九年级四边形基础讲解.docx

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1、九年级四边形基础讲解一.解答题(共30小题)1 .如图， ABC与 CDE都是等边三角形，点 E、F分别为AC、BC的中点.(1)求证：四边形 EFCD是菱形；(2)如果AB=8，求D、F两点间的距离.2 .在 ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在 AD及其延长线上， CE / BF ,连接BE、 CF.(1)求证： BDFA CDE ;(2)若DE=,BC,试判断四边形 BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论.3 .如图1,正方形 ABCD中，E为BC上一点，过 B作BGXAE于G,延长BG至点F使 / CFB=45 (1)求证：AG=FG ;(2)如图2延长FC、AE交于点 M ,连接

2、DF、BM ,若C为FM中点，BM=10，求FD的4 .如图，四边形 ABCD是正方形，点 E, F分别在BC, AB上，点M在BA的延长线上， 且CE=BF=AM ,过点 M , E分别作 NM DM , NE DE交于N ,连接 NF.第5页(共28页)(1)求证：DEDM ;(2)猜想并写出四边形 CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想.5 .如图，点 E、F分另1J是？ABCD的边BC、AD上的点，且 BE=DF .(1)试判断四边形 AECF的形状；(2)若AE=BE , / BAC=90 ,求证：四边形 AECF是菱形.6 .已知：如图，AE II BF , AC平分/ BAD

3、 ,交BF于点C, BD平分/ ABC，交AE于点D, 连接CD.求证：四边形 ABCD是菱形.7 .如图，菱形 ABCD的对角线AC、BC相交于点 O, BE / AC , CE / DB.求证：四边形OBEC是矩形.E8 .如图，将?ABCD的边BA延长到点E,使AE=AB ,连接EC,交AD于点F,连接AC、 ED.(1)求证：四边形 ACDE是平行四边形；(2)若/ AFC=2 ZB,求证：四边形 ACDE是矩形.9 .已知：矩形 ABCD中，对角线 AC与BD交于点O, CE平分/ BCD ,交AB于点E, /OCE=15,求/ BEO 的度数.10.如图，四边形ABCD是正方形，4

4、ECF是等腰直角三角形,其中 CE=CF , BC=5 , CF=3,BF=4 ,求证：DE / FC.11 .已知：如图， ABC中，/ BAC的平分线交 BC于点D, E是AB上一点，且 AE=AC , EF/ BC交AD于点F,求证：四边形 CDEF是菱形.12 .如图，已知？ABCD的对角线 AC、BD交于O,且/ 1 = 72.(1)求证：?ABCD是菱形；(2) F 为 AD 上一点，连结 BF 交 AC 于 E,且 AE=AF ,求证：AO=y (AF+AB ).13 .如图，矩形 ABCD中，AC与BD交于点O, BEXAC, CFXBD ,垂足分别为 E, F. 求证：BE=

5、CF.14 .如图，在4ABC中，AB=AC ,将 ABC绕点A逆时针旋车t得到 ADE ,连接BD、CE、 BD、CE相交于点F,且/ ADB= / BAC.求证：四边形 ABFE为菱形.15 .如图，AB是CD的垂直平分线，交 CD于点M,过点 M作MELA C, MF LAD ,垂 足分另为E、F.(1)求证：/ CAB= / DAB ;(2)若/ CAD=90 ,求证：四边形 AEMF是正方形.(2)若BDXEF,则判断四边形 EBFD17.如图，在 ABC 中，/ ACB=90G,求证：四边形CEGF是菱形.18.如图，已知菱形 ABCD , AB=ACE、F分别是BC、AD的中点，

6、连接 AE、CF.16 .如图，在？ABCD中，BE平分/ ABC交AD于点E, DF平分/ ADC交BC于点F. (1)求证： ABEA CDF;是什么特殊四边形，请证明你的结论.,CDXAB , AE 平分/ BAC 交 CD 于 F, EG, AB 于(1)填空：/ B=(2)求证：四边形 AECF是矩形.19 .如图，在？ABCD中，EF垂直平分 AC交BC于E,交AD于F.(1)求证：四边形 AECF为菱形；(2)若 ACXCD, AB=6 , BC=10 ,求四边形 AECF 的面积.20 .如图，BD为矩形ABCD的对角线，/ ADB , / DBC的平分线分别交于 AB , C

7、D于E, F点.(1)求证：四边形 DEBF为平行四边形；(2)连接EF,若EFXBD ,且AD=6 ,求菱形 DEBF的面积.21 .如图，矩形 ABCD ,过对角线 BD的中点O作BD的垂线交 AD于E,交BC于F,连 结 EB、 DF.(1)求证：四边形 DEBF是菱形；(2)若 AD=3, AB=i/3,求 AE 的长.A ED22 .如图，点 O是菱形ABCD的对角线交点，作 DE/AC, CE / BD , DE、CE相交于E, 求证：四边形OCED是矩形.23 .在矩形 ABCD中，AB=4cm , BC=8cm , E、F分别是AD、BC上两点，并且 AC垂直 平分EF,垂足为

8、O.(1)连接AF、CE.说明四边形 AFCE为菱形;(2)求AF的长.24 .如图.在 ABC 中，/ ACB=90 , CD LAB 于 D, AE 平分/ BAC ,分别于 BC、CD 交于E、F, EHAB于H.连接FH ,求证：四边形 CFHE是菱形.25 .如图，在?ABCD中，EF/BD,分别交BC, CD于点P, Q,交AB , AD的延长线于 点 E, F.已知 BE=BP.求证：(1) / E=/F;(2) ?ABCD是菱形.26 .在？ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接 AF、CE.连接AC,当CA=CB时, 判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论

9、.27 .如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G,E分别是边AB,BC的中点，Z AEF=90 , 且EF交正方形外角的平分线 CF于点F.(1)证明：/ BAE= / FEC;(2)求4AEF的面积.28 .探究：如图，分别以 ABC的两边AB和AC为边向外作正方形 ANMB和正方形ACDE ,NC、BE交于点P.求证：/ ANC= / ABE .应用：Q是线段BC的中点，若BC=6,则PQ= .第7页（共28页）29 .如图，平行四边形 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别交于E、F.问 四边形AFCE是菱形吗？请说明理由.30 .如图1,四边形ABCD是正方形，G是

10、CD边上的一个动点（点 G与C、D不重合）， 以CG为一边在正方形 ABCD外作正方形CEFG,连接BG , DE .我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系.（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断.九年级四边形基础讲解参考答案与试题解析一.解答题（共30小题）BC的1. （2016?费县一模）如图， ABC与4CDE都是等边三角形，点 E、F分别为AC、 中占

11、（1）求证：四边形 EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离.【解答】(1)证明：. ABC与4CDE都是等边三角形 .AB=AC=BC , ED=DC=EC点E、F分别为AC、BC的中点EF=J-AB , EC=J-AC , FC，BC222EF=EC=FC . EF=FC=ED=DC ,四边形EFCD是菱形.(2)解：连接DF,与EC相交于点G, 四边形EFCD是菱形 DFXEC,垂足为 G EF=XAB=4 , EF / AB2 ./ FEG= Z A=60 在 RtAEFG 中，/ EGF=90 DF=2FG=2 x 4sin/ FEC=8sin60 =473.E、F分

12、别在AD及其延长线上,2. （2016哦冈二模）在 ABC中，D是BC边的中点,CE / BF,连接 BE、CF.(1)求证： BDFA CDE ;(2)若DE=_BC,试判断四边形 BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论.第11页(共28页)【解答】(1)证明：: CE/ BF, CED= ZBFD,. D是BC边的中点，BD=DC ,在 BDF和4CDE中NBFX/CED，ZBDF=ZCDE, tBD=DC . BDFCDE (AAS );(2)四边形BFCE是矩形， 证明：. BDFCDE, .DE=DF , BD=DC ,四边形BFCE是平行四边形, BD=CD , DE=BC,2BD

13、=DC=DE , ./ BEC=90 , 平行四边形 BFCE是矩形.3. (2016?重庆模拟)如图 1,正方形 ABCD中，E为BC上一点，过 B作BGLAE于G, 延长BG至点F使/ CFB=45 (1)求证：AG=FG ;(2)如图2延长FC、AE交于点 M ,连接DF、BM ,若C为FM中点，BM=10，求FD的【解答】(1)证明：过C点作CHLBF于H点， / CFB=45 .CH=HF , / ABG +/ BAG=90 , / FBE+Z ABG=90 / BAG= / FBE ,. AG BF, CHXBF, ./ AGB= / BHC=90 , 在 AGB和 BHC中， /

14、 AGB= / BHC , / BAG= / HBC , AB=BC , AGBA BHC ,.AG=BH , BG=CH , . BH=BG +GH ,.BH=HF +GH=FG , .AG=FG ;(2)解：.CHXGF, .CH / GM , . C为FM的中点，.ch=Lgm ,2.BG=GM ,2 . BM=10 ,BG=2GM=4 ，AG=4、，AB=10 , .HF=2 n, CF=2 V5x V1=2VT5, CM=2 , i, 过B点作BK，CM于K, ，CK= CM=CF=i,22BK=3 .i,过D作DQ，MF交MF延长线于Q, . BKCA CQD .CQ=BK=3 ,

15、 Il,DQ=CK= . i,.QF=3 In-2 Ti=. i, -DF=k/l 0+10=25.4. (2016?云南模拟)如图，四边形 ABCD是正方形，点E, F分别在BC , AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM ,过点M, E分别作NM DM , NE DE交于N,连接NF.(1)求证：DELDM ;(2)猜想并写出四边形 CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想.【解答】(1)证明：二四边形 ABCD是正方形，DC=DA , / DCE= / DAM=90 , fDC=DA 在 DCE 和 MDA 中，J ZDCE=ZDAN , . DCEA MDA (SAS),

16、. DE=DM , / EDC= / MDA .又 / ADE + Z EDC= Z ADC=90 , ./ ADE +Z MDA=90 , DEXDM ;(2)解：四边形 CENF是平行四边形，理由如下: 四边形ABCD是正方形， .AB / CD, AB=CD . BF=AM ,MF=AF +AM=AF +BF=AB ,即 MF=CD ,又 F在AB上，点M在BA的延长线上， .MF / CD, 四边形CFMD是平行四边形，.DM=CF , DM / CF, .NM DM , NE IDE, DEL DM, 四边形DENM都是矩形，EN=DM , EN / DM , .CF=EN , CF

17、 / EN,四边形CENF为平行四边形.BE=DF .5. （2016春？澄城县期末）如图，点 E、F分别是？ABCD的边BC、AD上的点，且 （1）试判断四边形 AECF的形状；（2）若AE=BE , / BAC=90 ,求证：四边形 AECF是菱形.【解答】（1）解：四边形 AECF为平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC , AD / BC,X / BE=DF , .1. AF=CE , 四边形AECF为平行四边形；(2)证明： AE=BE , . B=/BAE,又. / BAC=90 , .B+Z BCA=90 , / CAE + Z BAE=90 ,/ BCA= /

18、CAE ,.AE=CE ,又四边形AECF为平行四边形， 四边形AECF是菱形.BD平6. （2016春？夏津县期末）已知：如图， AE / BF, AC平分/ BAD ,交BF于点C 分/ ABC ,交AE于点D ,连接CD.求证：四边形 ABCD是菱形.【解答】 证明： AC平分/ BAD ,BAC=/CAD. 又 AE / BF ,/ BCA= / CAD ,/ BAC= / BCA .AB=BC ,同理可证 AB=AD .AD=BC ,又 AD / BC,四边形ABCD是平行四边形,又 AB=BC ,平行四边形 ABCD是菱形.7. （2016春？历下区期末）如图，菱形 ABCD的对角

19、线AC、BC相交于点O, BE/AC , CE / DB.求证：四边形 OBEC是矩形.E【解答】 证明： BE/AC, CE/DB,四边形OBEC是平行四边形， 又.四边形ABCD是菱形，AC XBD , ./ AOB=90 ,平行四边形 OBEC是矩形.,连接EC,8. （2016春？德惠市期末）如图，将 ?ABCD的边BA延长到点E,使AE=AB 交AD于点F,连接AC、ED.（1）求证：四边形 ACDE是平行四边形；（2）若/ AFC=2 ZB,求证：四边形 ACDE是矩形.第15页（共28页）【解答】 证明：（1） ?ABCD 中，AB=CD 且 AB /CD , 又 AE=CD ,

20、.AE=CD , AE / CD,四边形ACDE是平行四边形；(2) ?ABCD 中，AD / BC , ./ EAF= / B,又/ AFC= / EAF + / AEF , / AFC=2 / B/ EAF= / AEF ,.AF=EF ,又平行四边形 ACDE中AD=2AF , EC=2EF .AD=EC ,平行四边形 ACDE是矩形.O, CE平分9. （2016春？郴州校级期中）已知：矩形 ABCD中，对角线 AC与BD交于点 /BCD ,交 AB 于点 E, / OCE=15,求/ BEO 的度数./ ACB=90 DC / AB , ./ DCE= / CEB, CE 平分/ D

21、CB,/ BCE= / DCE=45 ,/ BCE= / CEB ,.BE=BC , . / DCE=45 , / OCE=15 , ./ DCO=30 , ./ BCO - 90 - 30 =60 , 四边形ABCD是矩形，.AC=2AO=2OC , BD=2BO=2DO , AC=BD ,.AO=OC=CO=BO , . BOC是等边三角形，BC=OB=BE ,. DC / AB , ./ CAB= / DBA=30 , ./ BEO=/BOE= (180-/ DBA ) =X 1 180 -30) =752210. （2016春？江汉区期中）如图，四边形中 CE=CF, BC=5 , C

22、F=3, BF=4 .求证:ABCD是正方形， DE / FC.ECF是等腰直角三角形，其【解答】 证明：延长BF交DE于H, 四边形ABCD是正方形， ，/BCD=90 , BC=CD , ./ BCF + /FCD=90 ,. ECF是等腰直角三角形， CF=CE , ./ ECD+Z FCD=90 , ./ BCF=Z ECD.在 BCF和 DCE中，I EC二DCNBCF =/DCE，CF=ceBCFA DCE (SAS), 延长BF交DE于H , .BF=DE , / CBF= Z CDE , . / CBF + Z1=90, / 1 = Z2,. / 2+/CDE=90 , ./

23、DHF=90 , BFXDE,在ABFC 中，BC=5 , CF=3, Z BFC=90 ,BCFADCE,DE=BF=4 , / BFC= Z DEC= / FCE=90 . .DE / FC.11. （2016春淋阳县校级月考）已知：如图， ABC中，/ BAC的平分线交BC于点D,CDEF是菱形.E是AB上一点，且 AE=AC , EF/ BC交AD于点F,求证：四边形【解答】证明：; AD平分/ CAB,/ CAD= / EAD ,rAC-AE在 ADE 和 ADC 中，/CAD=/E四,lad=adADEA ADC (SAS);DE=DC , / ADE= / ADC ,同理 AFE

24、A AFC ,.EF=CF , EF / BC/ EFD= / ADC , ./ EFD=/ADE , .DE=EF , . DE=EF=CF=DC ,，四边形CDEF是菱形.12. (2016秋?江阴市校级月考) 如图，已知？ABCD的对角线 AC、BD交于O,且/ 1 = 7 2.(1)求证：?ABCD是菱形；(2) F 为 AD 上一点，连结 BF 交 AC 于 E,且 AE=AF ,求证：AO=J- (AF+AB ).2【解答】 解：(1)证明：: ?ABCD中，AD / BC, ./ 2=/ACB ,又.一/ 1 = 72, ./ 1 = Z ACB .AB=BC , , ?ABCD

25、是菱形；(2) ?ABCD 中，AD / BC , ./ AFE= / EBC,又AF=AE ,BC=CE , .AC=AE +CE=AF+BC=2OA ,(AF+BC),又 AB=BC ,.OA= y (AF+AB).13. (2015?南平)如图，矩形 ABCD中，AC与BD交于点 O, BEX AC, CFXBD ,垂足 分别为巳F.求证：BE=CF.【解答】 证明：四边形 ABCD为矩形, .AC=BD ,贝U BO=CO . BE LAC 于 E, CFBD 于 F, ./ BEO= Z CFO=90 .又. / BOE=ZCOF, . BOEACOF.BE=CF .14. （201

26、5?常州二模）如图，在 ABC中，AB=AC ,将 ABC绕点A逆时针旋转得到4【解答】证明：由旋转的性质得：ADE ,连接BD、CE、BD、CE相交于点 F,且/ ADB= / BAC .求证：四边形 ABFE为菱ADEA ABC , .AD=AB , AE=AC , / DAE= / BAC ,/ ABD= / ADB , / ACE= / AEC , / BAD= / CAE , / ADB= / BAC ,/ DAE= / ADB , .AE / BD , . / BAD+/ABD+/ADB=180 , / CAE+/ACE+/AEC=180 ,/ ABD= / ACE,/ BAC=

27、/ ACE ,.AB / CE,四边形ABFE是平行四边形，又 AB=AE ,四边形ABFE为菱形.15. （2015?兰州一模）如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M,过点 M作ME LA C, MFXAD ,垂足分别为 E、F.（1）求证：/ CAB= / DAB ;（2）若/ CAD=90 ,求证：四边形 AEMF是正方形.【解答】（1）证明：AB是CD的垂直平分线,.AC=AD ,又 AB XCD丁./ CAB= / DAB （等腰三角形的三线合一）；(2)证明：- ME A C, MF LAD, Z CAD=90 , 即/ CAD= /AEM= Z AFM=90 ,四边形AEMF

28、是矩形，又. / CAB= / DAB , ME A C, MF LAD ,.ME=MF ,.矩形AEMF是正方形.16. （2015秋？李沧区期末）如图，在 ？ABCD中，BE平分/ ABC交AD于点 巳ADC交BC于点F.（1）求证： ABEA CDF;DF平分/（2）若BDXEF,则判断四边形 EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论.【解答】(1)证明：二四边形 ABCD是平行四边形，.AB=CD , AD=CB , AD / CB , / A=/ C, / ABC= / ADC , BE 平分/ ABC , DF 平分/ ADC , ./ ABE=ABC , / CDF=ADC ,

29、./ ABE= / CDF,在 ABE和 CDF中，fZA=ZCAB=CD ,Izabe=ZcdfABEACDF (ASA);(2)解：四边形 EBFD是菱形；理由如下:由(1)得： ABEA CDF,.AE=CF , .DE=BF ,又 DE / BF,四边形EBFD是平行四边形,-. BD EF,四边形EBFD是菱形.BAC17. （2015秋 次竹县校级期中） 如图，在 ABC中，Z ACB=90 , CD AB , AE平分/ 交CD于F, EG AB于G,求证：四边形 CEGF是菱形.第19页（共28页）【解答】 证明：; AE平分/ BAC交CD于F, .CE=EG , / AEG

30、= / AEC , 在 CEF和4GEF中，GE-CECEFA GEF (SAS), .FG=FC, /CFE=/GFE, . CDXAB , EGXAB , .CD / EG, ./ CFE=Z GEF, 又. / CFE=ZGFE, ./ CFE=Z CEF, .CF=CE ,X / FG=FC, CE=EG , .CF=CE=EG=FG , ，四边形CEGF是菱形.ABCD , AB=AC , E、F 分别是 BC、AD18. （2014?沙坡头区校级模拟）如图，已知菱形 的中点，连接AE、CF.（1）填空：/ B= 60 度;（2）求证：四边形 AECF是矩形.【解答】 解：（1）因为

31、四边形 ABCD为菱形,.AB=BC ,. AC=AB ,. .ABC为等边三角形,B=60 ,故答案为：60;（2）证明：由（1）得三角形ABC为等边三角形, 同理可得， ACD为等边三角形，.E、F分别是BC、AD的中点，.-.AE BC, CFXAD , AE / CF,1. AF / CE,AECF的面积.19. （2013秋？姜堰市期末）如图，在 （1）求证：四边形 AECF为菱形；四边形AECF为矩形.?ABCD中，EF垂直平分 AC交BC于E,交AD于F .AO=OC ,1 = /2, / 3=/4,又四边形ABCD是平行四边形,.AD / BC,1 = Z4=Z 3,.AF=A

32、E ,.AE=EC=CF=FA ,四边形AECF是菱形.(2) - AC CD, AC EFEF / CDEF=AB=6 ,. BC=10 ,，由勾股定理得： AC=8,AC2?EFX 6X8=24;四边形AECF的面积为:20. （2013秋？西陵区校级期末）如图， BD为矩形ABCD的对角线，/ ADB , / DBC的平 分线分别交于AB, CD于E, F点.（1）求证：四边形 DEBF为平行四边形；(2)连接EF,若EFXBD ,且AD=6 ,求菱形 DEBF的面积.【解答】(1)证明：在矩形 ABCD中，DC/AB, AD / BC,CBD 即/ EDB= / FBD.DE / BF

33、, 四边形DEBF是平行四边形；(2)解：由/ EDB= / FDB= /ADE ,且/ ADC=90 , ./ ADE=30 ,又/ A=90 AD=6 , BE=2 ;DE=4 . S 菱形 debf=BEXAD=24 行.21. (2014春?高安市期中)如图，矩形 ABCD ,过对角线BD的中点O作BD的垂线交AD 于E,交BC于F,连结EB、DF.(1)求证：四边形 DEBF是菱形；(2)若 AD=3 , AB=V3,求 AE 的长.K ED【解答】(1)证明：二四边形 ABCD是矩形，.AD / BC,/ EDB= / DBF , / DEF= / BFE,在 EDO和 FBO中，

34、ZEDB=ZBBF/DEF =/BFEDO=BOEDOA FBO (AAS),EO=FO ,四边形DEBF是平行四边形，又 DEXEF,，平行四边形 DEBF是菱形；(2)解：设 AE=x ,贝U BE=DE=3 x,而 AB=V3,在RtAAEB中，根据勾股定理 BE2=AE2+AB2，（3-x） 2=x2+ （仙）2解得：x=1 , .AE=1 .22. （2014春？富宁县校级期中）如图，点 O是菱形ABCD的对角线交点，作 DE/ AC , CE /BD, DE、CE相交于E,求证：四边形 OCED是矩形.【解答】 证明： DE/AC, CE/BD, 四边形OCED是平行四边形， 四边

35、形ABCD是菱形， AC XBD , ./ DOC=90 , 四边形OCED是矩形.23. （2014春？东台市校级月考）在矩形 ABCD中，AB=4cm , BC=8cm , E、F分别是AD、BC上两点，并且 AC垂直平分EF,垂足为O.（1）连接AF、CE.说明四边形 AFCE为菱形；（2）求AF的长.【解答】 证明：（1）二.四边形ABCD矩形, .AD / BC, ./ EAC= ZACF ,EF 平分 AC,.AO=OC ,在 AOE和 COE中，ZEAC=ZACFA0=C0,Zaoe=ZcofAOEACOE,EO=OF , 四边形AFCE是平行四边形，.EFXAC,，四边形AFC

36、E是菱形.(2)设 AF=FC=x , 贝U BF=8-x;在 RtAABF 中， ab2+bf2=af2, 即：42+ (8 x) 2=x2, 解得：x=5 ,AC的长为5cm.24. （2013?乌鲁木齐）如图.在 ABC 中，/ ACB=90 , CDXAB 于 D, AE 平分/ BAC , 分别于BC、CD交于E、F, EHLAB于H.连接FH ,求证：四边形 CFHE是菱形.A D H【解答】证明：.一/ ACB=90 , AE 平分/ BAC , EHXAB ,.CE=EH ,在 RtAACE 和 RtAAHE 中，AE=AE , CE=EH ,由勾股定理得： AC=AH , .

37、 AE 平分/ CAB ,/ CAF= / HAF , 在 CAF和 HAF中AC=AHZCAF=ZHAFCAFA HAF (SAS), / ACD= / AHF , . CDXAB , / ACB=90 , ./ CDA= / ACB=90 ,.Z B+ / CAB=90 , / CAB + / ACD=90 , ./ ACD= / B=Z AHF , .FH / CE, . CDXAB , EHXAB , .CF / EH,四边形CFHE是平行四边形，,. CE=EH ,，四边形CFHE是菱形.25. （2013?东营模拟）如图，在 ？ABCD中，EF / BD ,分别交BC , CD于点

38、P, Q,交AB ,AD的延长线于点 E, F,已知BE=BP .求证：（1） / E=/F;（2） ?ABCD是菱形.【解答】 证明：（1） ,BE=BP,E=/BPE, BC / AF , BPE=Z F, . E=Z F.(2) EF / BD, ./ E= Z ABD , / F=Z ADB , / ABD= / ADB ,.AB=AD ,四边形ABCD是平行四边形, DABCD是菱形.26. （2013?云龙区校级三模） 在？ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE .连 接AC,当CA=CB时，判断四边形 AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.【解答】 解：四边

39、形AECF是矩形，理由：.在?ABCD中，E、F分别是 AB、CD的中点, .AB /CD, AE=BE=CF=DF ,.,.aeXfc,四边形AECF是平行四边形,. AC=BC , 为AB的中点， ./ AEC=90 , 平行四边形 AECF是矩形.27. （2013?枣阳市模拟）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G, E分别是边AB , BC的中点，/ AEF=90 ,且EF交正方形外角的平分线 CF于点F.（1）证明：/ BAE= / FEC;（2）求4AEF的面积.【解答】证明：如右图，(1)二.四边形 ABCD是正方形，B=90 , AB=BC ,. G、E 是 AB、BC

40、 中点，BG=XaB, BE=BC,22.BG=BE , ./ BGE= ZBEG=45 , ./ BGE= /1 + /2=45, . / AEF=90 ,.1 + Z 4=180 - 45 - 90 =45,2=/4,即/ BAE= /FEC;(2)由(1)知/ BGE=45 , ./ AGE=135 , . CF是/ DCH的角平分线， .Z FCHX 90 =45 ,2 ./ ECF=135 , 四边形ABCD是正方形，.AB=BC , G、E 是 AB、BC 中点，.AG=AB , EC=-BC,22.AG=EC ,在 AGE和 ECF中，fZ4=Z2 AG=EC,Nag E:/EC

41、F= 135 AGEA ECF,.AE=EF ,在 RtAABE 中， AE2=ab2+BE2,心2卡，.SAAEF=x AE x EFAE24x旦a23a2.2=2 48ANMB28. （2013?长春模拟）探究：如图，分别以 ABC的两边AB和AC为边向外作正方形 和正方形 ACDE , NC、BE交于点P.求证：/ ANC= / ABE .应用：Q是线段BC的中点，若BC=6,则PQ= 3 .【解答】 证明：四边形 ANMB和ACDE是正方形，.AN=AB , AC=AE , / NAB= Z CAE=90 , / NAC= / NAB +/ BAC , / BAE= / BAC +/

42、CAE,/ NAC= / BAE ,在 ANC和 ABE中AN=AB/NAO/BAEAC=AEANCA ABE (SAS),/ ANC= / ABE .解：四边形 NABM是正方形， ./ NAB=90 , ./ ANC+Z AON=90 , / BOP= / AON , / ANC= / ABE , ./ ABP+Z BOP=90 , ./ BPC=/ABP+/ BOP=90 , .Q 为 BC 中点,BC=6, PQ卷BC=3 ,故答案为：3.第29页（共28页）xV29. （2013秋？海原县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.问四边形 AFCE是菱形吗？请说明理由.四边形ABCD是平行四边形,.AD / BC,CO FO,. AO=OC ,.OE=OF ,四边形AFCE是平行四边形，.EFXAC,，平行四边形 AFCE是菱形.30. （2013春？沧浪区校级期末）如图 1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动 点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形 ABCD外作正方形 CEFG ,连接BG, DE.我们探究下列