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1、直线与圆的方程知识汇总知识一：直线与圆的位置关系1、已知直线T3x y 23。和圆x2 y2 4 ,则此直线与已知圆的位置关系2、若直线y x m与曲线y，4 x2有且只有一个公共点，则实数m的取 值范围是。知识二：圆与圆的位置关系3、两圆 Ci：x2 y2 2x 2y 2 0, C2: x2 y2 4x 2y 1 0 的公切线有且仅有()A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条4、若圆 x2y22mxm24 0与圆 x2y22x 4my4m28 0相切，则实数m的取值集合是知识三：圆的切线问题5、过点P(-1,6)且与圆(x 3)2 (y 2)2 4相切的直线方程是6、已知直线5x 1
2、2y a 0与圆x2 2x y2 0相切，则a的值为 知识四：圆的弦长问题7、求直线l：3x y 6 0被圆C：x2 y2 2x 4y 0截得白勺弦AB的长8、设直线ax y 3 0与圆(x 1)2 (y 2)2 4相交于A、B两点，且弦AB 的长为2亚,则a .知识五：圆的方程问题9、求经过点A(2, 1),和直线x y 1相切，且圆心在直线y 2x上的圆的方程.10、圆 x2 y2 ax 2ay 2a2 3a 0 的圆心在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 知识六：综合问题11、圆x215、求与直线x y 2 0和曲线x y 12x 12y 54 0都相切的半径最小的 圆
3、的标准方程。一、选择题1. （2003北京春文12,理10）已知直线 ax+by+c=0 （abc中0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|, |b|, |c|的三角形（）A.是锐角三角形B.是直角三角形 C.是钝角三角形 y2 4x 4y 10 0上的点到直线x y 14 0的最大距离与最小距离的差是（）A.36B.18C.6屈D. 5 212、方程x y 1，x2 y2 4。所表示的图形是（）A . 一条直线及一个圆B.两个点 C. 一条射线及一个圆 D.两条射线及一个圆13、已知圆 C： x 1 2 y 2 2 25及直线 l:2m1x m 1 y 7m 4. m R（1）证明
4、：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.14、如果实数x,y满足x2 y2 4x 1 0求：（1）义的最大值；（2） y x的最 x.-22 一一一小值；（3） x y的最值.D.不存在2. （2003北京春理，12）在直角坐标系 xOy中，已知 AOB三 边所在直线的方程分别为 x=0, y=0, 2x+3y=30,则4AOB内部 和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A.95B.91C.88D.753. （2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）A.x y=0B.x+y=0C.|x| y=0D.
5、|x| |y|=04. （2002 京皖春理，8）圆 2x2 + 2y2 = 1 与直线 xsin8+y 1 = 0（8 G R, 8中2+kTt , kG Z）的位置关系是（）A.相交B.相切 C.相离D.不确定的5. （2002 全国文）若直线（1+a） x+y+1=0 与圆 x2 + y2-2x=0 相切，则a的值为（）A.1 , - 1B.2, -2C.1D.-1、36. （2002全国理）圆（x1） 2+y2 = 1的圆心到直线y= 3 x的 距离是（）1 A. 2B. 2C.1D. 37. （ 2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80 ,sin80 ） ,B
6、（cos20 , sin20 ），贝”AB|的值是（）1 _2_虫A. 2B. 2C. 2D.18. (2002北京文，6)若直线l: y=kx、用与直线2x+3y 6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.6,3)B. (6,2) C,(3,2)D,6,25 仁亡9a. (2002北京理，6)给定四条曲线：x2 + y2=2,9422yx=1,x2+ 4 =1, 4 +y2=1.其中与直线 x+y 0)和圆(x-1) 2+y2=4 相切，那么a的值是()A.5B.4C.3D.224. (1997全国，2)如果直线 ax+2y+2=0与直线3x y2=0平行，那么系数a等于
7、()32A.-3B.-6C.-2D. 325. (1997全国文，9)如果直线l将圆x2+y2 2x 4y=0平分，且不通过第四象限，那么直线 l的斜率的取值范围是()11A. 0, 2B. 0, 1 C. 0, 2 D.0, 2)26. (1995上海，8)下列四个命题中的真命题是()A.经过定点P0 (x0, y0)的直线都可以用方程 y-y0=k (x-x0) 表7KB.经过任意两个不同的点 P1 (x1, y1)、P2 (x2, y2)的直线都 可以用方程(y-y1) (x2-x1) = (xx1) (y2y1)表示)Y 1 一C.不经过原点的直线都可以用方程a b 表示D.经过定点A
8、 (0, b)的直线都可以用方程 y=kx+b表示27. (1995 全国文，8)圆 x2+y22x=0 和 x2 + y2 + 4y=0 的位置关系是（）A.相离B.外C.相交D.内切28. （1995全国，5）图71中的直线11、12、的斜率分别为k1、k2、k3,则（13图7 1A.k1 k2k3B.k3k1k2C.k3vk2vk1D.k1 v k3V k21 .答案：B解析：圆心坐标为（0）,半径为1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得:d=4a2 b2=1,即 a2+b2=c2.所以，以|a|, |b|,|c|为边的三角形是直角三角形.评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到
9、a、b、c之间的关系，以确定三角形形状.2 .答案：B2解析一：由y=103x （0WxW15, xGN）转化为求满足不等式 2y10- 3x （0WxW15, xGN）所有整数y的值.然后再求其总 数.令x=0 , y有11个整数，x=1, y有10个，x=2或x=3时，y 分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类 推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个 整点.故选B.解析二：将x=0, y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图72所示.对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共 有16 X 11=176.因此所求 AOB内部和
10、边上的整点共有 176 62 =91 （个）评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径3 .答案：D解析：设到坐标轴距离相等的点为（x, y），|x|=|y| |x|一|y|=04 .答案：C二解析：圆2x2+2y2=1的圆心为原点（0, 0）半径r为3,圆d 川1心到直线xsin。+y1=0的距离为： &小21 v,sin218 G R,。中万十 k 兀，kGZ2/.0 2.dr圆 2x2 + 2y2 = 1 与直线 xsin 8+y1 = 0（8GR,。中万十 k 兀，kGZ）的位置关系是相离.5.答案：D解析：将圆x2 +
11、y2-2x = 0的方程化为标准式：（x1） 2+y2=1.其圆心为（1,0）,半径为1,若直线（1 + a） x+y+1 = 0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r|1 a 1|1k a） 1.a= -16 .答案：A解析：先解得圆心的坐标（1,0）,再依据点到直线距离的公式求得A答案.卜、7 .答案：D解析：如图 73 所示，/AOB=60 ,又|OA| = |OB|图 73=1.|AB| = 1 8.答案：B方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围y kx 32x 3y 6 03(2 2 3k6k 2 32 3kx 0二.交点在第一象限，二.y 03(23) 0
12、2 3k6k 2 3c302 3k .代(3 , 十oo)倾斜角范围为（6 2）方法二：如图74,直线2x+3y6=0过点A (3,0), B (0, 2),直线l必过点(0, 4r3),当直 方/线过A点时，两直线的交点在X轴，当直线l绕C ,闵7 4囱74点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想， 结合平面几何中角的求法， 可迅 速、准确求得结果.9 .答案：D解析：联立方程组，依次考查判别式，确定 D.10 .答案：C解析一：由圆心在直线 x + y 2=0上可以得到A、C满足条件, 再把A点坐标
13、(1, 1)代入圆方程.A不满足条件.选 C.解析二:设圆心C的坐标为(a, b),半径为r,因为圆心C在直线 x+y 2=0 上,. b=2 a.由|CA|=|CB|,得(a 1) 2+ (b+1) 2= (a+1) 2+ (b-1) 2,解 得 a=1, b=1因此所求圆的方程为(x-1) 2+ (y-1) 2=4评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视.解析：直线x=1垂直于x轴，其倾斜角为90 .12 .答案：A解析：由已知得点 A ( 1, 0)、P (2, 3)、B (5, 0),可得直线PB的方程是x+y 5=0.评述：本题考查直线方程的概念及直线
14、的几何特征.13 .答案：B解析一：设 P=1+bi,贝U Q=P ( i), Q= (1+bi) (土 i) =b i,y=l解析二：设P、Q点坐标分别为(1, t), (x, y), t yVOPIOQ,1 x=1,得 x+ty=0 2 2-22一. |OP|=|OQ|, ./ t Mx21.一一一2-2由得 t=-v ,将其代入，得x2+y2= V+1, (x2+y2)(1 y)=0.1-2: x2+y2 * 0, - 1 y =0,得 y= 1.动点Q的轨迹为y=1,为两条平行线.评述：本题考查动点轨迹的基本求法 14.答案：B解析：丁点(x, y)关于x=y对称的点为(y, x),可
15、知x2y + xy2 =1的曲线关于x=y对称.15.答案：B y ,得 x2+y2=t2+1解析：直线（2 ）x+y=3的斜率k1 =、,氏、后，直线X+（ 2、;3） y=2的斜率k2=禽 V2 ,kl . k2=（近 风电 正）=1.16.答案：C解析一：圆x2+y2 + 4x+3=0化为标准式（x+2） 2 + y2=1,圆心C （2, 0）.设过原点的直线方程为 y=kx,即kx-y=0.J 2k |J3由47 = 1,解得k=3,二切点在第三象限，.3.k0,所求直线方程为y=Tx.解析二：设T为切点，因为圆心 C （ 2, 0）,“因止匕 CT=1 , OC=2, ZOCT 为
16、Rt.如图 75,卡一r图 75./COT=30，.二直线 OT 的方程为 y= 3 x.评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美结合，可迅速、准确得到结果.17.答案：C解析：直线11的倾斜角为4,依题意12的倾斜角的取值范围为18.答案：B(4 12, 4)U(4, 4 + 12)即：(6, 4)U(4, 3),从3而12的斜率k2的取值范围为：（3 , 1） U （ 1,石）评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力图76解析：由方程（x+/）2+ （y北）2=4如图76所示，故圆关于y= x对称故选B.评述：本题考查了圆方程，以及
17、数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴.19 .答案：C3解析：直线y= 3 x绕原点逆时针旋转30所得的直线方程为： y=&x.已知圆的圆心（2, 0）至Uy=J3x的距离d=又因圆的 半径二禽，故直线y=&x与已知圆相切.图77评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆 的位置关系.20 .答案：C解析：如图77所示，3x y 2 3 022,由x y 4消 y 得：x2- 3x+2=0x1=2, x2=1 .A (2, 0), B (1, ) .|AB|=(2 1)2(03)2=2又 |OB|=|OA|=2.AOB是等边三角形，./ AOB= 3,故选C.评述：本题考查直线与圆
18、相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线 AB的倾斜角为120 .则等腰 OAB的 底角为60 .因此/ AOB=60。.更加体现出平面几何的意义.21 .答案：AA A解法一：当两直线的斜率都存在时，B-（ B2）=i,aia2 + B1B2=0.A 0一 A2 0或当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，B2 0 B1 0,同样适合A1A2 + B1B2 = 0,故选A.解法二：取特例验证排除.如直线x+y=0与xy=0垂直，A1A2=1, B1B2 = 1,可排除 B、D.直线x=1与y=1垂直，A1A2=0, B
19、1B2 = 0,可排除 C,故选 A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.22 .答案：Csin A解析：由题意知a* 0, sinB* 0,两直线的斜率分别是 k1 = a , bk2= sin B .sin A b由正弦定理知k1 - k2=- a sinB=_i,故两直线垂直.评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理23 .答案：C解析:方程（x 1） 2+y2=4表示以点（1,0）为圆心，2为半径 的圆，x=a表示与x轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方 程分别为x=1和x=3,由于a0,取a=3.故选C.评述：本题
20、考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题.24 .答案：Ba _2_ _2_解析一：若两直线平行，则 3 ; 7,解得a= 6,故选B.解析二：利用代入法检验，也可判断 B正确.评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力.I-/：25 .答案：A/c J 1丁一J ，解析：圆的标准方程为：（x1） 2+ （y-2） 2=5.图78圆过坐标原点.直线l将圆平分，也就是直线l过圆心C （1, 2）,从图78看到：当直线过圆心与 x轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，弁且当直线l在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.当直线l过圆心与x轴平行时，k=0
21、,当直线l过圆心与原点时，k=2.当kG 0, 2时，满足题意 评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法.26 .答案：B解析：A中过点P0 (x0, y0)与x轴垂直的直线x=x0不能用y y0=k (x-x0)表示，因为其斜率 k不存在；C中不过原点但 在x轴或y轴无截距的直线y=b (b*0)或x=a (a*0)不能用x y方程a b=1表示；D中过A(0, b)的直线x=0不能用方程y=kx+b 表7K .评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围.27 .答案：C解析：将两圆方程分别配方得(x-1) 2+y2=1和x2+ (y-2) 2=4,两圆圆心分别为 O1 (1, 0), O2 (0, 2), r1 = 1, r2=2, |O1O2|=W 22 而,又 1=r2门 V。石 vr1 + r2=3,故两圆相 交，所以应选C.评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法.28 .答案：D解析：直线11的倾斜角a 1是钝角，故k1 V0,直线12与13的 倾斜角a 2、a 3均为锐角，且a 2 a 3,所以k2k30,因此 k2k3k1,故应选 D.评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合