高中数学空间向量与立体几何.docx

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1、专题四：立体几何第三讲空间向量与立体几何【最新考纲透析】1 .空间向量及其运算(1) 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。2 .空间向量的应用0(1)理解直线的方向向量与平面的法向量。(2)能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)。(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在 研究立体几

2、何问题中的应用。【核心要点突破】要点考向1:利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1.平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判 断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。2.题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。考向链接：1.空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的 空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。2.空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是 利用空间向量来论证。EF /例1： (2010 安徽高考理科 T 18)如图，在多面体 ABCDEF中，四边形AB

3、CD是正方形,AB, EF FB , AB 2EF , BFC 90, BF FC , H 为 BC 的中点。(1) 求证：FH /平面EDB ;(2)求证：AC 平面EDB ；(3)求二面角B DE C的大小。面角的求解的问题，考查【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、第1页共22页了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。【规范解答】Q四边形ABCD为正方形,ABBC,又QEF FB,EFAB, AB FB,且BC I FB BAB 又BF 且AB IFH平面FBC, AB FC,H为BC中点,BC B,

4、 平面ABC.FH ,FHBC,如图,以H为坐标原点，分别以uur uuir uur,、, HB、GH、HF的万向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系,令BH 1,则A(1, 2,0), B(1,0,0), C( 1,0,0), D( 1,设Ad BD勺交点为G,连接GE GH,则G (0,-1,0uururuuururGE (0,0,1),F2,0), E(0, 1,1),F(0,0,1).又 QHF (0,0,1), GE/HFGE 平面 EDB,HF 平面 EDB, HF /平面 EDBuuururuur(2) Q AC ( 2,2,0), GE (0,0,1), ACuugGE 0,

5、ACGE又AC BD,且G日BD=G AC 平面 EBD.设平面uuuBDE勺法向量为uuruun1(1,4),Q BE (1, 1,1),BD(2, 2,0).uuuuu-BECP1 uuur uu BDCP1 uu 1 (1,0,即01,0)y1 z10，得 y1, Z1 0,2y10设平面CDE勺法向量为uun2uuirQ CD (0, uur ur CD cn2 uuu uu CEguuu2,0), CE(1,y2, Z2),(1,1,1).urn2cosur0,即0(1,0,-1)ir uun1，n2uuury2y2uu|nl|n2 |n1,n260o，即二面角Z2，得 y20, Z

6、21,0112 .22,B-DE-C 为 60。【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行;2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直;第2页共22页3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问 题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。要点考向2:利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦：1.线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。2.在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。考向链接：1.

7、利用空间向量求两异面直线所成的角，直线与平面所成的角的方法及公式为 ：(1)异面直线所成角也 设分别为异面直线。的方向向量，则(2)线面角伏阪90)7rE 田 mEdi设n是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则口 1T2.运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：(1)建立恰当的空间直角坐标。(2)求出相关.点的坐标。(3)写出向量坐标。(4)结合公式进行论证、计算。(5)转化为几何结论。例2: (2010 辽宁高考理科 T 19)已知三棱锥 PABC中，PAL ABC AB AC, PA=AC=1 AB, N为2AB上一点，AB=4AN,M,S分别一为PB,BC的中点.(I )证明：CML

8、 SN;入(n)求SN与平面CMN/f成角白大小./： 第5页共22页8【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考 生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标,uuuu uuu(I) 计算CM、SN的数量积，写出答案;(II ) 求平面CMN勺法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。【规范解答】 设PA= 1,以A为原点，射线 AB AG AP分另1J为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。则 P(0,0,1) , C(0,1,0) , B(2,0,0) , M(1,0, -), N(

9、1,0,0) , S(1, 1,0)222UJUU 1 uuu 11CM (1, 1,2),SN ( -, -,0),ujulju uur 1 1因为 CMgSN 1 1 0 0所以CMSNULUT1(II) NC ( 2,1,0), T设a (x, y, z)为平面CMN的一个法向量,x y则1 x2T2,得a因为|cosT UUUa SN-1-12_3 2(2,1, 2),22所SN与平面CMN所成的角为45o【方法技巧】(1)空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。(2)求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。(3)线面角的范围是090 ,因此直线的方向向量与平面

10、法向量的夹角的余弦是非负的,要取绝对值。要点考向3:利用空间向量求二面角考情聚焦：1.二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。2.常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。 ft t其计算公式为：设 m，孔分别为平面口，日的法向量，则 与 如 门:互补或相等，II * Ijn * 11I cOsfl I = I 2吞(m* n) I = I ml I id例3: (2010 天津高考理科 T 19)如图，在长方体 ABCD

11、 ABC1D1中，E、F分别是版BC, CC1上的点，CF AB 2CE, AB: AD:AAi 1:2:4(1) 求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； 证明AF 平面 AED(3) 求二面角 A ED F的正弦值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量 解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。【规范解答】 方法一：以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为丫轴建立空间直角坐标系 (如3图所示)，设 AB 1,依题意得 D(0,2,0) , F(1,2,1

12、), A(0,0, 4) , E 1,3,02uuur uuuuuur 1uuiuiuuur uuuu EFcAD 3(1) 易得 EF 0,-,1 , AD (0,2, 4),于是 cos(EF,AD;uurUuu一2 E EF，AD 53所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为-。5uuuruuur3 uur 1(2)证明：已知 AF (1,2,1), EA11, -,4 , ED 1,-,022uuruuiruuuruuur于是 AF EA=0, AF ED =0.因此，AFEA1, AF ED ,又 EA1ED E所以AF 平面A1EDrr uurly z 0解：设平面EFD的法向量u

13、 (x, y,z),则ugEFr 0,即2 ugED 01ugx - y 02不妨令X=1，可得u (1,2 1)。由(2)可知，AF为平面A1ED的一个法向量。于是cos,53= u AF =2 ,从而 sin： u，AF)=u|AF| 3所以二面角A1-ED-F的正弦值为要点考向4:利用空间向量解决探索性问题考情聚焦：立体几何中已知结论寻求结论成立的条件(或是否存在问题) ，能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，是今后考查的重点，也能很好地体现新课标高考的特点。例4:(2010 福建高考理科 T 18)如图，圆柱OO内有一个三棱柱三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 AB是圆。的

14、直径。(I)证明：平面 AACC 平面BBCC;(II )设AB= AA,在圆柱OO内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-ABC内的概率为 p。(i )当点C在圆周上运动时，求 p的最大值；(ii )记平面AACC与平面BOC/f成的角为(0900)。当p取最大值时，求 cos的值。【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化 思想、必然与或然思想。a b a,b ,有cos a,b a b ,利用这一结论，我们可以较|a|b|【思路点拨】第一步先由线线

15、垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到面面垂直；第二步首先求出长方体的 体积，并求解三棱柱的体积的最大值，利用体积比计算出几何概率。立体几何中我们可以利用向量处理角 度问题，立体几何中涉及的角：有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于角的计算， 均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量方便地处理立体几何中的角的问题。第15页共22页【规范解答】(I ) Q AA 平面ABC ,BC 平面ABC ,AA BC ,又AB是e O的直径,BC AB,又 AC AAA,BC平面A ACC，而BC 平面B1BCC1 ,所以平面A| ACC1平面 B1BCC1 ;(II ) (i )设圆柱的底面半

16、径为ABAA 2r ,故圆柱的体积为 V r2 2r 2 r3,设三棱柱ABC-ABC,的体积为V1，所以P所以当Vi取得最大值时P取得最大值。又因为点 C在圆周上运动,所以当OC AB时， ABC的面积最大,进而，三棱柱 ABC-ABC,的体积最大，且其最大值为(ii )由(i )知,12r r 2r 2r2P取最大值时，OC间直角坐标系OA1ACC1unrBCP的最大值为AB,于是，以O为坐标原点，建立空xyz,则 C r,0,0 ,B0,r,0 ,B1 0,r,2r ,QBC 平面r, r,0是平面AACCi的一个法向量，设平面BOC的法r向量为nx, y,zruuurn OC ,由于

17、r uuur n OB1rx 0ry 2rz 0r所以平面B1OC的一个法向量为n 0,2,1 , Q 00900,cosr uuin cos n, BC10O5II ) (i )也可以采用向量法进【方法技巧】立体几何中我们可以利用空间向量处理常见的问题，本题的(行证明：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz ,设圆柱的底面半径为 r , C r cos , r sin ,0 ,则AB AA 2r ,故圆柱的体积为 Vr2 2r2 r3,设三棱柱ABC-ABC,的体积为V1，所以P V1 ,2r r cosr2 cos ,所以当cos 1时的ABC的1所以当V1取得最大值时P取得最大值。

18、S ABC 一 2面积最大，进而，三棱柱ABC-ABiCi,的体积V1最大,且其最大值为13 , 一 .1-2r r 2r 2r3,故P的最大值为一；2【高考真题探究】1. (2010 广东高考理科 T 1 0)若向量 a=(l,l,x ), b =(1,2,1),c 二(1,1,1),满足条件(c a) (2b)=-2,【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算r r【思路点拨】 先算出c a、r2b ,再由向量的数量积列出方程，从而求出x.r r【规范解答】c a (0,0,1x) , 2b (2,4,2),由(c a) (2b)2得(0,0,1 x) (2, 4,2)2,即

19、 2(1 x) 2,解得 x 2.【答案】22. (2010 浙江高考理科 T 20)如图， 在矩形ABCD中，点E, F分别在线段2.AB,AD上，AE EB AF FD 4 .沿直线EF将 VAEF翻折成VAEF ,使平面 3AEF 平面 BEF.(I)求一面角 A FD C的余弦值；(n)点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线 MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长。【命题立意】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方

20、法二利用几何法解决求二面角问题和翻折问题。【规范解答】方法一：(I)取线段EF的中点H,连结AH ,因 _ 为A E = A F及H是EF的中点，所以A HEF,又因为平面A EF平面BEF.如图建立空间直角坐标系A-xyz ,则A (2, 2, 2，2), C (10, 8,0), F (4, 0, 0), D (10, 0-0).故 FA= (-2, 2, 2&),FD=(6, 0, 0).设n=(x,y,z )为平面A FD的一个法向量，所P. 2x 2y 2,2z 0以o6x 0取z v2,则n (o, 2J2) or r又平面BEF的一个法向量mm (0,0,1),故cos h/n

21、用 ngm所以二面角的余弦值为血3(n)设 FM x, BN a,则 M(4 x,0,0) , N(a,8,0),.因为翻折后，C与A重合，所以CM AM, CN AN,2,得 x 21, a 土44二 (6 x)2 82 02= ( 2 x2 22故，(10 a)2(2 a)2 62 (2 J2)23. （2010 陕西高考理科 T 1 8）如图，在四棱锥P ABCDK 底面 ABCO矩形 P4平面 ABCDAF=AB=ZBG2J2, E, F分别是ADPC的中点.（I）证明：PCL平面BEE（n）求平面 BEF与平面BAP角的大小。【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二

22、面角的求解问题, 考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧。【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用 几何法求解.【规范解答】解法一 （I）如图，以A为坐标原点，AB, AQ AP所在的直线分 别为x, y, z轴建立空间直角坐标系.AP=AB=2 BC=2j2 ,四边形 ABC况矩 形.A, B, C, D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2叵0) , D(0, 2J2, 0), P(0,0,2)又 E, F 分别是 AD, PC 的中点，E(0, J2, 0),F(1 , J2, 1).uuu

23、uuin_ uuinPC= (2, 2反-2) BF= (-1 , 收 1) EF = (1,0,1),uuiu uuurPC - BF =-2+4-2=0 ,uuiu uurPC - EF =2+0-2=0 ,uuu uuur uuiu uurPC BF , PC EF , . - PCX BF,PC EF, BF I EF F ,，Pd平面 BEF(II )由（I ） 知平面BEF的法向量ur uuur _小 PC (2,2V2, 2),平面 BAP的法向量iu uuirn2 AD(0,2、2,0),ur uun8,设平面BEF与平面BAP的夹角为 ，则cosur uu,ur ua.j口哭

24、cos/,)ur uun28_24 2.22450 , 平面BEF与平面BAP的夹角为4504. （2010 重庆高考文科 T 20）如题图，四棱锥 P ABCD中,底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD , PA AB J2 ,点E是棱PB的中点.（I）证明：AE 平面PBC；（II ）若AD 1,求二面角B EC D的平面角的余弦值.【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，考查余弦定理及其应用，考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合的思想，考查化归与转化的思想【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面

25、垂直，（II ）作出二面角的平面角，再利用三角函数、余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函 数值.【规范解答】（I ）以A为坐标原点，射线AB, AD, AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A xyz.如图所示.设设D(0,a,0),则B( .2,0,0)C (/2,a,0)P (0,0, *，PC (凡,衣,uuu 则AEuuuAEuurBCuuu uur uuu 所以 AE BC, AEuuuPC,故 AEuuu uuu0,AE PC0,uuuBC (0, a,0),ur（II ）设平面BEC的法向量为八，由（I）知,

26、AE平面BEC ,故可取uun1EA(乌.设22平面urdec的法向量n2uu uuu(x2, y2,z2)，则 n2 DCur0,n2uuu DFuuur由AD1,得 D(0,1,0),GV2,1,0),从而dc (72,0,0)uur 2DE 7, 2,故X2_22X2y2,22 z2,所以 x2 0,马 J2y2, 0可取uu -ur uuy 1,则 n2(01 ,，2), 从而 cos n1, n2ur uuuuguuuuunJ展【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解;（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题5. (2010 江西高考文科 T 2 0 )BMCD如图，BCD与

27、MCD都是边长为2的正三角形, 平面MCD 平面BCD, AB 平面BCD , AB 2p.(1)求直线AM与平面BCD所成的角的大小；(2)求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值.【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及 平行关系，考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题，考查空 间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理 论证能力、划归转化能力和运算求解能力。【思路点拨】本题主要有两种方法，法一：几何法(1)直接找出线面角，然后求解；(2)对二面角的求法思路，一般是分三步“作”，“证”，“求”.其中“作”是关键，“证”是难点.法二：建

28、立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解【规范解答】取CD中点Q连OB OM则OBL CD OM_CD又平面MCD 平面BCD ,则MOL平面BCD.以O为原点，直线 OC BO OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标 系如图.OBOM=73,则各点坐标分别为 O(0, 0, 0), C (1, 0, 0), M (0, 0, B, B (0,-73, 0), A (0,-瓦 2布),(1)设直线AM与平面BCM成的角为 .uuur_r因AM (0,百， J3),平面BCD的法向量为n (0,0,1).则有sinuuuu CMuuur r cos； AM , n(1,0,6)，ur设平面

29、ACM勺法向量为r解得x 3zy z,取uuuu rAM nuuuuAMuurCA (1,(x,y,z),ur r贝U cos n1, nir rn1 ntT-r-nin.322.,62.3,2.3).所以LTuuuun1 CM由 u uur得n1 CArr(J3,1,1).又平面设所求二面角为45o.3z, 3 yrBCD勺法向量为n(0,0,1)，6. (2010 四川高考理科 T 18)已知正方体 ABCD A BC D的棱长为1,点M是棱AA的中点，点。是对角线BD的中点.（I）求证：OM为异面直线 AA和BD的公垂线；（n）求二面角M BC B的大小；（出）求三棱锥M OBC的体积.

30、【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决 数学问题的能力，转化与化归的数学思想.【思路点拨】方法一：几何法 问题（I）,分别证明OM AA , OM BD即可.问题（II ）首先利用三垂线定理，作出二面角 M BC B的平面角， 然后通过平面角所在的直角三角 形，求出平面角的一个三角函数值，便可解决问题问题（出）选择便于计算的底面和高，观察图形可知，OBC和 OAD都在平面 BCD A内，且S OBC S OAD ,故Vm OBC Vm OAD Vo MAD ,利用二棱锥的体积公式很快求出 V

31、o MAD .方法二：建立一空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解 【规范解答】（方法一）：（I）连结AC .取AC的中点K ,则K为BD的中点，连结 OK .点M是棱AA的中点，点。是BD的中点，2二 由 AA AK ,得 OM AA . AK BD, AK BB , . AK 平面 BDD B . . . AK BD . . . OM BD .又二 OM与异面直线 AA和BD都相交， 故OM为异面直线 AA和BD的公垂线，（II ）取BB的中点N ,连结MN ,则MN 平面BCC B ,过点过点N作NH BC于H ,连结MH ,则由三垂线定理得，BC MH .MHN为二面角M BC B

32、的平面角.、选择题（每小题6分，共36分）第19页共22页MN 1,NHBN sin 45o1.22224在 Rt MNH 中.tan MHNMNNH12 2故二面角M BC B的大小为arctan 2J2.24（III ）易知，S OBC S OAD，且 OBC和 OAD都在平面 BCD A内，点O到平面MAD的距离1.1h , , , Vm obc Vm oadVo ma d - S ma d h2324（方法二）：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz,则 A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0) , A(1,0,1), C (0,1,1)，D (0,0

33、,1)(I)点M是棱AA的中点，点。是BD的中点,uuirAAuuiuOM1M(1,0,2)1 1 1。(252)uuuuOM(22,0)(0,0,1)，uuu BD(1,1,1).unr AAuuuuOMuuur BD0 0, OMAA , OM又二 MO与异面直线AA和BD都相交,I1M故MO为异面直线(II）设平面BMCAA和BD的公垂线，ur的一个法向量为 r （x, y, z）uuuu BM1(0,1,2)UlULBC ( 1,0,1).LT ni LTniuuu BM uuu BC0,即0.1 z 0, 2z 0.z 2,2,it1. n1(2,1,2).取平面BCB的一个法向量u

34、r02(0,1,0).cosur uuni,n2irurM-n n21、9 11，由图可知，二面角 M BC B3的平面角为锐角,故二面角MBC B的大小为1 arccos -.(III )易知,S OBC1s,SI边形 BCD A41.22,设平面4OBC的一个法向量为uu% （%,丫1,乙），uuuiuuuBD1 ( 1, 1,1), BC (1,0,0),uun3uuuuu BD1 uujr BC0,即0.X1y z1 0.0,ur03(0,1,1).点M到平面OBC的距离duuuu uuBM n3 一urn32.2 .VM OBC2 2 24.【跟踪模拟训练】1 .已知点A （-3,1

35、,-4 ）,则点A关于x轴的对称点的坐标为（） (A) (-3,-1,4 ) (B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)2 .在正三棱柱 ABC-A1B1c1中，D是AC的中点，A%，Bq ,则平面DBq与平面CBq所成的角为（）(A)30(B)45(C)60(D)9023.设动直线x a与函数f(x) 2sin (4x）和g（x） J3cos2x的图象分别交于M、N两点，则|MN |的最大值为（J3设 A(3,2)B(2, 3)沿y轴把坐标平面折成120o的二面角后，AB的长为（）4.在直角坐标系中,B.A.提C.D.5.矩形 ABCD 中，AB=4BC=3 ,沿

36、AC将矩形ABCD折成一个直二面角B - AC - D ,则四面体ABCD的外接球的体积为（）125A.而B.1259C.1256125D.6.如图：在平行六面体ABCD ABCD中，M为AC1与B1D1的交点。若ABa AD b AAi c则下列向量中与 BM相等的向量是（1a 1b(A) 221 , a(B) 2c(C)1 ,1 ;a b c(D) 22、填空题（每小题 6分，共18分）7 . OX , OY , OZ是空间交于同一点 。的互相垂直的三条直线，点 P到这三条直线的距离分别为710,a,b,则 OP 用，则 a2 b28 .平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2

37、 , AA1=2 , AD=1 ,且 AB、AD、AA1两两之间夹角均为 600,则AC1?BD19 .将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，有下列四个结论:（1）AC BD； （2） ACD是等边三角形；（3）AB与平面BCD成60。；（4） AB与CD所成的角为60.其中正确结论的序号为 （填上所有正确结论的序号）.三、解答题（共46分）10 .如图，在,四棱锥P-ABCD中，底面是边长为 2的菱形，Z BAD=60 ,对角线AC与BD相交于点O,PO v3,E、F分别是BC、AP的中点.（1）求证：EF/平面PCD;（2）求二面角 A BP D的余弦值.B ACD组成，如图所示，其

38、中，AB BC .它的11.某组合体由直三棱柱 ABC人出1。1与正三棱锥（1）求直线CAi与平面ACD所成角的正弦;2V2 +1,第23页共22页（2）在线段AC1上是否存在点P,使B1P 平面ACD ,若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.12.如图，三棱柱ABC AB1ci中，AA面ABC,BC AC, BC AC 2 , AAi 3 d 为 AC 的中点。（I）求证：ABi 面 BDCi；（n）求二面角C1BD C的余弦值参考答案1 .【解析】选A. .一点A关于x轴对称点的规律是在 x轴上的坐标不变，在 y轴，z轴上的坐标分别变为相反数，点A （-3, 1, -4）关于x轴的对

39、称点的坐标为（-3,-1,4 ）2 .【解析】选B.以A为坐标原点，AG AA1分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系.设底面边长为2a.侧棱长为2b.C2协.Bi（应知如2b）.由A6_LBC；.押AB：即2酎二工*分别I再出平面DBG与平面CBG的一个法向量3 fa利用公式CQ护?阴片田.由 n3 . D 4, D 5. C 6. A 7. 648. 39. (1) (2) (4)1.- AD10.解：（1）证明：取 PD的中点G,连接FG、CG FG是 PAD的中卫县，FG= 2,在菱形ABCD中，ADBC,又E为BC的中点，c/fG, 四边形EFGC是平行四边形,第16页共22页 EF I

40、I CG又 EF 面 PCD, CG 面 PCD, EF/面 PCD(2)法1:以。为原点，OB, OC, OP所在直线分别为x、y、z轴建立如 图所示的空间直角坐标系。则 0 (0,0,0),A(0,*3,0),B (1,0,0) P (0, 0,出)aB=(i,6，)aP=(, 6, V3)设面ABP的发向量为n (x, y, z),则n AB 0 x .3y 0 x . 3yn AP 0 即-y3y 6z 0即 z y取 n (3, 1,1) 又 OA OP 0, OA OB 0, . OAL面 PBD, . OA 为面 PBD 的发向量,v3 , 0)n OA .3 也.51n 110

41、Al v5 335 .所以所求二面角的余弦值为5ABCD 中，ACXBD ,.A= (0,cos n,OA法2 :在菱形OPXM ABCD , AC面 ABCD ,AC LOP, OP BD=0,，AC，面 PBD , AC BP,在面PBD中，过 O作ON，PB,连 AN ,PBW AON ,贝U AN PBo即/ANO为所求二面角的平面角AO=ABcos30 =百在 RtAPOB 中,OP OB 1322-15ONANOA1 2 ON2BP 2 .2cos/ANOONAN.32 吏、1552o所以所求二面角的余弦值为11 【解析】解：（1）设BABCBDa, BB1 b12ab - a由条件2以点B为原点，分别以BC、BB1、BA为通、y轴、却建立空间直角坐标系，则A(0,0, .2), C(, 2,0,0), D(0, ,2,0), Bi(0,2,0),Ci(.2,2,0), Ai(0,2, .2)Q ACD的重心 G ,333umr_ r uuur又CAi ( V2,2,V2)M!Jcosa,CAi)a BG=,为平面ACD的法向量.3332 2_3 _62 2年63所求角的正弦值为二66uuu uuuu _