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1、高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解、选择题1.（2010山东日照模考）a= 2xdx,2exdx, c= 2sinxdx,则00a、b、c的大小关系是A.acbB.abcC.cbaD.ca2，c=2sinxdx = cosx|02 = 10cos2 C (1,2). cab.2. (2010山东理,7）由曲线y=x2,y = x3围成的封闭图形面积为1B.41C.37D.12答案解析2y= xy=x3得交点为（0,0）(1,1) . S=1(x2 x3)dx=03x3-4x401112.点评图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分
2、，请再做下题:（2010湖南师大附中）设点P在曲线y=x2上从原点到 A（2,4）移动，如果把由直线 OP ,直线y=x2及直线x = 2所围成的面积分别记作 S1, S2.如图所示，当S1=S2时，点P的坐标是（A.1694B. 5169C.1574D. 5137答案解析设 P(t,t2)(0wtW2),则直线 OP：y=tx, . Si= t(tx x2)dx=g； S2= 2(x2-tx)dx 0t8t3 什皿 44 16=3 2t,右 Si=S2,则 t=3，p 3, 9-.3.由三条直线 x= 0、x= 2、y=0和曲线y=x3所围成的图形的面积为 ()A. 4B.4C.18D. 6
3、3 5答案A4解析S= 2x3dx= 4 o2=4. 04 . (2010湖南省考试院调研)1 1(sinx+1)dx的值为()A. 0B. 2C. 2 + 2cos1D. 22cos1答案B解析1 1(sinx+ 1)dx=( cosx+x)| 11 = ( cos1 + 1)( cos( 1)1)= 2.5 .曲线y= cosx(0wxw 2 nt后直线y= 1所围成的图形面积是()A. 2兀B. 3兀C.32D.兀答案1A.解析如右缸黑S= / 2 铝-cosx)dx日=(x sinx)1027t= 2 兀.点评此题可利用余弦函数的对称性面积相等解决，但若把积分区间改为兀，则对称性就无能
4、为力了.66.函数 F(x)= xt(t-4)dt 在1,5上()0A.有最大值0,无最小值B.有最大值0和最小值-323C.有最小值-萼，无最大值3D.既无最大值也无最小值答案B解析F (x) = x(x 4),令 F (x)=0,得 x=0, x2=4,7-F(-1)=-3, F(0) = 0,3225F(4) = 一互，F=-3.最大值为0,最小值为-32.点评一般地,F(x) =x(f(t)dt 的导数 F (x)=(f(x).07.已知等差数列 an的前n项和Sn=2n2+n,函数 f(x) =-dt,若 f(x)a3,则 x 的取 11值范围是（）B. (0, e21)C. (e1
5、1, e)D. (0, e11)答案解析f(x) =1vx-dt= lnt|1 = lnx,11a3= S3 S2= 21 10= 11,由 lnx11 得，0xe11.8. （2010福建厦门一中）如图所示，在一个长为兀，宽为2的矩形OABC内，曲线y =（该点落在矩形sinx（0WxW nt后x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC内随机投一点OABC内任何一点是等可能的）,则所投的点落在阴影部分的概率是（）y=ninx*1 A.- 兀2 B- 兀3C-兀兀D.4答案解析由图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得S= 7t0SS矩形OABC()3 A.2B. 1C.
6、41D.2sinxdx= cosx|o（cos fcos0）= 2,再根据几何概型的算法易知所求概率2_ 12兀 Ttx + 2 -2x09. （2010吉林质检）函数f（x）=兀 的图象与x轴所围成的图形面积S为2cosx 0x-答案CA .一一一一C 兀C 兀解析面积 S=/q 2f(x)dx= 02(x+2)dx+/ 2o2cosxdx = 2 +2= 4.10. (2010沈阳二十中)设函数f(x) = x-x,其中x表示不超过x的最大整数，如1.2=2, 1.2=1, 1 = 1.又函数g(x) = -x, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m, f(x)与g(x)3的图象交点
7、的个数记为n,则ng(x)dx的值是()mB.A.C.D.答案A解析由题意可得，当0Vx1时,x=0f(x)=x,当 1xc,1b2db由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p=；义1 =；.12. (2010吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1),曲线y=x2(x 0)与x轴，直线x=1构成区域 M,落在区域M内的概率是()1 A.21B.4C.32 D.5答案C解析如图，正方形面积1,区域M的面积为S= 1x2dx0=-x301=故所求概率 p=-. 333二、填空题13. (2010 芜湖十二中)已知函数 f(x)=3x2+2x+ 1
8、,若 11f(x)dx= 2f(a)成立，则 a =一, 1答案1或13解析: 1 - 1f(x)dx= 1 1(3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)| 11=4,1 - 1 f(x)dx= 2f(a), -6a2 + 4a+2 = 4,-a= - 1 或1.314.已知a= 2 20(sinx+ cosx)dx,则二项式(aVx 仁)6的展开式中含x2项的系数是答案192=2,解析n n n由已知得 a= J 20(sinx+cosx)dx= (cosx+ sinxn (sin2 cos?) (sin0 cos0)(2侦1 c网)6 的展开式中第 r+1 项是 Tr+1 = (-1)r
9、xC6rX26-rXx3-r,令 3r = 2 得，r=1,故其系数为(1)1XC61X 25= 192.15.抛物线y2=2x与直线y= 4 x围成的平面图形的面积为答案18y2=2xy2解析由方程组解得两交点A(2,2)、B(8, 4),选y作为积分变量x=彳x=4 y. S=2-4(4-y)-y22dy=(4y-：2-y6-)| 42=18.16. (2010安徽合肥质检)抛物线y2=ax(a0)与直线x= 1围成的封闭图形的面积为3若直线l与抛物线相切且平行于直线2x-y+ 6= 0,则l的方程为 答案16x 8y+1=02解析由题息知1yaxdx=w，a=i, -3设l: y=2x+
10、b代入y2=x中，消去y得，4x2+(4b-1)x+ b2=0, /日 1由 A=。得,b =- 8. l 方程为 16x- 8y+ 1= 0.17. (2010福建福州市)已知函数f(x) = - x3+ax2+bx(a, bCR)的图象如图所示，它与 x 轴在原点处相切，且 x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为 二，则a的值为答案1解析f (x) = 3x2+2ax+b,f (0) = 0,，b= 0,，f(x) = x3+ax2,得 x= 0 或 x= a(a0).c O 1/1S阴影= 0(x3+ax2)dx= Y2a4=i2, ，a=1. a三、解答题令 f(x)=0,使图中阴影18.如图所示，在区间0,1上给定曲线y = x2,试在此区间内确定 t的值, 部分的面积S1+S2最小.2 o解析由题思得S1 = 11 txdx=Qt ,3 0S2= 1x2dx 12(1 t) =；t312 + 3, t所以 s= S1 + S2=4t3-t2+1(0t 1).1又 S (t) = 4t2-2t = 4t t-2 ,一一 1 .令 S (t)=0,得 t=11 或 t=0.1 . 1因为当 0Vt2时，S (t)0;当 20.，、1 ，、，、1，、一所以S(t)在区间0, 2上单调递减，在区间 2, 1上单调递增.，,1 .1所以，当t=2时，Smin = 4.