《广义逆矩阵及其应用概诉.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广义逆矩阵及其应用概诉.docx（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、题目广义逆矩阵及其应用学院专业通信与信息系统学生学号第一章前言 1第二章广义逆矩阵 2 2.1 义逆矩阵的定义 2 2.2 义逆矩阵的性质 3第三章 广义逆矩阵的计算 12 3.1 一般广义逆求解 12 3.2 Moore-Penrose 广义逆 16结论 19第一章前言线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵，但是对于一般线性 方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、
2、系统理论、现代控制理论、网络 理论等许多领域中有着重要的应用， 本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在 线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数 解。逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们 提出了下述关于逆矩阵的推广：(1)该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；(2)它具有通常逆矩阵的一些性质；(3)当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积 分算子的一
3、种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含 蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意 矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和 美籍匈牙利数学家冯诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间 中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆 尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义 逆矩阵定义，因此通称为 Moore-P
4、enrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了 一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、 系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。-6 -第二章广义逆矩阵 2.1 广义逆矩阵的定义一、Penrose广义逆矩阵的定义为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的Moore-Penrose 定义。定义2.1设矩阵A w必刈，若矩阵X w Cn刈满足如下四个Penrose方程AXA = A( i )XAX = X( ii)(AX)H=AX(iii)(XA
5、)h=XA(iv)中的一部分或全部方程，则称 X为A的一个广义逆矩阵。若X只满足(i )式，则X成为A的一个1-逆，可记为A ),所有满足1-逆 的X构成的集合记为All。若X满足四个方程中的第i,j,，k个方程，则称X为A的 一个&j,，k-逆，记为A(,j：k),所有满足j,，6-逆的X构成的集合记为At,j,小二、常见广义逆定义按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有C：+C：+C：+C：=15 类，其中常见的有 aM, A11,2, A%,3, a, A1,2,3,4k定义2.2设有复矩阵AWCm坨。若有一个nm复矩阵X存在，使下式成立，则 称X为A的减号逆
6、：AXA = A(2.1)当A工存在时，显然A”满足上式，可见减号逆X是普通逆矩阵A”的推广；另外, 由AXA = A得(AXA)H . ahAHXHAH =Ah可见，当X为A的一个减号逆时，X H就是AH的一个减号逆。定义2.3设复矩阵AwCmM,若有一个nwm矩阵X ,满足：AXA = A 且 XAX = X称X为A的一个自反逆矩阵，记作为 Ar ArW足Penrose方程的（i） , （ii）式，所以 A-w A1,2。显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵X是矩阵A的仆-逆，即XWA4,若 矩阵A也是矩阵X的1-逆，即AWX1,则X为A的一个自反逆矩阵。定义2.4设复矩阵AwCmM,若
7、有一个nm矩阵X ,满足：AXA = A 及（AX）H = AX ,则称X为A的最小二乘广义逆，记作 A，A -满足Penrose方程的（i） , （iii）式, 所以 Amw A1,3。最小二乘广义逆是用条件（AX）H = AX对减号逆进行约束后所得到的子集。定义2.5设复矩阵AwCmM,若有一个nm矩阵X ,满足：AXA = A 及（XA）H =XA ,则称X为A的最小范数广义逆，记作Am , Am满足Penrose方程的（i） , （iv）式, 所以 A-e A1,4。显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集。若X满足全部四个方程，则称 X为A的Moore-Penrose广义逆矩阵，记为A+
8、。 2.2 2.2广义逆矩阵的性质将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。定义2.6设矩阵AWCm （r0）,如果存在一个列满秩矩阵 5乏g函与一个行满秩矩阵Gw C不使得则称上式为A的一个满秩分解。定理2.1对任意矩阵AwCm (r0),必存在着矩阵FecmftGec；1#A = FG。证明：由rankA = r ,对A进行若干次初等行变换后，可将A化为行阶梯矩阵B ,其中rankG =r。故存在若干个m阶初等矩阵的乘积P ,使得A=p电p-1 = F,M , Fcmx , M CmXm-r) ,便
9、有因F是可逆矩阵P，的前r列，所以F是一个mr列满秩矩阵，G是rn行满秩 矩阵，故A = FG是A的一个满秩分解。上式A = FG是A的一个满秩分解，但是 A秩满秩分解并不是唯一的。任意取一 个r阶非奇异矩阵B,若A = FG是一个满秩分解，则显然A=(FB jjB,G庖是A的一个 满秩分解。一、1-逆的性质定理2.2 设ACmn,则A的Moore-Penrose逆存在且唯一。证 设rankA = r .若r=0,则A是mn零矩阵，可以验证nm零矩阵满足四个 Penrose方程。若r0,则A有满秩分解分解A = FG ,11取X =Gh (GGh r(FHF TFH ,则X满足4个Penros
10、e万程，所以，X是Moore-Penrose广义逆矩阵。设X, Y均满足四个Penrose方程，则HHHHHhhhhHHX = X AX )= XX A = XX AYA )；= XX A Y A = X AX AYXAY = XA H YAH Y = AHYHY = YAHY =Y综上所诉，A .存在且唯一。A +满足四个Penrose方程的所有方程，所以，A +属于15类广义逆矩阵中的任意 一类。上面我们证明了 A+所存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的。,九#00,九二0对任意的九wc ,定义九十为(2.4)r. + 丸 =下面给出1逆的一些性质。定理 2.3 设AwCmw, Bw
11、Cm(1) (A)HWAH1;(2)/A w(?A)1;(3)若S和T非奇异，则T,AS/w(SAT)1;(4) rankA CrankA ;(5) AA(厢AC A均为幕等矩阵且与A同秩；(6) R(AA)=R(A),N(A A) = N(A),R(A A)H ) = R(AH );(7) A1 A = In的充要条件是rankA = n ,AA)=Im的充要条件是 rankA = m ；(8) AB(AB A = A的充要条件是 rank (AB) = rankA , B(ABAB=B 的充要条件是 rank(AB) = rankB。证 (1)由A(1握A1,有AA(1A = A,两边同时
12、求共腕转置得(AAf A H = AH , 即 AH (Af )H ah = ah ,由定义知(A(1)H w AH1 o(2) aApJAQUAhKAA。A=，uA，由1- 逆定义得，#AQ /(九A1。(3)(satitaCSisat)=satt,a( S,SAT=SAT,由1- 逆定义得, TaC Sw (SAT 1。(4) rankAb rank(AA( M rank(AA( A)= rankA,故 rankA(1)至 rankA .。(5) (AA( )2 = AA。AaC )= AAC),故 AA(1)为幕等矩阵，又由(AC A2 = A。AaQ A = A( A,故A。A为幕等矩
13、阵，所以rankA = rank (AA A) rank (AA(1) rankA ,也即 rank(AA(1) = rankA。 同理，rank (A A) = rankA。(6)由 R(A)二 R(AA(1)二 R(AA A) = R(A)，得 R(AA(1) = R(A),类似的，由 N(A) = N(A(1) A) = N(AA(1) A) = N(A),得 N(A A)= N(A)。又因为，R(AH) n R(Ah (A)h) = R(AA)h) n R(AH (A)H AH) = R(AH),所以RA。A H )= R(AH A卜(7)充分性：rankA =n,所以，rank(AA
14、(1)= n ,由A(1以为幕等矩阵且非奇异，易知AA = In 。必要性：由 AA = In, rank(AA(1)= n ,故 rankA =n。另一式同理可证明。所以，R(AB) = R(A)。(8)充分性：R(AB)uR(A), rank(AB) = rankA ,所以存在矩阵 X ,使A = ABX ,从而AB(AB)A= AB(AB)ABX = ABX = A。必要性：rankA = rankAB(AB)(1 A rankA ,又XWA2,根据X为自反广义逆，有AWX1,则rankA之rankX所以，rankA= rankX。三、Moore-Penrose广义逆矩阵A定理2.2已证
15、明对任意矩阵A w Cm功，Moore-Penrose广义逆矩阵A卡存在且唯一,Moore-Penrose广义逆矩阵是满足全部Penrose条件的广义逆矩阵，其必然有其 特殊性，下面给出Moore-Penrose广义逆矩阵A+的一些性质：定理2.7设矩阵A乞Cm阳，则有(D (a+)+=a；(2) (Ah)+=(A#；(3) (AAH) + = (AH)+A +；(AHA) + =A+(AH)+;(4) A + = AH(AAH)+;a+ = (AHA)+ah ；(5) rankA +=rankA 。证明：(1)由定义，A和A +的位置是对称的，即 A*是A的Moore-Penrose广义逆矩
16、 阵，那么A就是A邛勺Moore-Penrose广义逆矩阵，又因为(A4)+唯一，所以，(A+)+=A:(2)令 X =(A、H ,则有AHXAH =AH(A*HAH =(AA+A) = AH ,XAHX =(A+H AH(A+H =(A+AA+H =(A+H =X ,(AHX H =(AH (A + H H =AtA = (AkH =AH(A+f =AHX ,(XAH H = U + H AH H = AA+=(AA+H =(A + H AH =XAH ,根据定义，(AH)+=X =(A# o(3)令 X =(AH Ta,则有(AAH X(AAH )=(AAH lAH )+AAAH )=A(
17、A4AH A,AAH = AA+AA4AAH = AAH ,XAAHX =(AH AAAHtAH A + =(AH AAtAH A十H：AH A AA AA+jAH A ,IaaH XH = AaH (aH Ta+H = A(a+a H a” =(aaXa+H =(aa，H= AA + =AA%A+= A(a+aY a+= AAH(AH )+A+= AAHX,X(AAH H =(AH J4AAAH H =(A+H (A4AH AH H = A( A+A A+ = (AA+H (AA+)H = (AH AH (A+H AH =(AH 在AtAH AH =(AH SAAAA =X(AAH),根据定
18、义及Moore-Penrose广义逆矩阵的唯一性知(AAH )+=X =(Ah )+a+ 。同理可证明，(AHA) , = A.(AH):(4)令 X = AH (AAH 则有AXA = AAH (AAH fA = AAH (A+H A+A= A(A+A HA AA+AAA = A ,XAX = AH (AAH JAAH (AAH 屋 AH (AAH 屋 X ,(AX H = Aah (AAH 尸H =AAh(AAhAX ,(XA H = AH (AAHAH =AH(A+H AtA = AH(AAHA = XA ,根据定义及Moore-Penrose广义逆矩阵的唯一性知a+ = X =AH(A
19、Ah 广。同理可证明a + =(AHA)+aH。(5) rankA= rank(AA力 k rank(AA+k rankA+,rankA+= rank(A+AA+fe rank(A4A rankA ,故rankA = rankA 。定理2.8给定矩阵AW Cm4，则有a+ = A(1,4 AA(,3),其中，AC3)wAH3, Af,4)wAl,4。证明：设X =A,4AA(1,3),则由定理2.5知，X w A1,2,又因为AX = A。4 Aa3a = AA。,3),(AX H =(AAC,3)h = aaC3)= axxa = a1,4AaC3a=aC4 A,(XAH =(a(1,4 A
20、H =aC4A = xa所以，XWA1,2,3,4。又因为A1,2,3,4只有一个元素，所以，X =A +。-21 -第三章广义逆矩阵的计算广义逆矩阵在解线性方程组中有着重要作用，而利用广义逆矩阵解线性方程组首 先需要求解相对应矩阵的广义逆矩阵。 3.1 一般广义逆的求解一、1-逆的求解定理3.1设矩阵AwCmM,有矩阵XwCnm且XWA1,则A1 =X +Y(Im - AX )+(In XAZ |VY,Z W Cn刈。(3.1)证明：因为对任意Y,ZWCn如，令 M = X +Y(Im-AX )+(In - XAZ ,于是有AMA = AXA AY 1m - AX A A In - XA Z
21、A=A AY A-AXA A-AXA ZA = A所以，MWA1。反之，任取M w A1,于是有M = M XAX - XAMAX(1) M-X-M-XAX MAX - XAMAX=X 十(M -X 11m -AX n -XAMAX,取Y = M -X , Z =MAX，则M有(3.1)式的表示。所以，A1 =X +Y(ImAX H(InXAZ|VY,Z wen。定理3.2设矩阵AWCmn,存在可逆矩阵PWCm丽和QWCn小，使Ir0则A1中的任一矩阵可写成IrXX21X12的形式，其中，X12 Cr m，X2Cnr, X22 Cnm，为任意矩阵。证明：设XWA1,则X是nm矩阵，将X分块为:
22、X11X12X21X22 J其中，X11 ecrx , X12wcrym），X21WC。九 X22wC（n2”上则Q AXP w (PAQ 1,因为(PAQ(QXP(PAQ )= PAQ ,所以1_ 1(PAQ)(Q XP )(PAQ)=Ir0X11X12Ir00X21X2200、IXn0:I00、 pr 0、0八0。所以，X11 =Ir,即（PAQ1中的任一矩阵可写成,门,XQXP=r ，即A1中的任一个矩阵可写成X21 X22 X =Q1X12?X21X22 JP,其中 X12WC附m），X21-C（nJ, X22WC（n沏”），为任意矩阵由定理3.2知，要想计算出一个矩阵A的1-逆，必须
23、首先求出可逆矩阵P和Q, 使PAQ成为标准形，所以可先构造分块矩阵用行和列初等变换把同时，In化成了 Q,故，PAQ = A =Ir0A Im3 0B中的A化简成A =Im化成了 P,即0InIiAIr000.，ImQ10P000，于是A1中的矩阵可写成IrX2112P。22 J 1,3-逆的求解定理3.3设矩阵AW Cm坨(D若A是行满秩矩阵，则A=A一;(2)若A是列满秩矩阵，贝U A-=(AHA)AH;(3)若rankA = r minm , n且有满秩分解A = FG ,则A=GJ=r 或 A=(AHa)ah。Im，有证明：(1)若AW Cm却是行满秩矩阵，则rankA =m, AA(
24、AA)H =IH =Im=AA-,所以，A- - A一。(2) 若AWCm”是列满秩矩阵，令 X=(AHA)AH,H z H 1 fl H H fl HH 1 flH(AX) = (A A) AA = A(A A) A = AX ,又 AXA = A(Ah A)Ah A = A ,所以，a-=(aha)ah。(3) (AG 下CH =(FGG 下CH =(FI,FQh =(FF1)h= FF- FGGF- AGFi又 A(G-FCA = FGGf-FG =FG = A,所以，A-=G-F。令 X =(AHA)AH ,于是(AX)H =A(Ah a)-ahh =A(AhA)-Ah =AX ,又
25、AXA = A(AhA)-AhA = A,所以，A=(AH a)-ah。三、1 , 4-逆的求解定理3.4设矩阵ACm阳，那么(1)若A是行满秩矩阵，则Am = AH(AAH)(2)若A是列满秩矩阵，则Am=A(3)若rankA = r 0)的满秩分解为A=FG,其中F* G则(1) GFQwAi, i =1,2,4;(2) Gt FC)w Ai, i =1,2,3;(3) G(F+eA1,2,3, G+F(fe A1,2,4；(4)庆+=6十1,3)=6。，+;(5) a + = G、+ = Gh(GGh 0(FHF jVH =Gh(Fh AGh f F h o证明：(1) F , G分别为
26、列满秩和行满秩矩阵，fQF =GG(1)=I.，有AG1 F(1 A = FGG( F。Fg = FIJG =FG = A,所以，G1FA1；G2F1AG2F1 =G2F1FGG2F1 =G2GG2F1 =G2F1所以，GFC)wA2;G 4 F 1 AH = G4F1FGH = G4GH =G4G=G4F1FG=G4F1A所以，G(4FQwA4。综上，G(FO Ai,(i =1,2,4)o(2) F, G分别为列满秩和行满秩矩阵，f(F =GG(1)=I，有AG1 F(1 A = FGgC Ff Fg = FIrIrG =fg = a,所以，G1F（1）WA1；G1 F(2 AgF(2)=g
27、 F(2FGG(Ff Lg，F(2Ff (2)=G0Ff),G1 FF)W A2;Ag( FOH =FGGCF(3)H =FfCT =FF(3)=FGGCF(3L AG(1F(3),所以，G1F(3kA3,综上，G1 Ffk Ai, (i =1,2,3卜(3)由(2)知，G( F % A1,2,3成立；由(1)知，G*fO A1,2,4。(4)由G下(卜A1,2,4知，6十口，3卜A1,2,4,又因为AG 卞 C3)H =tGG+Ff,3)H =FF3V =FF03)=FGG+fO3)= AG+F(1,3),即 G 乍(1,3N A3,所以，G+F(,3)e A1,2,3,4,又由 A1,2,
28、3,4的唯一性，a + =G*fC3)。同理可证明a+=g(,4F +o所以，a+=g+f(,3)=gF+。(5)由(4)式 a+=g+f3)=G4F+,又 g/g+f。3), G，+w GF +，由 A +的唯一性知a+=g+f+。由定理 2.7 之(4)知 G+ = Gh(GGh t F 十=(FhF )+Fh ,而矩阵GGH和FH F可逆，显然(GGHr=(GGh且(FHF=(FHF，所以，a+=g+=Gh(GGh r(FH F FFH =Gh(Fh AGh fFH o结 论我们对逆矩阵进行得到广义逆矩阵的概念，不同于非奇异矩阵的逆，广义逆矩阵 并不唯一，而且广义逆矩阵的种类也不唯一， 我们对广义逆矩阵进行分类定义， 主要 研究常见及常用广义逆矩阵，探讨广义逆矩阵的性质，从而对一般矩阵进行其各种广 义逆矩阵的求解，然后利用广义逆矩阵解线性方程组。