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1、习题答案一一证明题第2章线性方程组求解p. 79第14题证明：a.由于是范数，它必满足范数的三条件；由于| X M =|Mx| ,所以(1)非负性：|X M =|Mx| 0,且 IX M =| Mx| =0 当且仅当 Mx=0,又由M的非奇性，当且仅当 x=0时才有Mx=0,因此：IX M =0当且仅当x = 0;正齐性：啊X M =|M 3x)| =|(x( Mx )| = |a|Mx| =|cc|x| M三角不等式：llx + yl M = IIM (x + y)| =|Mx + My| 41Mxi +| My| =|x| M + |y| M因此，按此定义的范数| x M是范数；b.仿前，
2、容易证明|A M = |MAM力定义了一种矩阵范数。关于相容性：网 M =|MAx|=|MAM,Mx| |MAM 11Mxi =|网 Ml MM第3章数据近似p.129第6题:a.取f(x) =1,则对插值节点(Xi,1) i = 0,1,2,，n ,其Lpge插值多项式为nL(x)= L(x),又由函数、插值多项式与余项的关系，及余项公式，有i -0n(n H)nf(x)-L(x)=1- li(x)=-) (x) = 0 = Ji(x)=1if(n 1)!9此处，用至U：- f(x) =1, . f(n 1)(x) = 0b.证明同上，只是将f(x) = xk,由于kMn,所以仍有f(n?x
3、)三0;c.由二项式定理:nn% (x -x)kli (x)一 i =0i =0kk产 n)工(“CkxjxkT |li(x)= (-1)jCkjxjlZ xli(x)j=0)j=0V=0Jk=1 (T)jCkxjxkT =(x-xf =0 j fn此处，用到了 b.已证明的结论：Z xiJ|i(x)=xk, j =0,1，k； i =0d.只需注意到由于y(x)是m次多项式，又mn,因此y(n地(x)三0;因止匕, 由余项公式：y(x)-P(x)=y(n4t)仁6(x) = 0,此即所要的证明。(n 1)!e.(方法1):令P(x)为被插函数，则 P(x)i(x)为对应的插值多项式，因此P(
4、x) -Z P(Xi)L(x)便是该插值多项式的余项，由余项公式：p(n 1)()P(x) -Z P(xJi(x)=6(x)=6(x), (n 1)!此处，用到P(x)是首项(即最高次项)系数为1的n+1次多项式，因此P(n+)(x)=(n +1)!；(方法 2):首先，记 q(x) = P(x)- P(xi)li(x),由于 L(x)为 Lagrange 基本插值多项式，二 P(xi)li(xJ = P(xJ k=0,1，n = q(xj=0 k = Q1，n；其次，P(x)是首项系数为1的n+1次多项式，而 P(xi)li(x)是(不超过)n次多项式，因此q(x)也是首项(即最高次项)系数
5、为 1的n+1次多项式；综上所述，q(x)是以xk (k=0,1，n)为零点(共n+1个点)，首项(即最高 次项)系数为1的n+1次多项式，因此q(x) =(x xo)(x x) (x -xn)= f(x).p.129第7题f (x),以点k, f (k), k =0,1,2,，n为插值节点的插值多项式记为 x 1Pn(x),求 Pn(n+1)。解：由余项公式：R(x) = f (x) pn(x) = f 0,1,2,，n,xx(x 1)(x 2)(x n), n 1.在上式中取x = n +1 ,由于f (n +1)=,便有n 2n 1.加启一的,2,F1)!差商表:01230122334n
6、 -1nn 11-12*31*2*31-1(T)23*42*3*41*2*3*41-1(-1)2(n -1)n(n -2)(n - 1)n(n-3)(n-2)(n -1)n1-1(T)2n(n 1)(n -1)n n 1(n -2)(n 1)n n 11-1(-1)2n -1nnn 1n 111*2n 2 (n 1) n 2 n n 1 (n 2)(n - 1)n n 1 (n 2)(7)n(n 2)!因此:1 (-1)n Pn(np.129第8题由定义 px, x0=必x)一匹x0) ,若记 q(x) = p(x) p(Xo),则显然 q(Xo)=0, x - xo这说明q(x) =(x-x
7、o)r(x),此处r(x)是(n-1)次多项式，与上式比较，可知px, xo =r (x),即 px,xo是一个(n -1)次多项式.p.129第9题由于节点为(i =0,1，n)互异，其Lagrange插值多项式为:L(x)工 li(x)f(xi) =X xf(X) = -)-f i=0T (x x)，(为)I (x -为).，(xi)注意至I 8(x)是一个最高次项系数为1的n次多项式，因此Lagrange插值(x-x)口多项式L(x)的n次项(即最高次项)的系数为Z；i =0 (xi )另一方面以xi (i =0,1，n)为节点的Newton插值多项式N(x) = y yx0,xi(x-
8、x。)yx0,xi,x2(x-x0)(x-xi)yx0,x, ,xn(x-x0)(x-xj (x-xn)因此，其n次项(即最高次项)的系数为yx,x1，xn,由插值多项式的唯一性, 便有：J f (xi)yx0,x, ，xn二 i =0 1 (xi )p.129第10题以(a, f(a),(b, f(b)为插值节点作插值多项式L(x),由于f(a)=f(b)=0, f ()一一易知 L(x) =0 ；又由余项公式：f (x) - L(x) = R(x) =-(x - a)(x -b),可知： f ( )2f (x) = -(x -a)(x -b)2注意到(x a)(x -b) w l(b -a
9、)2,因此： ma_x f (x) -(b -a)2 ma f (x);4a仝包8a仝艺p.129第11题参见教材pp.177-178p.130第12题a.由定义：=yi书yi,=为卡-,因此由差商定义:yXi,Xi i=y(Xi i) -y(Xi) yi i - yi:小Xi .1rxiXi 1 Xiyx,Xii,x 2Xi1,Xi 2-yXi,Xii二/ 、 , h ( yi i f yi ) i 二一hXi 2 Xi2h_2 .2:Vi川殳地，右 yXi,Xi i,，X k h ： yi k!yXi i, ,Xi k* *yXi,Xi i, ,Xi k,Xi * 1=则有i -yXi,X
10、i i,为 kXi .k i Xi(k - 1)h |k!一(k 1)!由此得证。b.由Newton插值多项式N(x) =y yXo,Xi(X-%) y%,Xi,X2(X-Xo)(X-Xi) yXo,Xn(X-Xo)(X-Xi) (X-Xnj)及 x = x0 +th ,即 x x0 =th, x X1 =(t i)h,，x xn=(t n + i)h ,根据前得结论自然可得所求结论Op.130第12题只需证明：1)在x = -3, x = 4处S“(-3) = S“(4) =0，这是因为S(x)是自然样条, S“(一3 + 0) =(18 +6x) x=3 =0, S(3 0)=0, nS“
11、(-3)=0S(40)=(120+30x)xy =0, S”(4+0)=0, =S“(4) = 02)在Xi = -1,0, 3等三点，有S3 -0) =S(x) S(Xi -0) = S (x) S 函-0) =S (x)例如：S( -1 -0) -28 -25 9 1 =11S( -1) =26 -19 3 1 =11S(-1 -0) = S(-1)S(-1 -0) =(25+18x + 3x2=25-18 + 3=10S(-1) =(19 +6x-3x2)=19-6-3 = 10 = S-1-0)XS-1 _0) =(18+6x)1 =18-6=12S*(-1) =(6-6x)=6 +
12、6 = 12=S(_1_0)类似，证明其他两点.第5章数值微积分p.187第1题ba b、设 a f(x)dx : Af()按待定系数法，令f(x)=1 = ba=A b所以，公式为 f f(x)dx &(b -a)f ()a2确定代数精度：令f(x) = x = g(b2 - a2) =(b-a)(a)人-2-133b a 2令 f(x)=x -(b -a ) - (b -a)(-)32所以，代数精度为1,且可知误差E(f)=rf(D,即b . b a .a f(x)dx-(b-a)f(-) =rf ()在此式中，令 f(x)=x2 = 1(b3 -a3) -(b -a)(b)2 -2r 3
13、2解之，得r = (b-a)3,因此中矩形公式：24(f(x)dx =(b a) f ()+或(b a)3 f T1)p.187第3题已知：f (x)dx =E Akf (xj+rf (m*) (),讨论：g(t)dt 0a令 t=a+(ba)x,则 x : 0t 1 = t ： a t b ,有 b1g(t)dt = g a (b -a)xd a (b-a)x ao1二(b - a) o g a (b -a)x dx=(b -a)& Ag a (b -a)xkr(b - a)m 1 g(m 1) a (b - a):b即 g(t)dt ： (b-a)“ Aga (b-a)xk a第5章非线性
14、方程求解p. 228第5题令xk+=d2+xk ,取初值x。=0,则原问题的极限便是当nTK时序列 的极限；.1记 Wx)=J2+x,则当 xW0,2时，中(x)W0,2,且中(x) = =,所以2 . 2 x12. 20= f(x)为单调增函数，由题设f(x)有零点x*,则此零点x* 必唯一。迭代x=xk -九f(xk),记中(x)=x ?f(x), x*也是中的不动点，|xk+-x =N xNf(xk )(f(x/ = |xk x1 1计住)S(xk，x*)或(x*,xk).由 0mWf(x)WM, 0儿%; 1 hm 1 Kf()之1 7JM ，及 0Zm?,M 1-Zm 1-Zf) 1,/.M -1 = |1MK)ML1, 由此推得迭代收敛。