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1、材料力学高等教育出版社孙训方习题2-2 一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx*2 ,试做木桩的后力图。解：由题意可得:l1 33fdx F,有kl3 F,k 3F/l303l233Fn(Xi)03Fx2/13dx F(Xi/1)3习题2-3石砌桥墩的墩身高l10m,其横截面面尺寸如图所示。荷载F 1000kN ,材料的密度2.35kg/m3,试求墩身底部横可编辑范本截面上的压应力。N (F G)Al g2-31000 (33.14 12) 102.359.83104.942(kN)墩身底面积:A (3 2 3.1412)9.14(m2)因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正
2、应力均匀分布。3104.942kN一 .2339.71kPa0.34MPa9.14m习题2-7图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。2-7图解：取长度为dx截离体(微元体)。则微元体的伸长量为:d( l)FdxEA(x)lqdx0 EA(x)F l dxE 0 A(x)r ri2rir2rixlrid2di x 2ldi2，A(x)d22ldlxdid2d(2ld1d1x ) du2d2 d12ldxdx一2一dud2 didx雨2ld2 di2udu2l(di因此,1 dx2FlE 0 A(x)E(di d2)l0(du.-2 ) u2FlE(di d2)2Fl E(diid2) d2
3、didi/ x2l2 02Fl iiE(di d2) d2 di di di12l 222Fl 224FlE(di d2) d2 diEd1d2习题2-i0受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,试求C与D两点间的距离改变量 cd。EA式中A (a)2 (a )2 4a ,故:a FF-, a a a a4Ea4EF-2 23 2, 145a a , CD 、ka) (z a) a4E124EaCD尖叫2一 145a12(CD).145C D CD (a a)12145 F12 4E1.003 4E习题2-11图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1, 2, 3 材料相
4、同，其弹性模量 E 210GPa,已知l 1m, A1 A2 100mm2 , A 150mm2, F 20kN。试求C点的水平位移和铅垂位移。2-11 图解：（1）求各杆的轴力以AB杆为研究对象，其受力图如图所示因为AB平衡，所以X 0, N3cos45o 0 , N30由对称性可知，CH 0, Ni N2 0.5F 0.5 20 10(kN)(2)求C点的水平位移与铅垂位移。A点的铅垂位移:0.476mmNil10000 N 1000mm22EA1210000N / mm 100mmB 点的铅垂位移：12 M 10000N 12000mm 2 0.476mmEA2210000N/mm2 1
5、00mm21、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由 1、2、3杆的变形协（谐）调条件，弁且考虑到AB为刚性杆，可以得到C 点的水平位移：CH ah bh11 tan45o 0.476（mm）C点的铅垂位移：c11 0.476（mm）习题2-12图示实心圆杆 AB和AC在A点以较相连接，在 A点作用有铅垂向下的力F 35kN 0已知杆 AB和AC的直径分别为d1 12mm和d2 15mm,钢的弹性模量E210GPa 0试求A点在铅垂方向的位移。解：（1）求AB AC杆的轴力以节点A为研究对象，其受力图如 图所示。由平衡条件得出：X 0 - N AC sin 30o NAB sin45o 0
6、ACAB习君2-1：图(a)(b)nac 2NabAC ABY 0 - Nac cos30o Nab cos45o 35 0 ACABJ3Nac V吃Nab 70(a)(b)联立解得：NabN1 18.117kNNac N225.621kN(2)由变形能原理求A点的铅垂方向的位移1N1211N；l2 F A 22EA2EA2221Mn、AF(_EATeaT)式中I11000/sin 45o 1414(mm) ; I2 800/sin30o 1600(mm)222 2A1 0.25 3.14 12113mm ; A2 0.25 3.14 15177mm故:1181172 1414 256212
7、1600、a() 1.366(mm)35000 210000 113210000 177习题2-13图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d 1mm的钢丝，在钢丝的中点 C加一竖向荷载Fo已知钢丝产生的线应变为0.0035,其材料的弹性模量E 210GPa,钢丝的自重不计。试求：(1)钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉，在断裂前 可认为符合胡克定律)；(2)钢丝在C点下降的距离 ；(3)荷载F的值。解：(1)求钢丝横截面上的应力可编辑范本E 210000 0.0035 735(MPa)(2)求钢丝在C点下降的距离7(mm)。其中，AC和 BC各 3.5mm。Nll“L 2000735 -E
8、AE 210000cos-1000- 0.9965122071003.51000oarccos( ) 4.78673390 1003.51000 tan 4.7867339083.7(mm)(3)求荷载F的值以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：Y 0: 2Nsina P 0P 2Nsina 2 Asin _2_02 735 0.25 3.14 1 sin4.78796.239(N)习题2-15水平刚性杆 AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量 E=210Gpa
9、求：(1)端点A的水平和铅垂位移。(2)应用功能原理求端点 A的铅垂位移。解：(1)二占1 3fdx F,有一kl3 F03k 3F/l3l 233FN(x1)o3Fx /l dx F(x1/l)FN3 cos45o 0Fni F2 FN3Sin45o F 0F 0.45 FN1 0.15 0F160KN,F1401KN,F1 0KN ,由胡克定理，11l23.874.76FN1160 107 0.15EA1210 109 12 10 6FN2140 107 0.15EA,210 109 12 10 6从而得，Ax12 4.76,Ay12 211 3 20.23()(2)V F Ay F111
10、+F212 0Ay 20.33()习题2-17简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度1保 持不变，斜杆AB的长度可随夹角 的变化而改变。两杆由同一种 材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。 要求两杆内 的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：(1)两杆的夹角;(2)两杆横截面面积的比值。解：(1)求轴力取节点B为研究对象，由其平衡条件得：Y 0N Ab sin F 0 abN ABFsin0N AB cosN BCN BC N AB C0scos Fcot sin2-17(2)求工作应力N abAbaABAab sinN BCBCABCF cotABC(3)求杆系的总
11、重量W V( aab l ABABC l BC ) 是重力密度(简称重度,单位：kN/m3)。(AabAbc l)cos1 A 、l (Aababc )cos(4)代入题设条件求两杆的夹角条件：abN abAabFAab sinAabFsinBCN BCAbcF cotAbcAbcF cot条件：W的总重量为最小。1、W1(Aab Abc)cos1(Aa,1BcosABC )l(F1sincosF cot(sin cos1 cossin可编辑范本Fl 1 cos22Fl 1 cos2sin cossin 2从W的表达式可知，W是 角的一元函数。当 W的一阶导数等于零时，W取得最小值。2dW 2
12、Fl2cos sin sin2(1 cos ) cos2 2sin2 2sin2 2sin2 23 cos2 cos2 2 022 _3cos2 cos 203 cos21 , cos2 0.33332 arccos( 0.3333) 109.470,54.74054o44(5)求两杆横截面面积的比值Fsin ABCF cot因为:习题2-18_Fsin F cot TT3cos2cos所以:1sin cot1 cos2 cos，,3cosAababc.3一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力170MPa ,试选择 AC 和 CD220 kNZEOkN的角钢型号。解：(1
13、)求支座反力由对称性可知，RA RB 220kN()(2)求AC杆和CD杆的轴力以A节点为研究对象，由其平衡条件得：Y2-18RA N AC cos 0Nac 2 翌 366.667(kN) sin 3/5以C节点为研究对象，由其平衡条件得：X 0N cd N Ac c0s0220Ncd NAc cos 4/5 293.333(kN)3/5(3)由强度条件确定AG CD杆的角钢型号AC 杆：Nac 366667 N22AACAC2 2156.86mm2 21.569cm2170N /mm选用 2匚 80 7 (面积 2 10.86 21.72cm2)。293333N2170N /mmCD杆：_
14、2 21725.488mm17.255cmNCDACD 3 选用 2 匚 75 6 (面积 2 8.797 17.594cm2 )。习题2-19 一结构受力如图所示，杆件 AB CD ER GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力170MPa ,材料的弹性模量E 210GPa,杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，弁分别求点D C、A处的铅垂位移 D、C、A。解：(1)求各杆的轴力32Nab 32 300 240(kN)408Ncd 08 300 60(kN) 4Mf 0N 3 300 1.5 60 1.2 0GH2-191Ngh -(450 72) 174(kN)3Y 0Ne
15、f 174 60 300 0Nef 186(kN)(2)由强度条件确定AG CD杆的角钢型号AB 杆:N AB240000 N170N / mm2. 2._21411.765mm14.12cm选用 2匚 90 56 5 (面积 2 7.212 14.424cm2)。CD杆：A N CD 60000 N22Acd 2 352.941mm3.529cm170N/mm2选用 2L 40 25 3 (面积 2 1.89 3.78cm2)。EF杆：AefN EFn186000N . .2170N/mm 一 一 2 一 一 21094.118mm10.412cm选用 2L 70 45 5 (面积 2 5.
16、609 11.218cm2)。GH杆：AghN GH174000N222 1023.529mm210.353cm2170N / mm(3)选用2L 70 45 5 (面积25.609 11.218cm2)。求点D C、A处的铅垂位移l ABN abIAB240000 3400l CDEAabN CDlcDEAcd210000 1442.42.694 2.7(mm)60000 12000.907(mm)210000 378IefN EFl EFEAef186000 20001.580(mm)210000 1121.8lGHNGH lGH174000 2000EAgh210000 1121.81.
17、477(mm)EG杆的变形协调图如图所示。D l EF1GH1gh1.8D 1.4771.81.580 1.4773D 1.54(mm)C D lCD 1.54 0.907 2.45(mm)a Iab 2.7(mm)习题2-21(1)刚性梁AB用两根钢杆AC BD悬挂着，具受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为 di 25mm和d2 18mm,钢的许用应力170MPa ,弹性模量E 210GPa。试校核钢杆的强度，弁计算钢杆的变形AC、1BD及A、B两点的竖向位移A、 BO解：(1)校核钢杆的强度求轴力N ACN BC34.51.54.5100 66.667(kN)100 33.333(
18、kN)计算工作应力N AC66667 N22Aac0.25 3.14 25 mm135.882MPa2-21Nbd33333NABD0.25 3.14 182 mm2131.057MPa 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa即AC ； BD ，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。(2)计算l AC、 l BDl ACN AC l AC66667 2500EAac210000 490.6251.618(mm)l BDN BD l BDEAbd33333 2500 1.560(mm)210000 254.34(3)计算A、B两点的竖向位移 a、 ba lAc 1.618(mm)
19、 , b Ibd 1.560(mm)习题3-2实心圆轴的直径d 100mm,长l 1m,其两端所受外力偶矩Me 14kN m ,材料的切变模量G 80GPa。试求：(1)最大切应力及两端面间的相对转角；(2)图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向;(3) C点处的切应变。解：(1)计算最大切应力及两端面间的相对转角maxMeoWp式中，Wp - p 16d31 3.14159 1003 196349(mm3)。3-216故:MemaxWp14 106 N mm196349mm371.302MPa14144Id d 3.14159 1009817469(mm )。p 3232故:0.017
20、8254(rad) 1.02o14000N m 1mGI p_ 92_ 12480 10 N /m 9817469 10 m(2)求图示截面上 A B、C三点处切应力的数值及方向max 71.302MPa ,由横截面上切应力分布规律可知:1C - B 0.5 71.302 35.66MPa, A、B、C二点的切应力万 2向如图所示。(3)计算C点处的切应变c 35.66MPa43c - 34.4575 100.446 10G 80 10 MPa习题3-3空心钢轴的外径D 100mm,内径d 50mm。已知间距为l 2.7m的两横截面的相对扭转角1.8,材料的切变模量G 80GPa。试求:(1)
21、轴内的最大切应力;(2)当轴以n 80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。解；(1)计算轴内的最大切应力Wp32D4(14)A。3(14)1,3.14159 10043213 3.14159 100316(1(1式中,d/D 。0.54) 9203877(mm4)。0.54) 184078(mm3)GI pl1.83.14159/180 80000N/2700mm2 mm 49203877 mmmax856301445N mm 8.563(kN m)TWp8563014.45N mm ,346.518MPa184078mm(2)当轴以n 80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率Nk9.5
22、49 k n9.549 . 8.563(kN m)80Nk 8.563 80/9.54971.74(kW)习题3-5图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN,已知轴材料的许用切应力40MPa ,求:(1) AB轴的直径;(2)绞车所能吊起的最大重量。解：(1)计算AB轴的直径AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶矩相等:Me左Me右0.20.4 0.08(kN m)M e主动轮2M0.16(kN m)图 如 图 所3-5由AB轴的强度条件得:Me 右16Me 右 maxWpd3 16Me右 , 16 80000N mm 3 e 3921.7mm3.141
23、59 40N/mm2(2)计算绞车所能吊起的最大重量0.350.16 0.28(kN0.20m)主动轮与从动轮之间的啮合力相等:M e主动轮M e从动轮77 C CL ， M e从动轮0.20.35由卷扬机转筒的平衡条件得:P 0.25 Me从动轮,P 0.25 0.28 P 0.28/0.25 1.12(kN)习题3-6已知钻探机钻杆(参看题3-2图)的外径D 60mm,内径d 50mm,功率P 7.355kW ,转速n 180r/min,钻杆入土深度l 40m,钻杆材料的G 80GMPa ,许用切应力40MPa。假设土 壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：(1)单位长度上土壤对钻杆的阻
24、力矩集度m ；(2)作钻杆的扭矩图，弁进行强度校核；(3)两端截面的相对扭转角。解：(1)求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度mNk7.355Me 9.549 k 9.549 0.390(kN m)n180设钻杆轴为x轴，则： M x 0, ml Me,M e 0.390 m - 0.00975(kN/m)l 40(2)作钻杆的扭矩图，弁进行强度校核作钻杆扭矩图0.39T (x) mx x400.00975x。 x 0,40T(0) 0 ;T(40)Me 0.390(kN m)扭矩图如图所示强度校核,maxMeWpWP1161D3(14)3.1415916350 43603 1 ( )4 219
25、58(mm3)maxMe 390000N mmWp21958mm317.761MPa因为 max 17.761MPa , 40MPa，即 max ,所以轴的强度足够，不会发生破坏。(3)计算两端截面的相对扭转角40 T(x)dx0 GIp32D4(14)32“50 ”“3.14159 604 1 ()4 658752(mm4)40 1T (x) |dx0 GIpGIp 0400.00975xdx0.0097580 106kN/m2 658752 10 12 m42土402 000.148(rad) 8.5习题3-8直径d 50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力 偶Me 6kN m ,而在圆
26、杆表面上的 A点将移动到Ai点，如图所示已知s AA1 3mm ,圆杆材料的弹性模量(提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G 间存在如下关系：G E。 2(1)解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：T Me 6kN m。设O,Oi两截面之间的相对E 210GPa,试求泊松比对转角为，则s2 s T l2s.,式d GI pd32d41,3.14159 50432613592(mm4)3-8T l d2Ip s6 106N mm 1000mm 50mm42 613592mm 3mm81487.372MPa81.4874GPa由 G E一得：-E- 1 -210一 1 0.2892(1)2G 2 81.
27、4874习题3-10长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d;空心轴的外径为D,内彳仝为d。，且5 0.8。试求当空心轴与实心 D轴的最大切应力均达到材料的许用切应力( max ),扭矩T相 等时的重量比和刚度比。解：(1)求空心圆轴的最大切应力，弁求DoTmaxWp式中，Wp d3(14),故:p 1616T27.1T2空 D3(1 0.84) D3 327.1T3-10(1)求实心圆轴的最大切应力maxW?式工WpAd3，故:p16T16Tmax,实3373d dd3 16T()3 271T1.69375, D 1.192 d 16
28、Td(3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比W空0.25 (D2 do) l0.25 d2 12_2D 22(1 0.82)0.36()2d20.36 1.19220.512(4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比1_ 4_4_ 4I P空一 D4(10.84)0.01845D4, I p实32GIp空0.01845 D4D 4- 丁 0.5904(-)4 0.5904GIp实0.03125 d4dd4321.19240.03125 d41.192习题3-11全长为1,两端面直径分别为di,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩M,如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。解：如图所示,取微元体dx,则其两端
29、面之间的扭转角为:, M edx d GIp式中，Ip132d4r 11x1r1d2 d1x2l2rd2 d1xld1d4d2 d1(TxdJ4dud2 d121dx1dxd2ldu d1l M edx0 GIpMeGl dx0 IpMeGl 32dx0-dT32MG0u4q du d2 d132Me1G(d2 d。l du0 u432M el1 du-4G(d2 di) 0u32MelG(d2dij 3u3032Mel1-33 G(d2 di) d2 di , -x d11032M el113 G& di) dj d332Meldi3 d33 G(di d2)di3d332M el d2 d
30、id2 d13 Gd；d；习题3-12已知实心圆轴的转速n 300r/min ,传递的功率p 330kW ,轴材料的许用切应力60MPa ,切变模量 G 80GPa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过i。，试求该轴的直径。解:T l Mel , 1 GIp GIp 180式中M e 9.549 N9.549 33010.504( kN m) ;I pd4 o 故:n300p32180M el14180M eld4-G32 180M el2G4 32 180 10.504 106 N mm 2000mm ,3.142 80000N / mm2111.292mm取 d 111.3mm o习题3-1
31、6 一端固定的圆截面杆 AB,承受 集度为m的均布外力偶作用，如图所示。试 求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量 为Q解：dV_ 22 2_2 2T (x)dx m x dx 16m x dx2Glp2 gd4d4G3216m2 d4Gx2dx02, 316m l43 d4G2. 3m l146 d4G322. 3 m l6GI 03-16习题3-18 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力 F如图，簧丝 直径d 10mm,材料的许用切应力500MPa ,切变模量为G,弹 簧的有效圈数为no试求：(1)弹簧的许可切应力;解：(1)求弹簧的许可应力(2)证明弹簧的伸长 察(R1R2)(R2 R22)
32、。用截面法，以以簧杆的任意截面取 出上面部分为截离体。由平衡条件可知, 在簧杆横截面上：剪力Q F扭矩T FR最大扭矩：Tmax FR2maxQ Tmax 4F 16FR2 16FR2 dA Wp d2 d3 d34R2Fd33.14 103 mm3 50一加环 957.3N16R2(1 )16 100mm(1 10mm )4R24 100mm因为D/d 200/10 20 10,所以上式中小括号里的第二项，即由Q所产生的剪应力可以忽略不计。此时Fd3d16R2(1 )4R23.14 103mm3 500N/mm216 100mm981.25N外力功：W 2F证明弹簧的伸长 等(R1R2)(R
33、2R22)_ 2 _dU T (Rd)2GIp2U 2 n(FR)2(R d )02GIpF22 n2gi7 0r3d 二22GIp 0RiF2 n 4GT7r2r2F2 n R： R4 4GI p 2RT44F n R： R142GI p R2RT16F nG d4(Ri22R；)(RR2)习题3-19图示矩形截面钢杆承受一对外力偶Me 3kN m。已知材料的切变模量G 80GPa,试求：(1)杆内最大切应力的大小、位置和方向；(2)横截面短边中点处的切应力；(3)杆的单位长度扭转角。解：(1)求杆内最大切应力的大小、位置和方向7 =%，八二田二/二行/氏.由表得值=0294,# = 0.3
34、46,1= 0.8584 = 0 294x60fl x 1产=381tn4唯=0.346 x 603 xlO-* = 74 7 xlO-0 m33CI0D匚皿-=747xl0-4C.2MPa长边中点处的切应力，在上面，由外指向里(2)计算横截面短边中点处的切应力1 上 ：MPa短边中点处的切应力，在前面由上往上(3)求单位长度的转角3000事-:80xl09单位长度的转角习题3-23图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚 及管壁中线的周长均相同。 两杆的长度和材料也相同， 当在两端 承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求：(1)(2)最大切应力之比;相对扭转角之比。解：(1)求最大切应力之比
35、开口:max,开口Me hO开口环形裁而闭口箱形截面It依题意:1 232。3r。4a,3故:3r。It233。4amax,开口MeIt3A 34a3Me4a闭口:Memax,闭口2A0Me2a2max,开 口max,闭口3M e4a 22a23a2(3)求相对扭转角之比开口： It2r004a 3开口TGItMe 3MGI t 4Ga闭口:TsM eS4GA；4GA2M e 4a Me4Ga4Ga开口 3Me Ga3 3a2 4Ga 3 HM7一4-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩a (5) =h (4)Mi iF RB%aqoaq 21 212aqaqo0 a22qo ao,M2 2
36、 qa3 -qoa41 a 11 qa2 3 12c 1 c2 a qo 2a2a4 -qoa3二-?4-2试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程, 矩图并作剪力图和弯b (5) =f (4)f)凡一二 24；lk It h=3x2+6.5x1 = 1231cN, =-3x2x2 6.5xlx = -15.2 kN - m 1-1 7 J!&一 =F；,，,=125-2431 = -l 1.8kN=-I5J2kX-ma (5) =a (4)解:(a) (J/ 1为1耳i =)虱用工.一百工J/ =-虱- X = XJ2V 3 可F 二一支4 s emi 丈r 1M 三一乌力Db (5) =b (4
37、)b) 0 x Im trfQ(jc) = -30 + 1 5x = 30 + I SrA/(.r) = -jOx - 7.5.v2) = S(l.v+ I 5 x I x (jt )4居2=45 kNi =127.5 kN，mmai尊f (5) =f (4)4-3试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的 弯矩图和剪力e和f题）lOkSlml(f)(e)(h)4-4试做下列具有中间钱的梁的剪力图和弯矩图(b)4-54-4(b) 4-5 .根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪 力图的错误之处，弁改正。4-6.已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图,梁上五集中力
38、偶作用。LfikNJ|瓜4-6 (a)4-7 (a)4-7.根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图4-8用叠加法做梁的弯矩图。4-8 (b)4-8 (c)4-9.选择合适的方法，做弯矩图和剪力图4-9（ b）4-9c)可编辑范本4-10印色而幅 心即明 田虹）,加in.我|413 根麻侬上的聊里幽ma麻。假姚7b娜励姥的分布麻麻鲤励崛京脐d j u 物剪力曲和臃配u M U I M解：（I）由因（b）：L猛可编辑范本图(H)：2。/q(x) = -y-x (0x-) %=。& + 中工)17/二0F 二为T-殳/ 5 2/工场,=。X 1X1/ -心力；+彳矶灯,不 ri1/二九F 史/4314-14.长度l=2m的均