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1、 9.6 椭圆1 .椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点Fl F2的距离的和等于常数2a(2 a| FFW)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 .X (2)另一种定义方式(见人教A版教材选修21 P47例6、P50):平面内动点 M到 定点F的距离和它到定直线 l的距离之比等于常数 e(0 ve1)的轨迹叫做椭圆.定点 F叫 做椭圆的一个焦点，定直线 l叫做椭圆的一条准线，常数 e叫做椭圆的 .2.椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)净冷1标准a2 b2方程(ab0)(3)范围aw x& a,-b y baw yw a)-b x0
2、)的左焦点为Fi(4, 0),则m ()A. 2B. 3C. 4D. 9解：由.25 m2= 4,得 m=9,又 n0,m= 3.故选 B.3VmQ解：要使方程 言 my23= 1表示椭圆，只须满足m30,解得3vm5且5 mr5 nU 3,m# 1,因此，“3vmb0）的左、右焦点分别为（2013 全国课标H）设椭圆C： 02 +Fi, F2, P是 C 上的点，PF2，FiF2, / PFF2=30 ,则 C1C.2的离心率为（3 A-T解：设| F1F2 =2c,贝U| PF2| =3V3c, | PF1 =芈二. 2a= | PF1 +| PF2| =273 c,故里.故选D已知中心在
3、原点的椭圆C的右焦点为1F(1 , 0),离心率等于2,则C的方程是 .c 19解：由椭圆c的右焦点为R1, )知c=1,且焦点在x轴上，又e=a=2,飞=2, a=4, b2=a2c2=3,椭圆C的方程为 + y- = 1.故填5=1. 4343已知椭圆2m+y2=1的焦距是2,则该椭圆的长轴长为.解：当焦点在x轴上时，有 m- 4= 1,得m= 5,此时长轴长为2、/5；当焦点在y轴上 时，长轴长为4.故填2书或4.类型一椭圆的定义及其标准方程求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(一3, 0), (3, 0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)过点R 3,
4、 2),且与椭圆X2 + y= 1有相同的焦点;(3)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点 P到两焦点的距离分别为5, 3,过点P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.解：(1) ,椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为a|+b|= 1(ab0) .-1 2a= 10, 2c = 6,即 a=5, c=3,.bl=al-cl=5l-3l=16.所求椭圆的标准方程为(2) 所求的椭圆与椭圆x2 y225 16i.x2+y2=i的焦点相同, pI其焦点在x轴上，且c2 = 5.设所求椭圆的标准方程为x|+ b2= 1(ab0), ,所求椭圆过点 R3, 2), .有人十一.a2 b2又 a2-b
5、2 = c2=5,联立上述两式，解得a2=15,b2=10.y215 10(3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为x2 y23 y2 x2a2+应=1(200)或至+应=.所求椭圆的标准方程为1(ab0),2a=5 + 3,由已知条件得(2c) 2=5232,解得 a= 4, c=2, - b2= 12.皿、，x2 y2jy2 x2故椭圆方程为 而+12= 1或16+12= 1.【点拨】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一 定要注意常数 2a| F1F2I这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过 程是先定形，再定量，即首先确定焦点所
6、在位置，然后再根据条件建立关于a, b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx+ny2=1 ( n0, n0,n)的形式.作一个椭圆，使它的中心在原点，焦点在 的长度以及离心率.(1)过两点 R(2 , 2) , R(-3, - 1)x轴上，求椭圆的方程，椭圆的长半轴、短半轴解：根据题意，设椭圆方程为a2+b2=1（ab0）,将两已知点坐标代入得A+A=i a2 b2 j3291a2+b2= 1解得32b2= .53 o 5 o故椭圆方程为32必+32=1,长半轴长，离心率c2= a2（2）过点（小,5/5）,且与椭圆y5+9=i有相同焦点的椭
7、圆的标准方程4),即 c=4.解法一：椭圆2|+X2= 1的焦点为（0, 4）,（0,由椭圆的定义知，2a=y （姬0） 2十（一十+4） 2（/0） 2+（75-4） 2,解得 a= 2，5.由 c2=a2 b2可彳导 b2= 4.所求椭圆的标准方程为y2）+ x2=1.解法二：:所求椭圆与椭圆|+9=1的焦点相同，其焦点在 y轴上，且c2=25 9=16.设它的标准方程为 祭*1（0）, c2= 16, 且 c2= a2 b2, 1- a2b2=16.又点（q3,乖）在所求椭圆上,a2b2253_一=1，即瓦+后=1.由得a2=20, b2=4,.所求椭圆的标准方程为x27=1.故填20+
8、 亲1.类型二椭圆的离心率x|+ b!=1（0）的左、右焦点，若在直线设F（ c, 0）, F2C 0）分别是椭圆x=a2上存在点P,使线段PF的中垂线过点 cF2,则椭圆离心率的取值范围是 （A. 0,专c.享1B. 0, -3D.冬1解法一：由题意可设a2P三， PF的中垂线过点F2,| F1F2I = | F2PI ,即 2c =a2- J+y2,整理得y2= 3c2+2a2- a4.a4 ,21口c2“，即3ee2+”0,解得.e的取值范围是李1 .-c,整理解法二：设直线x=a2与x轴交于M点，则| F1F2I =| EP|刁MF ,即2ca2 cc得;w e21,号web0)的右焦
9、点F(c, 0)关于直线y = bx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是解：设左焦点为Fi,由F(c, 0)关于直线 y=bx的对称点 cQ在椭圆上，得|OQ =| OF ,又 | OF| = | OFak.又 2a = ck+ bk,FiQJ_QF 不妨设 | QF| =ck,则 | QF = bk-=-,即 a2= c2+ bc,得 b= c, a = yf2ca b + c| FiF| =ak,因此 2c = c 22 e=a=.故填/.类型三椭圆的焦点三角形已知Fi, F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，/ FiPE=60 .(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证 FiPE的面积只与椭
10、圆的短轴长有关.解：设椭圆方程为O2+b21(ab0), P 点坐标为(x0 | PFl| =a+exo, | PF2 = a exo.在 FiPE中,cos / FiPF =| PF1| 十|PF2 -| F1F2|2| PF1| | PF2(a+ex0) 2+ (a ex0) 2 4c2 o 12 (a+ex0) (aex0)c0s602,解得x0=4c2 a23e2 .x0 ( - a, a), - x2 e 0 , a2),4c2a2 2XCa2有 0w 4 c2 a2 3c2,解得! eb0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆 E于A, B两点，| AF1I = 3| RB|.(1)
11、若 |AB=4, ABF 的周长为 16,求 |AE|;43，一 一一(2)若cos/AEB=k 求椭圆E的离心率.5解：(1)由|AFi| =3| FiB| , |AB =4,得| AF| =3, |FiB| =1,ABF 的周长为 16, 由椭圆定义可得 4a=16, | AF|十| AF2| =2a=8, 故 |AE| =2a|AF| = 83 = 5.(2)设|F1E|=k,则k0且| AF| =3k, |AB =4k,由椭圆定义可得|AF| =2a-3k, |BF2| =2a-k.在ABF中，由余弦定理可得| AB 2= | AR| 2+ | BE| 2 2| AR| B桎|cos
12、/ AFB,6即(4 k)2 = (2 a3k)2+ (2 ak)2(2 a3k)(2 a-k),5化简可得(a+ k)( a- 3k) = 0,而 a+ k0,故 a= 3k.于是有 | AE| = 3k= | AF| , | BF| = 5k,因此 | B冏 2= | A冏 2+ | AB ：可得 FA，F2A,故 AFF2为等腰直角三角形.从而c=2a,，椭圆E的离心率e=c=坐.a 2类型四椭圆的弦长(2015 陕西)已知椭圆E： x|+ y|a2 b21(ab0)的半焦距为c,原点一 ， -，1O到经过两点(c, 0), (0, b)的直线的距离为2c.(1)求椭圆E的离心率;,一一
13、一225 .(2)如图，AB是圆M (x+2) +(y1) =2的一条直径，若椭圆E经过A B两点，求椭圆E的方程.解：(1)过点(c, 0) , (0 , b)的直线方程为bx+cy bc=0, bc bc c则原点o到该直线的距离d= j- rb2+c2 a 2c3得a=2b = 2a2 c2,解得离心 率e=4.(2)由(1)知，椭圆E的方程为x从而 x1x2= 8- 2b .| xi X2| =*/ (x1+x2) 24x1x2 =50 (b22). 由 | AB = 50,得弋10 (b22) =Vl0,解得 b2=3. 故椭圆E的方程为x|+y2= 1.12 3【点拨】(i)解决直
14、线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(xi, yi), B(X2,y2),贝U|AB = 7 (1 + k2) (x1+x2) 24x1x21+2 (y1+y2) 2 4y1y2 (k为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,+4y2=4b2.依题意，圆心M 2, 1)是线段AB的中点，且|AB=V而.易知，AB与x轴不垂直，设其直线方程为y=k(x + 2) + 1,代入得.222. 2
15、(1 +4k)x +8k(2k+1)x+ 4(2 k+1) - 4b = 0.皿8k (2k+1)4 (2k+1) 2 4b2设 A(x1, y。，Rx2, y。，则 x + x2= 1十4k2, mx2 =1十4k2.,/口 8k (2k+1)后力/口1由 X1+x2=4,得一一 一=4,斛得 k=-.于是 |AB=/i+ 21 + 4k22不要忽略对判别式的判断.设椭圆c a2+b2=i（abo）的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于a B两点，直线,2 , e15为马.如果| AB =了, 34l的倾斜角为60。，椭圆的离心率则椭圆C的方程为解：由题意知离心率e= -=c=-a,由 b
16、2= a2 c2, 得 b=Wa, 椭圆 C的方程为a 333x2 9y2豆.2设A(xi,yi),B(x2,y2),直线 l的方程为y = J3(x-c),即 y=J3x-a ,与联3一 22.一 a 7a.立得32x-36ax+7a =0,(4 xa) (8 x7a)= 0,解得xi=4,x2=g.由 | AB=1 + 3a 7515 -5|xi-X2| =2 2-oa =-a=,解得 a=3,，b=%a=yj5.4 8443，一 s、- x2 y2lX2 y2椭圆c的方程为+-= 1.故填工=1.9595类型五椭圆中的最值问题已知f是椭圆引*1的左焦点，P是此椭圆上的动点， 丹1 , 1
17、)是一定点，求|PA + | PF的最大值和最小值.解：由题意知 a=3, b =乖,c= 2, F(-2, 0).设椭圆右焦点为 F,则 | PF + I PF | = 6 ,，| PA + | PF = | PA | PF | + 6.当 P,A, F三点共线时，| PA| PF I取到最大值|AF |=啦，或者最小值|AF |= J2.，| PA+| PF的最大值为6 + 2,最小彳1为6 一收.,一一 x2 2一、，一一，一(2)求A(0 , 2)到椭圆+ y =1上的动点的距离的最大值和最小值.1-1 ab|的最大值为包三，最小值3解：设椭圆上 的动点B(x, y),则| AB =x
18、2+ (y2) 2 =1一3y2 4y+ 8 =228一3 y +.2+彳，.点B是椭圆上的 点，.一 1WyW1.33为1.（3）在椭圆x2 y2181上求一点，使它到直线2x 3y+15= 0的距离最短.解：设所求点坐标为 A（3 42cos e , 2y2sin 0）, OCR,由点到直线的距离公式得1612cos e 6J2sin e +15| _22+ ( 3) 2汽12sin 0 +15门4t3n尸,当 6=2卜兀+丁， kez;134时，d取到最小值 邛3,此时A点坐标为（3, 2）.13【点拨】椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：利用椭圆的定义结合平面几何知识求解（适用于所求的
19、表达式中隐含有长轴或者离心率e）;根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题（适用于定点在椭圆的对称轴上，如 （2）中的点A）;用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解.（2014 福建）设P, Q分别为圆*2+（丫6）2=2和椭圆条 y2=1上的点，则PQ两点间的最大距离是（）B. 46+ 2D. 6 2A. 5 2C. 7+ 2解法一：设椭圆上任意一点为 Qx, y）,则圆心（0, 6）到椭圆的距离d = 22由2 十（y6） 2 =/-9y2-12y + 46 =A / -9 y+3 +50w 5y2, P, Q 两点间的最大距离d =dmax+ 72=62.解
20、法二：易知圆心坐标为 M0 , 6) , | PQ的最大值为| MQmax+、/2,设C(y而cos e , sin 0 ), 则 | MQ = 10cos2 0 + (sin 0 -6) 2 =。一9sin2 0 12sin 0 + 46 =22 、/ -9 sin 0 + +50,当 sin 0 = 2时，| MQmax= 5，|PQmax= 5&+a=6y2.故选 D.x2 y21(2)( 2015 安徽合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆+ y-=1的离心率e=-, F, A 4 b22分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则酢鬲的最大值为解:设P点坐标为(X0, yo).由题
21、意知a=2, c 1222_-1 e = _ = , - c= 1, - b = a c = 3.a 2椭圆方程为x27 +y23=1.一 2W xoW 2, 3wy0W_3.- F(-1, 0), A(2 , 0),=(1 xo, y0) , PA= (2 X0, y0), PFPF-PA= x0-x0-2+y0= 4x2x0+1=4(x02)2.即当 x0= 2 时，PF PAX 得最大值4.故填4.1 .在运用椭圆的定义时，要注意“|FiF2|v2a”这个条件，若|FE|=2a,则动点的轨 迹不是椭圆，而是连结两定点的线段（包括端点）；若|FiE|2a,则轨迹不存在.2 .椭圆的标准方程
22、有两种形式，两种形式可以统一为 x2+ y2 = 1（m 0, n0,且n）,具体是哪种形式，由 m与n的大小而定.3 .求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即（1）先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出关于 a, b的两个方程，求参数 a, b的值；（2）由椭圆的定义及几何 性质直接求出参数 a, b的值.4 .充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中.5 .直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定.通常用消元后的关于x（或y）的一元二次方程的判别式 与零的大小关系来判士 7E.6 .直
23、线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决.设而不求（设点而不求点）的方法是解析几何中最重要的解题方法之一.7 .椭圆中几个常用的结论：（1）焦半径：椭圆上的点Rx0, y。与左（下）焦点F1与右（上）焦点F2之间的线段叫做椭圆的焦半径，分别记作r= | PF1| ,2= | pf2 .* y2二十二=1（ab0） ,1 = a+exo, 2=a ex。；a2 b2小y2 , x21（ab0），1 = a+eyo, 2=a ey。；a2 b2焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）.（2）焦点三角形：椭圆上的点P（x, y）与两焦点构成的 PF1F2叫做焦点三
24、角形.1 =|PF|, 2=|PE|, / F1P 0 , PF1F2的面积为 S,则在椭圆 x2+y2=1（ab0）中:a2 b2x2 y2ab为椭圆a2+ b2弦长 l =W + k2|x1 x2| =1i+而1中一y?1 ；当1=2时，即点P的位置为短轴端点时，e最大；S= b2tan -2-=c|y0| ,当|y0| =b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点弦(过焦点的弦 广焦点弦中以通径(垂直于长轴白焦点弦 )最短，弦长lmin =2b2a1(ab0)的弦,A(xi, yi), B(x2, y。，弦中点 Mx0, y(0 ,直线AB的斜率kAB一瑞0.以
25、上常用结论在教材的例题与习题中都有体现.1.设Fl, F2分别是椭圆x|+y|=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是FiP的中点， 25 16|OM = 3,则P点到椭圆左焦点的距离为(D. 5C. 2B. 3A. 4-，1解：由题意知，在PFF2中，|OM = 2|PF2| =3,| PB| =6,| PF| =2a-| PF2| =10 6= 4.故选 A.B. (0 , 2)A. (0 ,+8)C. (1 , +8),要使焦点在y轴，只须2.方程x2+ky2= 2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是()D. (0, 1)解：将方程x2 + ky2=2变形为x2+y2= 1,根据椭圆的
26、定义 k2 一 ，-2,解得0kb0）的左、右焦点为Fi, F2,离心率为当，过F2的直线l交C于A, B两点.若AHB的周长为473,则C的方程为（x2 2By=1x2 y2D.+&1解：由椭圆的定义知 AEB的周长为4a= 4木,a = 3x2 y2A.y+7=1x2 y2 C-m-8=1c c 3.由 e=a=73=，得 c=1，b2=a2c2=2.，椭圆C的方程为x1+y2=1.故选324. （2015 豫西五校联考）已知椭圆X2+b2=1（0 v b3 ,由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中，通径最短，则二- a=3,b2= 3,即 b = q3.故选 D.5. （2013 四川）从椭
27、圆x|+y|=1（ab0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点02 b2F1, A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB/ ORO是坐标原解：由题意知A（a,AB/ OP ，AB/Od-3c一220） , B（0, b） , AB= （ -a, b）,b2因此有（一a） =b （ -c）,a点），则该椭圆的离心率是（）D 1A 2B.2A.彳b2一b2P c, W , OP= c, ，:aa22222解得 b=c. . a-b = a- c = c, 得 e=#.故选C.6.已知椭圆C: *1（0）的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两点，连接 AF, BF.若
28、 | AB =106D.72IBF =84，524 cos Z ABF=-, 55 B.7则C的离心率为（）3的解：由余弦定理| A日 =| B日 + | AB 2| BF | AB cos/ ABF= 82+ 102 2242X8X10X 5=36, | AF| =6, ., | AF| +| BFF = | AB|， AFB为直角三角形.设椭圆的右焦点为F,连接AF,BF,由对称性知四边形AFBF为平行四边形.又.一/ AF& 90 , .四边形 AFBF为矩形.2c= | FF | = | AB = 10,2a= |AFj+|AF | = | AF| + | BF| = 14, c=5,
29、c 5得.e = c = 5.故选 B.a = 7.a 77. （2015 乌鲁木齐调研）已知F1（-c, 0）x2 y2f2c 0）为椭圆o2+b2=1（）的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1 - PF2=解：设 P(x, y),则PF1- PF2= ( -c-x则此椭圆离心率的取值范围是 2-2 ,2-2 个_y） （c x, _y）=xc+y=c, a将y2 = b2-b|x2代入式解得(2c2-b2) a2 (3c2 a2) a2c2c2一 2 -222又 x e 0 , a , .-.2c a b0)的左焦点为 Fi,右焦点为Fa,离心率e=.过F a2 b22的直线交椭圆于 A,
30、B两点，且ABF的周长为8,求椭圆E的方程.解：由题意得 | AB| + | AF2| + | BF2 = | AF1| + | BF1 + | AF2| + | BF2 = ( | AF1| 十IafN)+(|bf1|十|bfN)=4a= 8,得 a= 2.C 12222/又 e= 一 =二，. c=1. . b=ac = 2 1 = 3.a 2，椭圆E的方程为X2 + y2=1.x2 y2十 a2 b2A,过点A作C,连接FiC4311 . (2014 江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1 , F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0, b),连接BE并延长交椭圆于
31、点 x轴的垂线交椭圆于另一点又ACLx轴,4 1(I)若点C的坐标为 条“，且be=、/2,求椭圆的方程;3 3(2)若FiC AB,求椭圆离心率e的值.解：(1)由题意知 | BF2|2= b2+c2= a2=2, 4 1点C-,-在椭圆上， 3 3421 2332，=+b=1,解得 b2=1.a2b2x2 2，椭圆的方程为 +y2=1.(2)易知 BF2= (c, -b).点 B(0, b), F2(c, 0)在直线 AB上,直线AB的方程为x+*=1.c b设 A(X1, y1),2a2cx1=a2+c2，联立.点A的坐标为由椭圆的对称性，可得点C的坐标为F1C-b (c2a2)y1=
32、a2+c2 2a2cb (c2 a2)a2 + c2，a2 + c22a2cb (a2c2)a2 + c2，a2 + c2f1c=3a2c+ c3b3a2+c2 a2+c2 .又FC，AB靛c2 (3a2+c2)BF2= -a2 + c2b4 a2+c2 = 0,22,2、，22、2即 c(3a + c) (a c ) =0,化简得 5c2= a2, e2=5， e=.(2015 全国n)已知椭圆 C： 9x2+y2=m2( m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点 A B,线段AB的中 点为M(1)证明：直线OM勺斜率与l的斜率的乘积为定值;m(2)若l过点3m,延长线段
33、OMW C交于点P,四边形OAPBlB否为平行四边形？若台匕目匕，解：(1)证明：设直线 l： y=kx+b(kwo, b*0),求此时l的斜率；若不能，说明理由.直线l过点5m , l不过原点且与椭圆3C有两个交点的充要条件是k0, kw3.A(x1, y1) , B(x2, y2), Mxm, yM).将y = kx+b 代入 9x2+y2=m2,得(k2+ 9)x2+ 2kbx + b2 m2= 0,4 x1+x2 kb9bfpC xm=, yM= kxMrl- b=.2k2 + 9 k2 + 9-， yM 9于是直线OM勺斜率kOM,xM k koM - k= - 9,即直线OM勺斜率
34、与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPIIB为平行四边形.由(1)得直线OM勺方程为y= - -9x.k设点P的横坐标为xp,9 y= -rx, 由 k9x2+y2 = mZ,口k2m2行 xP= 9 k2+ 81日口士 km即xp.3jk2 + 9m 一将点马，m的坐标代入(1)中l的方程得b = 3k (k 3) m x- 3 (k2 + 9).四边形OAP的平行四边形当且仅当线 段AB与线段OP互相平分，即xp=2xm,km k (k3) m 于是研奉=20, kw3, 当l的斜率为4 *或4+/时，四边形 OAP的平行四边形.1. (1) 焦点焦距 (2)离心率2.(2)xt+ y1 2=1(ab0) a2 b2(5)A(0, a),A(0,a), B( b, 0), R(b,0) Fi(c,0),F2(c,0)(9)e=c(0e1)a