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1、 7.1 不等关系与不等式1 .两个实数大小的比较(1) ab? a- b;(2) a=b? a-b；(3) avb? a-b.(4) 等式的性质(1)对称T: ab? ;(2)传递性：ab, bc? ；(3)不等式加等量：ab? a+c b+c;(4)不等式乘正量：ab, c0? ,不等式乘负量：ab, cb, cd? ; 异向不等式相减：ab, cbd;(7)同向不等式相乘：ab0, cd0? ；派(8)异向不等式相除：ab0, 0c?;c d 不等式取倒数：ab, ab0?a b(10)不等式的乘方:ab0? ；(11)不等式的开方：ab0? .注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加
2、，但不可相减，而异向不等式可相减；2. (7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等 式可相除.自查自纠1. 0 =0 02. (1) bc (3)(4) acbc acb+d acbd(10) anbn(nC N且 n2)(11) nanb(nC N且 n2)（2014 山东）已知实数x, y满足ax5 / 16ay（0a17x2 + 1 y2 + 1B. ln( x2+ 1) ln( y2+ 1)C. sin xsin yD. x3y3A, B中的不等解：根据指数函数的性质得xy,此时x2, y2的大小不确定，故选项式不恒成立；根据三角函数的性质，选项 C
3、中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立.故选 D.（2015 烟台模拟）设a, be（8,0),贝U ab” 是 “ a1b 1” 成立的()a bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：a1 - b1 =（a-b） a b1+Ob0,若 ab,贝U(a- b)11十直0，111.aab成立；反4右（ab）择五0，则ab成立.故选（2015-上海）记方程：x2+a1x+1=0,方程：x2+a2x+2=0,方程：x2+a3x + 4=0,其中a1, a2, a3是正实数.当 日，a2, a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的
4、是（）A.方程有实根，且有实根B.方程有实根，且无实根C.方程无实根，且有实根D.方程无实根，且无实根解：当方程有实根，且无实根时，=40, A2=a2-84, a22a2a2a 82,A ,8,又 ai, d2, a3成等比数列，a2=a0,即 a3 = ,a2= =-y=16,恰好满alal4足方程中判别式 A3 = a3160,从而ab.故填.(2015 济南模拟)若 a0b- a,a bc dbc； d) + bd；a(dc) b(d c)中成立的是(填序号).解：a0 b, c d 0, 1- ad0,ad0b- a, a- b 0,c d- d0, .a(-c)(-b)( -d),
5、ac+bd 0, /. ?+ -=aC,bd 0,故正确. d ccdc- d,ab,a+ ( - c) b+ ( - d), a-ob-d,故正确.ab, d- c0, a(d-c) b(d- c),故正确.故填.类型一建立不等关系(2015 湖北)设xCR, x表示不超过x的最大整数.若存在实数数n的最大值是（）A. 3B. 4t ,使得t = 1, t2 =2,，tn = n,.序立,则正整C. 5D. 67/16解：因为x表示不超过x的最大整数.由t=1得1wt2,由t2 =2得2wt23, 由t4=4 得 4t45,所以 2t25,由t3 = 3 得 3t34,所以 6t545,由t
6、5 =5 得5t56,与6W14季矛盾，故正整数 n的最大值是4.故选B.【点拨】解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要” “必须” “不少于” “大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.本例x表示不超过 x的最大整数，故由x = k,可得kx1.所以可从中提炼出一个不等式组:4十40；-abcad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题?. 一、一 c d bc ad .一解：对变形ab?，由ab0，bcad得成立？.bc ad一(2)若 ab0,(3)若 bcad,ab 0,则 boad,？.bc ad _0,则 ab0, ？.ab综上所述可组成3个正确命
7、题.12 / 16ac【点拨】运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较 与bc的大小关系应注意从 c0, c=0, CV0三个方面讨论.(2014四川)若 ab0, cd-7 c da bCy 一 d ca bB. - v c da bD. 0,又 dca bab0,故由不等式TOt得一-0,所以a b , d c故选D类型三不等式性质的应用一、民(1)若 1a3, 43 2,则万3的取值范围是.1a 3a解：由1 V a V 3得2万2，由一 4V 2得一2- 3 4,所以工(3的取值范3 113 11围是一2，万.故填一2，万.一 1【点拨】需要注意的是，两同向不等
8、式可以相加但不可以相减，所以不能直接由 -2- 2和一4V B V 2两式相减来得到-y- 3的范围.此类题目用线性规划也可解.(2)已知一1va+ b3且2vabv 4,则2a+3b的取值范围是解：设 2a+3b= x( a+b) + y(ab),x+y = 2,x-y = 3,解得1 y=2.5 51511- - 2 2(a+ b) , - 2-2(a-b)- 1.9 5113 2v 2(a+b) 2(ab)5,9139 13即2 2a+3bv?故填2,忍.【点拨】由于a+ b, ab的范围已知，所以要求 2a+3b的取值范围，只需将 2a+3b 用已知量a+b, ab表示出来，可设 2a
9、+3b = x(a+b) + y(ab),用待定系数法求出 x, y,再利用同向不等式的可加性求解.一汽(1)若角 a ,3 满足-2 a 3 2-,则2 a 3的取值氾围是.兀兀兀兀兀兀兀一9，2.故填一:，!斛：- 一 ,2万，- - a , - - -2, -2 -,”一0, ，2a B= (a B)+ae(2)设 f(x) =ax2+ bx,且 1wf( -1)2, 2 f (1) 4,则 f( -2)的取值范围为1a-b2, 解法一：由已知2a+b4.f( 2) = 4a2b.设 4a 2b= n(a b) + n( a+ b)( m, n 为待定系数),即 4a 2b= (n) a
10、 (m- n) b,于是得n = 4, m- n = 2.解得m= 3, n= 1.由x 3+xi 得 5W4a 2b10,即 5f( -2) a 0,实数 m 0,比较a b.解法一：(作差比较)：a+ m a b (a+m) a (b + m)m(ba)b+ m b-b (b+m)-b (b+mj)ba0, mr0, .m (b a). a+ m ab (b + mj) b+mb.解法二（作商比较）：a 0, mf 0,，brmam? ab + bmab+arm 0,，喏吗1,即没.b1?fa.故填. ab+am b+m a b+m b【点拨】本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分
11、数性质.作差（商）比较法的步骤是：作差（商）；变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；判断符号（判断商和“ 1”的大小关系）；作出结论.13 /1616 / 16（2015 福建月考）已知a, b, cCR,且 a2+b2=c2,当 n e N, n2 时，比较 cn 与 an+bn 的大小，则 an + bn cn.+ n n n .2门+ bn an bn 222斛：b, MR /.a, b, C0,而c + c -a + Jc,P2=1, ,0区1, 0b2 时,an a 2 bn b 2 cc ccan+bncnb n a2+b2_c c2 1，an+ bnb0”是“ a2b
12、2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由 a b 0 ?a2b2,充分性成立；由a2b2? |a| b|ab0,必要性不成立.， ab0”是“ a2b2”的充分不必要条件.故选 A2.已知 a, b为正数，awb, n为正整数,则 anb+abn-an+1-bn1的正负情况为（）A.恒为正B.恒为负C.与n的奇偶性有关D.与a, b的大小有关解：anb+abn an+1-bn+1 = an（b-a） +bn（a b）=-（a-b）（ an-bn）,因为（ab）与（an bn）同号，所以anb + abn1bn+1b,则下列不等式一定成立的是（）A
13、. a+ob- cB. （a-b）c20C. acbcD.-Cr0a b解：A项：当c0时，不等式 a+cb? a-b0, c20,故（a -b）c20； C项：当 c= 0 时，ac= bc； D项：当 c=0 时，-c2r=0.故选 B.a b4. （2014 湖南）已知命题 p：若 xy,则一xvy；命题 q：若 xy,贝U x2y2.在 命题pA q；pV q；pA （税q）;（税p） Vq中，真命题是（）B.A.C.D.解：当xy时，两边乘以一1可得一xv y,命题p为真命题；当 x=1, y= 2 时，显然x2vy2, .命题q为假命题，为真命题.故选 C5. ( 2014 浙江)
14、已知函数 f (x) = x3+ax2+bx+c,且 0v f ( 1) = f ( 2) = f (3尸3,贝U ()A. c3B. 3c6C. 6c9解：由 f( 1) =f( 2) =f( 3)得，1 + ab+c= 8+4a2b+c= 27 + 9a3b3a- b=7,+ c,消去c得解得5ab=19,a= 6,b= 11,于是0c-63,即 6vcw9.故选 C.6.如果0V mbv a,则(A.b+mb mB.cosaq7m cosa cos cosbcosb- m aa mb+m cos a ma+mC.cos*a mcos- cosab+ma+ mD.cos3a+ mb mco
15、sa m1, a+m a ab+bm所以产bo,同理, a+m a0V b- rr bbm1bb_ 0.而 y=cosx 在 0,微 a+m a a m2b m . ，,cosa 也可取特殊值判断).故选A.上单调递减，所以a m cos a+ mcos-a7. (2015江西模拟)设 a=lge, b=(lge) 2,c= lg ,，则 a,b, c的大小关系为19 /16(lge) 22 ige = ig qe,-1解：. e7i0,lge lg g = 2, e, . lg qe lge ,即 c a.故填 b c a.8 .若a0, 1b0,则下列不等式成立的是 . 10g 0.5(
16、a)log 0.5( ab2)；(一a)2( ab2)1；0.5 a0.5 - ab2.解法一：对于， a0, 1 v b0, 0ab20,结 合对数函数的性质容易得到log 0.5( - a) -ab20,故(一a)2( ab2)2,不成立；对于，由一 a0 知，-? 1 ? b2 a ab2 b2log 0.5( a) log 0.5( ab2)1,与一1vb0, .,.Ob, 又 2b= 2+2a2,b= 1 + a2,21 2 3 .ba=aa+1= a_ 2 +4。,ba,从而 cba.10.某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每
17、年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a人.(1)若a=10,在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元?(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元.，1 000 + 30x*贝7= 800+ ax ( aCN,收10).假设会超过1.5万元，则当a= 10时有1霁匕X1.5 ,解得x-y10.800 I0x3所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过1.5万元.K,1 000 + 30x(2)设 1Wxvx2W 10, y=f(x)= 8001a丫 ，800 十 ax贝
18、U f(X2) f(xi)=1 000 + 30x2 1 000 + 30x1800+ax2800+ axl(30X800 1 000a) (x2x1)(800+ ax2)(800+ax1)0,所以 30X800 1 000 a0,得 abc,求-的取值氾围. a23人.解：a+b+c= 0,，b=(a+c).又 abc, ，a (a+c)c,且 3aa+b+c= 03c,则 a0, c-即1-1- -c a aa + c ca a2c一b1, cc; aclog a(b c). a b其中所有正确结论的序号是()A.B.C.D.解：b1,0!1,又cc，正确；由于ab1,可设 f(x)=ax,g(x)a ba b= bx,当x=c0时，根据指数函数的性质，得acbc,正确；b1, cbc 1,log a( ac) 1og a( bc),又由对数函数的性质知10gb(ac) log a( a c),，10gb(ac) 1og a(bc),正确.故选 D.20 / 16