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1、平行四边形及其性质(基础)【学习目标】1 .理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理2 .能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四 边形的问题.3 . 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用.“夹在两条平行线间的垂线段相等”平行四边形 ABCDE作ABCD,.相邻的两边为邻边，有四对；相对的4 .掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等” 【要点梳理】【高清课堂 平行四边形知识要点】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 读作“平行四边形 ABCD .要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线 边为对边
2、，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条 知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：(1)平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系(2)由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1 .两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线
3、的距离，叫做这两条平行线间 的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值 .2 .平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质【高清课堂平行四边形例11】1、如图所示，已知四边形 ABCD平行四边形，若AF、BE分别为/ DAB/CBA的平分线.求证:DF= EC.【答案与解析】在 ABC叶，CD/证明：: AB , / DFA= / FAB.又. AF是/ DAB的平分线,/ DAF= / FAB,/ DAF= / DFAAD = DF.同理可得EC= BC |1|在 ABC叶，AD= BC,DF
4、= EC.【总结升华】利用平行四边形的性质可以得到对角相等，对边平行且相等，为证明线段相等提供了条件.举一反三：【高清课堂平行四边形例12】BE与线【变式】如图，E、F是平行四边形 ABCD的对角线AC上的点，CE= AF,请你猜想：线段段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明【答案】证明：3f想：BE II DF且 BE= DF.四边形ABCDM平行四边形CB=AD CB/ AD . / BC& / DAF 在 BCE和 DAF中CB AD BCE DAF CE AF . BCE DAFDFA=/ BEC, / DF= BE-.DFBE： /DF.BE= BE /DF且即QF 的延长交BC交
5、CD于点F,2016 永州)如图，在 ？ABCD中，/ BAD的 角平分线 AE2. ( E .线于点 BE=CD; (1)求证：ABCD的面积. , AB=4,求平行四边形 BF,若 BF AE, / BEA=60 (2)连接)证明2,即可证明；/ BEA (【思路点拨】(1)由平行四边形的性质和角平分线得出/BAE=ECF与AECF,得出 ADFBF由AAS证明 ADFA ABE为等边三角形，由勾股定理求出的面积，即可得出结果.= ABE的面积相等，平行四边形ABCD勺面积【答案与解析】(1)证明：.在平行四边形ABCD中，AD/ BC, AB/ CD, AB=CD / AEB=/ DAE
6、又.AE是/ BAD的角平分线， / BAE=/ DAE / AEB=/ BAE .AB=BE .BE=CD (2)解：AB=BE / BEA=60 .ABE为等边三角形， .AE=AB=4 .BFXAE, .AF=EF=2,23, BF= AD/ BC, .D=/ECF, / DAF=/ E,在AADFA ECF中，D ECF , E DAF AF EF .AD- ECF (AAS) .ADF的面积= ECF的面积，11、, AE BF4 23 43.的面积.平行四边形ABCD=ABE的面积22【总结升等边三角形华】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、的性质
7、与判定、勾股定理；解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质.，3.如图，在？ABCD中，点E, F分别在边DC, AB上，DE=BF,把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B, C分别落在B , C处，线段EC与线段AF交于点G,连接DG B G 求证：（1） / 1 = / 2 ;(2 ) DG=B G. C【思路点拨】（1）根据平行四边形得出DC/ AB,推出/ 2=/FEC,由折叠得出/ 1 = /FEC=/ 2,即可得出答案；（2）求出 EG=B G 推出/ DEGN EGF，由折叠求出/ B FG=/ EGF 求出 DE=B F,证 DE B FG即可.【答案与解析】证明：（1）
8、二.在平行四边形 ABC叶，DC/ AB, ./ 2=/FEC,由折叠得：/ 1 = /FEC,./ 1=/2; :/ 1 = /2, .EG=GF. AB/ DC / DEG与 EGF由折叠得：EC / B F, ./B FG=/ EGF,. DE=BF=B F, .DE=B F,. .DE B FG （SAS）, .DG=B G.【总结升华】 本题考查了平行四边形性质，折叠性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的DF并延长，交 AB的延长线于点E.求证:应用，主要考查学生的推理能力.4.如图，已知？ABCD中，F是BC边的中点，连接AB=BE【思路点拨】 根据平行四边形性质得出AB=DC
9、 AB/ CD,推出/ C=/ FBE, / CDF之E,证 CDF即可.BE=DC推出BE阵.【答案与解析】 证明：F是BC边的中点， .BF=CF, 四边形ABCDM平行四边形， .AB=DC AB/ CD,.C=/FBE, / CDF=Z E, 在 CDFA BEF 中C= FBE CDF= E CF= BF /.ACDFBEF(AAS), .BE=DC . AB=DC .AB=BE【总结升华】 本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出 CD BEF.举一反三：【变式】如图，已知在？ABC叶，延长AB,使AB=BF,连接DF,交BC于点E.求证：E
10、是BC的中点.【答案】证明：在口 ABC叶，AB/ CD,且 AB=CD ./ CDF=/ F, / CBF=/ C,.AB=FB, .DC=FB. .DE FEB,.EC=EB即E为BC的中点.类型二、平行线的性质定理及其推论5. (1)如图1,已知 ABC,过点A画一条平分三角形面积的直线；2121 等；(2)如图2,已知l / l ,点E, F在l上，点G H在l上，试说明 EGOW FHO面积相 画一条平分三角形面积的直线.M的边上，过点 ABC在AM,点3)如图3的中点画直线即可； A和BC【思路点拨】（1）根据三角形的面积公式，只需过点 ）结合平行线 间的距离相等和三角形的面积公式
11、即可证明；（2 ）的结论进行求作.1）和（2 （3）结合（【答案与解析）B的中，画直线，则直解： A为所求）证明：之间的距离都相等，设GGeg=gE腔. S-S = S-S , GOHEGHFGHGOXEGO勺面积等于 FHO的面积；（3）解：取 BC的中点D,连接MQ过点A作AN/ M眩 BC于点N,过M N画直线，则直线 MN为所求.： 一【总结升华】 此题主要是根据三角形的面积公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高的两个三角形的面积相等.举一反三：【变式】（南京校级期中）有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等.下面经历探索与应用的过程.探索：已知：如
12、图 1, AD/ BC, AB/ CD.求证：AB=CD应用此定理进行证明求解.两条线段的和. BC与AD.求：BD=3, AC=4, AD/ BC, AC BD, 3应用二、已知：如图【答案】探索：证明：如图1,连接AC,1 . AD/ BC, .DAC士 BCA2 . AB/ CD. .BAC4 DCArZBAC=ZDCA在 ABCA CDA中，ZACB=ZDAC3 .ABC CDA (ASA),4 .AB=CD应用一：证明：如图2,作DE/ AB交BC于点E,5 . AD/ BC,6 .AB=DE,.AB=CD7 .DE=CD8 / DEC=/ C. DE/ AB,. B=/DEC.B=/C;应用二、解：如图3,作DF/ AC交BC的延长线于点 F. AD/ BC,AC=DF AD=CF. DF/ AC, .BDF=/ BEG,. AC BD, .BDF=/ BEC=90 ,在RtABDF中，由勾股定理得：BF=5,故BC+AD=BC+CF=BF=5