《江苏省涟水县高中数学第二章矩阵与变换2.5特征值与特征向量导学案(无答案)苏教版选修4-2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省涟水县高中数学第二章矩阵与变换2.5特征值与特征向量导学案(无答案)苏教版选修4-2.docx（3页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.5特征值与特征向量教学目标1 .掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。2 .会求二阶矩阵的特征值与特征向量。3 .利用矩阵A的特征值、特征向量给出 Aa简单表示。考纲要求：二阶矩阵的特征值与特征向量（B级）教学过程：一、预习阅读教材，解答下列问题：问题：已知伸压变换矩阵 M= 冈 ，向量忖 和3= X在M对应的变换作用下得到的向量司和3分别与 区I有什么关系？对伸压变压矩阵N=凶呢?-3 -/ 4归纳：特征值与特征向量定义：设 可是一个二阶矩阵，如果对于实数 可，存在一个非零向量|刁， 使得 心1 ,那么称可为目的一个特征值，而回称为目的属于特征值 回|的一
2、个特征向量.特征向量的几何意义：特征向量的方向经过变换矩阵旧的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（EI ）,或者方向相反（ 回），特别地，当 日 时，特征向量就变成了零向量.二、建构数学特征值与特征向量求解1 .特征多项式设臼是二阶矩阵 I X 的一个特征值，它的一个特征向量为区，则I k ,即三满足二元一次方程组I x(*)由特征向量的定义知归，因此Ld不全为0，即要上述二元一次方程组有不全为解，则必须有臼，即 L2SJ,把行列式田 I 一 称为目I的特征多项式2 .特征值与特征向量求解方法（i）写出矩阵|日的特征多项式 凶；（n）求方程 wi的根，即为矩阵特征值；（出）将
3、司的值代入二元一次方程组x ,得到特征向量.注：如果向量a是属于 入的特征向量，那么ta（t CR , t W0）也是属于 入的特征向 量.三、例题讲解例1.求矩阵a=w 忖 的特征值和特征向量。怎样从几何直观的角度加以解释？例2.已知矩阵U 目，向量E阳,区 ,试验证下列等式成立： 曰（ 区）=回忆 +回 回；士） 区| =LrJ ;对任意实数 区| ，有M （）= U M 3 +|H M 7 有了特征值和特征向量的知识，就有 x | ,1 ,。从而可以方便计算多次变换的结果区,一般地， 设、是二阶矩阵的两个不同特征值， 目、习是矩阵目的分别属于特征 值百、区的特征向量，即 ,对于平面上任意
4、一个非零向量 0 , 设 x | ,则 = 例3.已知MM=因，S，试计算匡I四、课堂练习1 .矩阵 |_xj 的特征值 ，对应的特征向量为 2 .求下列矩阵的特征值和特征向量(1)区;(2)因3 .试说明矩阵区I没有特征值和特征向量，并给出几何解释.四、小结:特征值与特征向量作业1 .说明矩阵N忖没有实数特征值和特征向量.2 .求矩阵jd = |_xj 的特征值和特征向量3 .求投影变换矩阵|回= 上|的特征值和特征向量，并计算|_xj 的值，解释它的几何意义。4 .若矩阵d有特征向量i =目 和j =忖，且它们所对应的特征值分别为(1)求矩阵可及其逆矩阵 回；(2)求逆矩阵 网 的特征值及特征向量