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1、平方差和完全平方公式及其应用、知识梳理1.平方差公式：公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。22即：（a b）（a b） a b特征：左边：两个二项式的积，其中一项相同，另一项互为相反数右边：相同一项的平方减去互为相反数一项的平方。注意：A.找符合公式特征的才能运用公式.公式中a、b具有广泛性.公式的逆用：a2.注意公式的变形2b (a b)(a b)添括号：括号前面是“+”，号内的各项全部变号。即：a b c a （ bo括到括号内的各项不变号，括号前面是“c) ； a b c a (b c)2.完全平方公式：公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或
2、减去）这两个数乘积的二倍。2即：（a b）（a b）222a 2ab b （完全平万和公式）22a2 2ab b2（完全平方差公式）特征：左边：两个数和（或差）的平方右边：是一个三项式，其中两项为两数的平方且符号相同, 积的二倍，且符号与左边相同。完全平方式：一个多项式能改写成平方的形式。3.乘法公式的运用：另一项为这两数(1)正向运用:(2)(3)逆向运用:(a2ab)(a2bb) (ab)(a(a2a2b)2ab2a2b2ab(a b)乘法公式的变式应用:(a (a (a (a2b) b) b)b2)ab(a2abb24ab4ab(ab)24aba a2b2a2b22 c)2(a(a(ab
3、)2b)b)b)2(aabab4ab2(a22abb2)；(a b)2(a b)2 2ab(ab)24ab2 b2b、22一）；（abcbc（3）完全平方公式的非负性：非负性：a2 2ab b2acac(a最值定理：a、b同号，则：（4）乘法公式的变式应用（拓展）：（a b）3 a3 3a2b 3ab2a2ab 2bc1 (a21 (a2b)22a(a1)2 a(a -)2 2a2acb)2b)20b2 (a3b ；(a(b(bc)2c)2b)2b)3(a(ac)2c)2,当且仅当时 a b时，取等。322, 3a 3a b 3ab b a3 b3 (a b)(a2ab b2)2332ab b
4、 ); a b (a b)(a二、典例剖析专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。位置变化(7x3y)(3 y 7x)符号变化 (2m 7 n)(2 m 7n)数字变化98102系数变化n n、(4 m )(2 m )项数变化(x3y 2z)(x3y2z）公式变化(m 2)(m 2)( m24)变式拓展训练.【变式1】（yx)( x y)(x2y2)(y4)【变式2】（2 ab2 /b2-)(-4a)33【变式 3】1002 992 982 9722212专题二：平方差公式的应用2004-例2:计算 J004 的值为多少?20042005 2003变式拓展训练.【变式 1 】（x y z）
5、2 （x y z）2_、._ 2【变式 2】301 (302 1) (3021)【变式 3】(2x y z 5)(2 x y z 5)【变式4】已知a、b为自然数，且a b 40, （1）求a2 b2的最大值；（2）求ab的最大值。专题三：完全平方公式2符号变化：（3a 2b）例3：计算下列各整式乘法。位置变化：（x y2）（ y2 x）数字变化：19722方向变化：（3 2a）22：项数变化：（x y 1）2_ 2：公式变化(2x 3y) (4x 6y)(2x 3y) (2x 3y)变式拓展训练.【变式1】a b 4,则a2 2ab b2的值为（A.8B.16C.2D.4)2xy的值1 一
6、o【变式2（江苏中考）已知 （a b）2 4,ab 3,则（a b）2 【变式3】（云南中考）已知xy 5.xy6,则x2y2的值为A.1B.13C.17D.25【变式4】（烟台中考）已知x（x 1） （x2y） 3,求x2 y2专题四：完全平方公式的运用例 4：已知：x y 4,xy 2,求： x2 y2 ； x4 y4 ；(x y)2变式拓展训练.11【变式1】已知x 3x 1 0,求x;xxx【变式2】已知x,y满足x2 y2 5 2x y,求xy的值。4x y三、创新探究(名校、名书、名题、中考、培优、竞赛)1 .(杭州市中考题)a2 b2 4a 2b 5 Q则*ab a b2 .(“
7、祖冲之杯”邀请赛试题)(x2 x 1)6展开后得a2x12 aux11a1x a0 ,则ai2 引 a8 a6 a4a? a。 3 .(江苏省竞赛题)P (x 1)(x 2)(x 3)(x 4), Q (x 1)(x 2)(x 3)(x 4),则P Q的结果为 4 .（杭州）如果 a b |JC_7 1| 4y0一2 2u丁 4,那么 a 2b 3c5.（2014 七中）如果6.（“祖冲之杯”邀请赛试题）7.（北乐市竞赛题）若 x y a b,且 x2y2221997199719971997a b，求证：x y a ba 将在、若a 19952 19952?19962 19962,则证明是一个完全平 方数8. （ 2U14 3 1儿）9.（安徽竞赛精选）已知 a=123456789, b=123456785, c=123456783,求 a2+b2+c2-ab-bc-c a 的值.