD、；菱形.ABE/XCBE (SAS) . . . / BAE=/BCE. ./ABD=/CBD, AD/ BC.又. BE=BE, . AD/BC, DFC=/BCE./DFC = /BAE.(3)连 CG, AC.由轴对称可知，EA+EG=EC+EG,CG长就是EA+EG的最小值. 4分BAD=120,四边形 ABCD为菱形，丁. / CAD=60.ACD为边长为2的等边三角形.可求得CG=卤. EA+EG的最小值为百 27.解：P(-4,4).(2)连接AM,并取中点A;同理，画出B、C、D; .正方形A B C为欣求作.3 分不妨设N(0,n).V关联正方形川日七。被直线y=-x分成面积相等的两部分，中心Q落在直线y=-x上. -.正方形ABC D的中心为E(-3,0),