《指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)6625.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)6625.docx（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、WORD格式整理版L本章的结构图如下:学习好帮手一、指数的性质a0 =1 a = 0nmmn(2) a i：=a m,n Z（一）整数指数哥1 .整数指数哥概念：an = a a、：；a （n N ）n个an 1.a = -n a = 0,n N a2 .整数指数哥的运算性质：（1） am，an =am而（m,nw Z ）(3) (ab =an bn(nwZ )m . n m.nm -na1n n n a其中 aa=a a =a ,- =(ab )=a b =-.bbn3. a的n次方根的概念一般地，如果一个数的 n次方等于a （n 1, n e n * ），那么这个数叫做a的n次方根， 即：
2、若xn = a，则x叫做a的n次方根，（n 1, n e N ）例如：27的3次方根3/57 =3,27的3次方根V 27 =3,32的5次方根5/32 =2,32的5次方根5/132 = -2 .说明：若n是奇数，则a的n次方根记作 / ；若a a 0则n6 a 0 ,若a o则$二 0则a的正的n次方根记作 Va , a的负的n次方根，记作：Va;（例如：8的平方根土J8 = 2J2 16的4次方根4；16 =2）若n是偶数，且a 1, n 亡 N 冲）Vc = 0 ；n式子n/a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。(na) =a .4. a的n次方根的性质一般地，若n是奇数，则njan =
3、a；若n是偶数，则n：an = a =la a 一 .-a ab 河：略。例 2.已知 ab0, nA1,nwN”, 化简：V(a-b +V(a + b .解：当n是奇数时，原式=(a b)+(a+b) = 2a科奇数n为偶数当 n是偶数时，原式=|ab| + |a+b|=(ba)+(a b) = 2a所以,状ab )n+1(a+b )n =a-2a例 3.计算：77 + 40 + 0)3/012 = a4 = a3 (a a 0 )即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数哥的形式；如果哥的运算性质(2) (ak )n =akn对分数指数哥也适用，3,54m424例如：若a0,
4、贝U a3=a3=a2,a4=a4=a5,a2=a3a5= a5.k JI J即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数哥的形式。规定：(1)正数的正分数指数哥的意义是am (a0,m,ne N*,n1 )； m11(2)正数的负分数指数塞的意义是a-n =4= (a A0,m,nW N ,n1).m n m aa2,分数指数哥的运算性质：整数指数哥的运算性质对于分数指数哥也同样适用(1)aras =a(a0,r,sw Q)r s rs2 a = a a 0, r,s Qr r r3 ab = a b a 0,b 0, r 三 Q说明：（1）有理数指数哥的运算性质对无理数指数
5、哥同样适用；（2） 0的正分数指数哥等于 0, 0的负分数指数哥没意义。3.例题分析：例1.用分数指数哥的形式表示下列各式（a o ）：a2 ,后,解：a2 : a =a2a a =a1a22a33 32a a2=a11-3；5=a2a a2)3a23=a4例2 .计算下列各式的值（式中字母都是正数）f 2 1V(1) 2a3b2-6a2b31 5 )-3a6b卫；(2)13 8m4n 8 J1 1-6a2b3(2)13m4n 8、8 f 1 6 , =m4 i0, . x2+x20, 11所以 x2 x - -53311111111(2)(法一)x2+x 2 =( x2)3+(x2)3=(x
6、2+x 2)( x2)2x2x2+(x2)21 1=(x2 x 2)( x xJ) -1 -、5(3 -1) = 2 5 ,333333(法二)(x2) (x)j2 =(x2)2 (x)2 2xx =x3 x* 2而 x3 x3 = (x x/)(x2 x21)-(x x)(x xd)2 -3 -3 (32 -3) -18 33 (x2 +x2)2 =20 ,331又由 x+x =3 A0 得 x 0 , x2 +x 2 A0 ,33 _所以 x2 x =-；20 =2,5 .二、指数函数1 .指数函数定义：一般地，函数y=ax (20且2#1)叫做指数函数，其中 x是自变量，函数定义域是R
7、.2.指数函数y = ax在底数a 1及0a10 a 0,a #1) .1 _1解：(1) Q2x1#0，x#原函数的定义域是xxWR,x。,2 2人1 一 一 一令 t =则 t #0,tw R2x-11- y =8% w R,t *0)得 y 0, y =1 ,所以，原函数的值域是 yyA0,y01.，一、一 1x-，.、 一一(2) Q1(一)之0. x0原函数的定义域是此依，2人1 V令t =1 -(-)x (x 0)则 0t1 ,Q y = JT在 10,1 )是增函数 . 0 y 1 ,所以，原函数的值域是0,1).(3)原函数的定义域是 R,令 t= x 则 t0,Q y =3t
8、在(-0,0 是增函数，. 0 y 0,a#1)付 a =-，a1y -1一x 八y 1 八/Q a 0-0 ,1y1时，证明函数y=。a -1证明：由ax-1 #0得，x#0,故函数定义域XX0关于原点对称。-xf ( -x) = 工 a1 (a，1)ax-1(a，-1)axn7 一(x)f (-X)= - f (x)所以，函数y = TEW-1函数。例3.设a是实数,f(x) = a-2X 1”R)，2x i变形得:解得：a所以，当ac 2 2x22a 二(21) 2x 2x 1二1，=1时，f(x)为奇函数。2(2x 1)x21(1)试证明：对于任意 a, f (x)在R为增函数;(2)
9、试确定a的值，使f(x)为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生 注意不同题型的解答方法。(1)证明：设为，x2 w R, x1 x2，则22f(x1)T(x2) -(a)-(a -)22% 一 12x2 1222x212x112(2x1 -2九)(2x11)(2x2 1)由于指数函数y =2x在R上是增函数，且 ex?,所以2x1 2x2即2x1 -2、2 0 ,得 2x1 4tA0 , 22*0,所以，f(x,) -f(x2) 0 即 f(x1) 0Ha1）的b次哥等于N,就是ab=N ,那么数b 叫做a为底N的对数，记作iogaN=b,
10、a叫做对数的底数，N叫做真数。即 ab = N , loga N = baNb指数式ab =N底数哥指数对数式log a N =b对数的底数真数对数说明：1. 0在指数式中哥 N 0 , .在对数式中，真数 N 0.（负数与零没有对数）2. 0 对任意 a0且 a=1,都有 a0 =1，loga1=0,同样：logaa=1.3.如果把ab =N中的b写成loga N ,则有2.对数式与指数式的互换例如：42 =16log416=2142 = 2 log 4 2 =2例1.将下列指数式写成对数式：102 -10010g10 100 =210/-0.0110g100.01 23(4) log 1
11、5.37 = m .3写成 lne.（1）54 =25;（2） 2下=工；（3）3a =27；（4）64解：（1） logs625 =4；啕？工=_6； （3）log3 27 = a；643.介绍两种特殊的对数：常用对数：以10作底log10 N 写成lg N自然对数：以 e作底为无理数，e = 2.71828，loge N例2.(1)计算：10g927, 10g潺625.解：设 x = log9 27 贝U ax=27,32x= 33,3x = 2；令 x = log3K 625x 54= 625,4x53= 54, x=5.2 10gl2x2 小 3x2+2x-1) = L3解：x =37
12、 3x2 2x -1 = 2x2 -1= x2 2x = 0= x = 0,x =-22x2-10但必须：2x21#1,，x = 0舍去，从而x=-2.3x2 +2x-1 03(3)求底数：10gx 3 = -一5353解： x-5 =3=(3-3)飞77 j 8冶 10gx 2 = 7 .85. x = 3 3 ；x = 2. x8=2 = 27,4.对数的运算性质：如果 a 0 , a手1 , M 0 , N 0 , 那么(1) log a (MN ) =loga M +lOgaN ；脸鲁阻M -lOga N ； N(3) logaMn = nlogaM (nW R).例3.计算:7lg
13、243lg 27 lg8-3lg ,10(1) lg14 _21g _+lg 7 _lg 18 ；(2) ；(3) .3lg9lg1.2解：(1)解法一：lg14 2lg7+lg7 lg183 一一一一 2 一= lg(2 7) -2(lg7-lg3) lg7-lg(3 2)= lg2+lg7 -2lg7 +2lg3 +lg7 -2lg3 -lg 2 = 0 ；解法二：lg14_2lgglg7g187 2= lg14lg(3) lg7-lg18,14 7-=lg -= lg1 = 0 ;(7)2 183“、lg243 lg355lg3 5(3)a / 1 ； m a 0,m =1)xlogma
14、 = logm N ,从而得:logm N x 二log malog a N10g m Nlog malg9lg3lg bn n lg b n ,/=m=mlogab.(1)5140g0.23；(2)10g4 3 10g9 2 +log24/32 .2lg3 2说明：两个较为常用的推论:(abA0且均不为1).(1) logabxlogba=1 ；证明：(1) log a b logb a logambn = log a b mlgb lg a一 ,lga lg b(2)例4.计算:log am bn, 一 .5解：原式=10g53=1 =15 ；3115(2) 原式 -log 2 3 1 l
15、og 32+ log 2 2224例 5.已知 10gl8 9 = a18b =5,求 10g3645 (用 a, b 表示).解：1og18 9 = a ,181og18 =1 log 182 = a ，21og18 2 =1 a ,又 18b =5 , 1- 1og18 5 =b , log 36 45 =1og18 4510g18 36logi8 9 logi8 5例6.设3x =4y =6z =t . 1110g18 2,、1,求证：z证明：.3x =4y = 6z =t . 1lgtlgtx =一, y =一,1g31g4111g6 lg 3lgt1g61g21g4a b2a12y例
16、7.若2yz x 1g t 1g t 1g t 21gt 1og8 3 = p, 1og3 5 = q ,求 1g5.解：1og83= p , 1og2 3=3p= 1g3=3p1g2 =3p(11g5),1g5又10g 3 5 =q ,1g31g5 =q1g3=3pq(11g5), (1 3pq) 1g5 =3pq四、对数函数1 .对数函数的定义：函数 y = log a x （a 0且a丰1）叫做对数函数。2 .对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数y =1oga x （a 0且a #1）的定义域为（0,）,值域为（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相
17、应的指数函数图象作关于 y = x的对称图形，即可获得。同样：也分a 1与0 a 0得 x#0,，函数y = log a x2的定义域是xx#0；(2)由 4x0 得 x4, 函数y = log a (4x)的定义域是xx4；(3)由 9- -x2 A0得-3 x3,函数 y =loga(9 x2)的定义域是 k3x3.例2.比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4 , 10g 28.5；(2) log 0.3I.8 , 10g0.3 2.7 ;(3) log a5.1，loga 5.9 .解：(1)对数函数y=log2x在(0,+望)上是增函数，于是 log 2 3.4 log 0
18、.3 2.7 ；(3)当a1时，对数函数y=logax在(0,)上是增函数，于是 loga 5.1 log a 5.9 ,当oa log a 5.9 例3.比较下列比较下列各组数中两个值的大小：(1) log 6 7 , 10g76; 10g 3兀，10g2 0.8；0.9 1.1, 1og1.10.9, log0.70.8；(4) 10g53, 1og63, 1og73.解：(1) log6 7 log66=1 , logy6log76 ；(2) . log3n log31 =0 ,log 2 0.8 clog 21 = 0 , log 3 n log 2 0.8 .(3) 1.10.9 1
19、.10 =1 ,log1.10.9 Mlog1.11 =0 ,0 = log 0.7 1 log0.7 0.8 log 1.10.9 .(4) 0 log 35 log 3 6 10g6 3 log 73 .例4.已知10gm4logn4,比较m, n的大小。_.11解：. logm4logn4, 1, n1 时，得 0c,log 4 m log4 n1 log 4 n n 1.一 .一 .,11当 0 cm 1, 0n1 时，得0 ,log 4 mlog4 n log 4 n log 4 m , - 0 n m 1 .当 0 m 1 时，得 10g 4 m 0, 0 log4 n , .0m
20、1 ,，0m1n1或0nm1或0m10 且 a#1).解：(1)令 t = x +3 ,则 y =log2t,. t 0, y w R ,即函数值域为R.(2)令 t =3-x2,则 0ct E3,y 3,当a1时，y loga 3,即值域为log a 3,也)，当 0a x恒成立,故f(x)的定义域为(-0,),f (-x) = log2( x2 1 x)=-log2.x2 1 -x二-log2 -=(,x2 1)2-x2=-log2 Jx2 +1 -x = _f (x), 所以，f(x)为奇函数。例7.求函数y =210gl (x2 3x + 2)的单调区间。3一1 93 913 -3斛：令u =x 3x+2=（x） -在,+）上递增，在（*, 上递减，24222又 x -3x +2 0 ,x2或 x 0 ,a 一1 - .32_g(1-3) -0所以，a的取值范围为2 -2/3, 2.3(2)求 x 的值： 10g3x=-一；4lg . 27 1g8 -3lg 10 lg(33)2 lg 23 -3lg102 (lg3 2lg 2-1)=2lg1.2l 3 2lg3 2lg 2-1g 105 .换底公式：logaN =N ( a 0 , log ma证明：设 loga N = x，则 ax = N ,两边取以m为底的对数得：logmax =logm N ,