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1、北师大版七年级下册数学培优压轴题12.解答题（共8小题）1.已知四边形 ABCg, AB=BC /ABC=120 , / MBN=60, Z MBNgg B点旋转，它的两边分别交 AR DC （或它们的延长线）于 E, F.当/MBNg B点旋转到AE=CW （如图1）,易证AE+CF=EF 当/MBNgg B点旋转到AEwCF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给 予证明；若不成立，线段 AE, CF, EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.2 . （1）如图，在四边形 ABCW, AB=AD / B=/ D=90 , E、F分别是边BG CD上的点,且/E
2、AF=_/ bad 求证:2EF=BE+FD（2）如图，在四边形 ABCtfr, AB=AD / B+/ D=180 , E、F分别是边BG CD上的点,/BAD (1)中的结论是否仍然成立?且/SEC(3)如图，在四边形 ABCDfr, AB=AD / B+/ ADC=180 , E、F分别是边BC CD延长线上的点, 且/EAF号/ BAD (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数 量关系，并证明.3 .如图1,将两个完全相同的三角形纸片 ABC口 DEC!合放置，其中/ C=90 , / B=/ E=30 (1)操作发现：如图2,固定 ABC使4DE微点C
3、旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ;设BDC勺面积为S, AEC勺面积为S2,则Si与&的数量关系是.国1(2)猜想论证：当4DE侬点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中&与S2的数量关系 仍然成立，并尝试分别作出了 BDCffiAAEC BG CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究：已知/ ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD= 4DE/ AB交BC于点E(如图4) .若 在射线BA上存在点F,使Sadc=Sxbde,请直接写出相应的BF的长.4 .如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点（P不与A, B重合），分别以AR
4、 PB为边 向线段AB的同一侧作正 APCffi正zPBD（1）当APCfPBD勺面积之和取最小值时，AP=;（直接写结果）（2）连接AD BG相交于点Q,设/AQC=,那么a的大小是否会随点 P的移动而变化？请说明 理由；（3）如图2,若点P固定，将 PBDgg点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180 ）,止匕时a的大小是否发生变化?（只需直接写出你的猜想，不必证明）5 .如图1, RtzXABC中AB=AC点D E是线段AC上两动点，且 AD=EC AM垂直BR 垂足为 M AM 的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断 DEF的形状，并加以证明.说明：（1）如果你经历反复
5、探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明.1、画出将 BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90后图 形；2、点K在线段BD上，且四边形AKN等腰,$形（AC/ KN,如图2）.附加题：如图3,若点D E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断 DEF的形状，并说明理 由.6.如图，已知等边三角形AB/,点D, E, F分别为边AB, AG BC的中点，M为直线BC上一动点， DMNfc等边三角形(点 M的位置改变时， DM他随之整体移动).(1)如图1,当
6、点M在点B左侧时，请你判断EN与MFt怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？ 都请直接写出结论，不必证明或说明理由；(2)如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF的数量 关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由.M/F CBN 圄7.已知：等边三角形 ABC (1)如图1, P为等边 ABCPC AP之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图2, P为等边 ABC内一点，且/ APD=120 .求P
7、国1/月众期 F。3fC图图卜一点，且/ BPC=120 .试猜想线段 BR证：PA+PD+PCBD图28.认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：(a+b) 1=a+b,(a+b) 2=a2+2ab+t2, (a+b) 3= (a+b) 2 (a+b) =a3+3a2b+3ab2+b3,下面我们依次对(a+b) n展开式的各项系数进一步研究发现，当 n取正整数时可以单独列成表中的 形式：评取-1 1(a+b?121(a+b) 13 3 1(a+bt14641值十b,15 10 10 5 1但4bH16 15 20 15 61上面的
8、多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列 问题：(1)多项式(a+b) n的展开式是一个几次几项式 ?并预测第三项的系数； (2)请你预测一下多项式(a+b) n展开式的各项系数之和. (3)结合上述材料，推断出多项式(a+b) n (n取正整数)的展开式的各项系数之和为 S,(结果用 含字母n的代数式表示).北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析1、【解答】AB，AD, BdCR AB=BC AE=CF在AABE和ACBF中， rAB=EC-090中 , .AB草BF (SAS; . / ABE力 CBF BE=BF-/ ABC=120
9、, / MBN=6 0, 、AE=CF ./ABEW CBF=30 , . . AE=-BE, CF=BF; / MBN=60, BE=BF BEF为等边三角形；22. ae+cf=be+Lbf=be=ef22BCK二90AE=CK图2成立，图3不成立.证明图2.延长DC至点K,使CK=AE连接BK在 BAE和4BCK中,贝IJBA草 ABCIK - BE=BK / ABEW KBC -/ FBE=60 , / ABC=120 , ./FBC吆 ABE=60 , . . / FBC吆 KBC=60 , . . / KBFW FBE=60 ,在4KBF和 AEBF中, 陟BEZKBF=ZEBF
10、- AKBFAEBF . KF=EF . . KC+CF=EF 即 AE+CF=EF RF=BF图3不成立，AE CF、EF的关系是AE- CF=EF2.【解答】(1)延长EB到G,使BG=DF连接AG/ABGW ABCW D=90 , AB=AD .AB AADF .AG=AF/1=/ 2. /1 + /3=/2+/3=/EAF=/BAD / GAE= EAE 又v AE=AE .AEAAEF . EG=EF.EG=BE+BG； EF=BE+FD (D 中的结论 EF=BE+F邱然成立.(3)结论EF=BE+FDT成立，应当是 EF=B曰FD.证明：在BE上截取BG使BG=DF连接AG/B+
11、/ ADC=180 , /ADF吆 ADC=180 ,/ B=Z ADF v AB=AQ AB AADF丁 / BAGW DAF AG=AF. / BAG+ EADW DAF它 EADW EAF:/ BAD 2 ./GAEWEAF v AE=AE . .AE MEF . . EG=EE EG=BE BG . . EF=BE FD.3【解答】(1)一口%点C旋转点D恰好落在AB边上，. AC=CD. /BAC=90 - / B=90 30 =60 , .ACD等边三角形，. / ACD=60 ,又./CDE= BAC=60 , . ./ACD= CDE-DE/ AQ. /B=30。，/ C=90
12、。， . CD=AC=AB, . . BD=AD=AC根据等边三角形的性质， ACD的边AG AD上的高相等，. BDC的面积和 AEC勺面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即 Si=&;故答案为：DE/ AQ Si=S;(2)如图，DECg由ABCgg点 C旋转得到，. BC=CEAC=CD/ACN廿 BCN=90 , / DCM +BCN=180 90 =90 , . . / ACNh DCM :在 AC明口DCK, rZACN=ZDCffi，.AC阵ADCIM(AAS, . AN=DMlAC=CD .BDC的面积和AEC勺面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即$=5;(3)如图，
13、过点D作DF/BE,易求四边形BEDF是菱形，所以BE=DF,且 BE、DF上的高相等，止匕时 &dcf=Sabde；过点 D作 DFLBR = / ABC=60 , F1D/ BE, /F2F1D=/ ABC=60 , . BF=DF, / F1BDI/ABC=30 , / F?DB=90 , . . / FDE=/ ABC=60 , 2.DFF2是等边三角形，.二DF=DF,=BDuCD / ABC=60，点D是角平分线上一点， . / DBCW DCB/ X 600 =30 , . ./CDF=180 - / BCD=180 - 30 =150 ,/CDF=360 150 60 =150
14、 ,/ CDF=/CDF, :在CDF和CDF中，DF二 Df ZCIffZCEF,.CD庶ACDF (SAS, 二点 F2也是所求的点，CD=CD . /ABC=60，点 D是角平分线上一点，DE/ AB, . . / DBCW BDEN ABD=X60 =30 ,又BD=4. BE!X 4 + cos30。=2+、 =沔,;BF与反，bFfBF+FE通性叵业应，2233333故BF的长为当过或当过.334.【解答】(1)设AP的长是x,贝U BP=2a- x,Saapc+SLpb4x湎xJ (2ax)破 (2a-x) 2222a；=V5x2-3ax+/3a2,当x=-也=-二近亘=a时AP
15、Ct PBD的面积之和取最小值，故答案为:(2) a的大小不会随点P的移动而变化，理由：APC是等边三角形，PA=PC /APC=60 ,. BDP是等边三角形，PB=PD / BPD=60 ,./APCN BPD . . / APDW CPB .APD ACPEB /PADW PCB -/ QAP+QAC+ACP=120 , ./QCP+QAC+ACP=120 , ./AQC=180 120 =60 ;(3)此时a的大小不会发生改变，始终等于 60 .理由：APCg等边三角形， PA=PC /APC=60 , . BD明等边三角形，. PB=PD / BPD=60 , . . / APCW
16、BPD ./APDW CPB APD ACPEB/ PADW PCB / QAP廿 QAC+ACP=120 , ./QCP+QAC+ACP=120 , ./AQC=180 120 =60 .5【解答】DEF是等腰三角形；证明：如图，过点 C作CP!AG交AN延长线于点P. RtABC中 AB=AC /BAC=90 , / ACB=45 . ./PCN=ACB / BADW ACP. AML BR / ABD它 BAM= BAM+CAP=90 ;/ ABDW CAP .BAD AACP 二 AD=CP / ADBW P; v AD=CE , CE=CP = CN=CN 二 CP隼 CEN. ./
17、P=/ CEN . ./CEN=ADB/FDEW FED DEF是等腰三角形.附加题：4DEF为等腰三角形；证明：过点 C作CP!AG交AM的延长线于点P. RtABC 中 AB=AC /BAC=90 , / ACB=45 ;/ PCN=T ACBW ECN AML BR /ABD廿 BAM=BAM+CAP=90 ;/ ABDN CAP .BAD AACFP . AD=CP / D=/ P;1 AD=EC CE=CP 又= CN=C N CP阵 ACEIN/ P=/E;./D=/E;.DEF为等腰三角形.DAg3RP6【解答】（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF,点F在直线NE上，（2）成
18、立.连接 DF, NF,证明4DB林口 DFNir等(AAS , .ABC等边三角形，AB=AC=BC 又D, E, F 是三边的中点，EF=DF=B F/ BDM+MDF=6 0, / FDN廿 MDF=6 0, ./ BDM=FDN/BDIkNFDN在DBMK4DFN中，/AM=/DFN, .DB阵 DFN . . BM=FN / DFNW FDB=60 , 、DM=DN2 .NF/ BR , E, F分别为边AG BC的中点，.二EF是AABC的中位线，. EF/ BR3 .F 在直线 NE上，v BF=EF MF=EN（3）如图，MF与EN相等的结论仍然成立（或 MF=N球立）.连接D
19、R DE,由（2）知 DE=DF / NDEh FDM DN=DM.DN窜ADMF MF=NErDE=F在 ADNEJ 口 DMN, ZNDE=ZFDJI、DN二DM7.【解答】AP=BP+PC(D 证明：延长BP至E,使PE=PC连接CE, =/ BPC=120 , ./CPE=60 ,又 PE=PC .CP助等边三角形，. CP=PE=GE/PCE=60 ,ABC为等边三角形，. AC=BC / BCA=60 , . . / ACBN PCE . . / ACB+： BCPW PCE+： BCP 即：/ACPW BCE AC国 ABCE (SAS, . AP=BE -BE=BP+P E .
20、 AP=BP+P C(2)证明：在AD外侧作等边 AB D,则点P在三角形ADB外，连接PB, BC,Z APD=120 .由（1）得 PB =AP+PD 在PB C 中，有 PB +POCB , .PA+PD+PCCB , AB D ABC是等边三角形，. AC=AB AB =AD /BACW DAB =60 , . . / BAC它 CADW DAB +/ CAD 即：/ BADW CAB , . .AB 8AADB ；CB =BQ . PA+PD+PCBD8.【解答】解：（1）二.当n=1时，多项式（a+b） 1的展开式是一次二项式，此时第三项的 系数为：。9,2当n=2时，多项式（a+
21、b） 2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1金督，当n=3时，多项式（a+b） 3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3色2,当n=4时，多项式（a+b） 4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6色鼻， 多项式（a+b） n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为： 或竺文；2（2）预测一下多项式（a+b） n展开式的各项系数之和为：2n;（3）二.当n=1时，多项式（a+b） 1展开式的各项系数之和为：1+1=2=2,当n=2时，多项式（a+b） 2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=。，当n=3时，多项式（a+b） 3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=2, 当n=4时，多项式（a+b） 4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=2, 多项式（a+b） n展开式的各项系数之和：S=2.