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1、直线AC与BD所成的角为是 例2.把长、宽分别为D的距180-MEN =60 ,4、3的长方形ABCD沿对角B和D对立体几何中若干错解的剖析丁勇在立体几何的学习中，倘若对基本的概念认识不清，缺乏一定的空间想象能力，对问题的思考不够严谨，就很容易导致解题的失误，下面举例说明。例1 .已知空间四边形ABCD的对角线AC = 10cm , BD = 6cm, M、N 分别是 AB、CD的中点，MN =7cm。求异面直线AC与BD所成的角。错解取BC中点E ,连结EM、EN，因为M、N、E分别为AB、CD、BC的中点，1所以 ME / AC 且 ME AC = 5cm。NE / BD 且 21NE B
2、D =3cm。.MEN为异面直线AC与BD所成的角。 2222在A MEN中，由余弦定理得 cos_MEN = ME NE二MN 5_aZ，所2MELNE以.MEN -120，所以异面直线AC与BD所成的角为120。(0 ,90剖析上述解题过程中没有注意到两条异面直线所成的角的范围离。错解如图，取AC的中点线AC折成直二面角，求顶点由勾股定理可求得BD2O，连结 DO、BO ,如图过在 Rt ABC , BM LAC =ABL_BC，因为 AB =4 BC =3, AC =5,所以 BM12DN，又 BC2二 ACbCM，所以 CM 512，同理57，同理 AN，而 MN =AC-2CM ,B
3、M , DN为两条异面直线,因为 AB = 4 , AD =3，所以 BO= DO =,剖析上述错解是由于对二面角的平面角理解不深造成的。B事实上，由于DO、BO与棱AC不垂直，.BOD并不是二面角的平面角，也不是直角。应用异面直线距离公式EFAd2 m2 n2-2 mn cosa去求BD，这里，二面角B-AC-D 为直二面角，BM 与 DN 的夹角）-90，EF = BD，d=MN=?，12 2222m = n 二 BM 二 DN，所以 BD = MN 2 BM 2 DN25空，所以BD二至，故25B和D的距离BD二虫37。5例3.矩形ABCD中，AC =2、至AB J2BFAD二 X2 4 X2EF 二 AC -2AE =2.222j2 J2，在 DEF 中，DE 2 二 EF2 DF 2,222222BD = BE DF EF =2BE EF，即 5 工4 )2.(）2,把代入上式得x4 -8x2 12 = 0,所以 x2 =6 或 x2 = 2，即 AB = - 6 或 2剖析错解忽略了题中所给的条件AB BC，即x y。因而x2 =6时，y2 =2不符合x2总之，易错题往往有其深刻的背景，导致错误的原因也薛复杂，所以对典型的易错题应该认真的整理、归纳和总结，从中吸取经验和教训。