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1、平均数及其估计【学习目标】1 .理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平；2 .初步了解如何运用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性和科学性；3 .掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计 的方法.活动一问题情境建构数学【问题情境】某校高二（1）班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度.全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据（单位：m/s2）：4 .62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.325 .76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.789.729.93 9.9
2、46 .65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？【合作探究】我们常用算术平均数 （其中ai（i =1, 2,，n）为n个实验数据）作 为重力加速度的“最理想”的近似值，它的依据是什么呢？处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据 .设这个近似值为x, 它与n个实验值aMi=1,2,，n）的离差分别为x a1，x a2,x-a3,，x-an.由于上述离差有正有负，故不宜直接相加.可以考虑离差的平方和，即2 2 2 2 2 2 27 x -a1）（x -a2）（x-an） = nx -2（a a2an）x a a? an .所以当x =
3、时，离差的平方和最小，故可用 作为表示这个物理量的理想近似值.【知识建构】1 .平均数最能代表一个样本数据的集中,也就是说它与样本数据的 ,2 .数据a1, a2,，an的平均数或均值，一般记为a= ；3 .若取值为X1, x2, x3，xn的频率分别为p1, p2，Pn，则其平均数为X= .活动二数学应用例1.某校高一年级的甲、乙两个班级（均为 50人）的语文测试成绩（总分：150分）如下，试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些.甲班1128610684100105981029410787 1129494999012098 95119108100961151111049510811110
4、510410711910793102981121129992 1029384949410090 84114乙班116 95109961069810899 1101039498 105 101115104 112101113961081001109810787 1081061039710710611112197107 114122101107107111114106104104 951111111104 2.下面是某校学生日睡眠时间（单位：h）的抽样频率分布表，试估计该校学生的日平均睡眠时间.睡眠 时间人数频率6, 6.5）50.056.5, 7）170.177, 7.5)330.337.5,
5、8)370. 378, 8.5)60.068.5, 9)20.02合 计1001例 3.某单位年收入在 10 000 到 15 000、15 000 至U 20 000、20 000 至U 25 000、25 000 到 30 000、30 000 到 35 000、35 000 到 40 000 及 40 000 到 50 000 元之间的职工所 占的比分别为10% 15% 20% 25% 15% 10%口 5%试估计该单位职工的平均年收入.活动三课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？活动四、课堂反馈单1 .若一组数据X1，X2, X3, X4, X5的平均数是X ,则另一组数据 x1，X
6、2 +1, X3 +2, X4 +3, X5 +4 的平均数是 .2 .若M个数的平均数是X , N个数的平均数是Y ,则这M + N个数的平均数是.3 .如果两组数X1, x2, x3，Xn和y1, y2，yn的样本平均数分别是 X和y ,那么 一组数X1 +y1，X2 +2,，Xn +yn的平均数是4 .在所给的一组数据中，有 m个X1 ,n个x2, p个x3,这组数据的平均数为.5 .在容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下:5 12.5,14.5, 6, 0.06 ; 14.516.5 , 16, 0.16 ; 16.5,18.5, 18, 0.18 ; 18.5,20.5
7、,22, 0.22;6 20.5,22.5, 20 , 0.20 ; 22.5,24.5, 10, 0.10 ; 24.5,26.5, 8 , 0.08 .试估计总体的平均数.课后作业7 .某医院的急诊中心的记录表明，以往到这个中心就诊的病人需等待的时间的分布如8 28 6甲乙4 58 2 63 57下:等待时间（分钟）0,5)5,10)10,15)15,20)20,25频率0.200.400.250.100.05则到这个中心就诊的病人平均需要等待的时间估计为8 .有六个数4, x, - 1, y, z, 6,它们的平均数为 5,则x, v, z三个数的平均数为 .9 . （2010年高考浙江
8、卷）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 , .10 某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 .11 甲、乙两名学生在 5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，7甲，7乙分别表示甲、乙两人的平均成绩，则 x甲 x乙，比 稳定.12 .某天 10名工人生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有a, b, c的大小关系为 .9 3 1 6 4 0 213 （2010年高考福建卷改编）若某校高一年级 8个班参加合唱比赛的得分
9、一支获如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 .14 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 .15 （2011年无锡质检）某餐厅共有7名员工，所有员工的工资情况如下表：人员经理厨师甲厨师乙会计服务员甲服务员乙勤杂工人数1111111工资为3000700500450360340320解答下列问题：(1)餐厅所有员工的平均工资是 .(2)所有员工工资的中位数是 .(3)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？ (4)去掉经理的工资后
10、，其他员工的平均工资是,是否也能反映该餐厅员工工资的一 般水平？ .【思考应用】16 .在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间，结果如下(单位：分钟):80 70 70 70 60 60 80 60 60 70在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是多少？17 .某班4个小组的人数分别为 10,10 , x,8 ,已知这组数据的中位数与平均数相等, 求这组数据的中位数.【拓展提升】18 .为了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数频率.O.(H60.012据整理后，画出频率分布直方图如下图，已知图中从左到右前三个小组的频率分
11、别是0.1,030.4,第一小组的频数为 5.(1)求第四小组的频率；(2)问参加这次测试的学生人数是多少？(3)问在这次测试中，学生跳绳次数的众数、中位数、平均数各是多少？第7课时平均数及其估计答案1. 9.5 2 .7 3 . 45 46 4.-3 5 . 甲 乙 6 . cba 7 . 91.591.5 8 . 0.99 . (1)810(2)450(3)中位数 (4)445 能10 .解：法一：观察数据知：80出现2次，60与70各出现4次，又总次数为2+4+4=10,该学生平均每天完成家庭作业所需时间为：2X80+4X60+4X702+4+ 4=68（分钟）.法二：观察数据知所有数据
12、均在70附近波动，可将各数据同时减70得一组新数据:10,0,0,0 , - 10, - 10,10 , - 10, - 10,0这组新数据的平均数为：2x10+4x0+ X 一 1。2 + 4 + 4= 2,该学生平均每天完成家庭作业所需时间为：70+( 2) =68(分钟).111 .解：该组数据的平均数x =4(28+x),中位数一定是其中两个数的平均数.分类讨论如下：- 1当xW8时，原始数据按从小到大的顺序排列为：x,8,10,10.则中位数为-(10 +8) = 9.1因为这组数据的中位数与平均数相等，所以x =-(28 +x) = 9.解之得x=8,符合题意.1当8x10时，原始
13、数据按从小到大的顺序排列为：8,10,10 , x.则中位数为-(10 + 10)= 10.因为这组数据的中位数与平均数相等，1所以x = 4(28 + x) = 10.解之得x=12,符合题意.综上所述，当x= 8时，这组数据的中位数为9;当x = 12时，这组数据的中位数为10.12 .解：(1)由频率分布直方图的意义可知，各小组频率之和为1,故第四小组频率为 1 (0.1 +0.3 +0.4) = 0.2.(2)第一小组的频数为 5,频率为0.1 ,5故总人数为0不=50(人).，. 1(3)众数为 112,中位数为 99.5 +4(124.5 -99.5) 105.8,平均数为 62X
14、0.1 +87X0.3 +112X0.4 + 137X0.2 =104.5.学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做 300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手 300下，哪个同学坚持了，有 90%的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80%。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我
15、，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。了这句话充分说
16、明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法， 书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、
17、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自 己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的 方式能让读者有种豁然开朗的感觉， 除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己， 不论对学习还是生活都有帮助。 除了 “针对性” 强外， 本书第二大特点就是 “全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章
18、节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划” 、 “笔记” “阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货” ，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、 “错误的方法”和“积极的行为”、 “消极的行为” ，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，
19、 “正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为， “错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法 -青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的
20、副标题为“增加学习技能与脑力” ，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括 7 个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑
21、力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，
22、她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读
23、结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，游刃有余地攻克自己之前没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓解紧张的方法我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提到的方法，定能在学习中得到提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事，
24、在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样，不要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，对自己的收益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就看的比较费力，现在好了，作者也不等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导。从而她的有些观点就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。