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1、精品文档以牛法求整平方根的近似值张海潮教授/耋湾大擘数擘系朱启攵台助理/数擘擘科中心面封95孥年度正式施的数孥新1?程，撇H删去的和教孥次序湖整的不老肺伸号最心 的遢是新增了哪些题材。除了统言十覃元之外，或那午有些老肺得微稹分的内容也作了不少改 建，但基本上95年版的微稹分15程只是招73年版的内容作了一定程度的回彳复，不致於 增加老肺的负据。於微稹分1?程的段言十理念,翁秉仁教授在攫教孥（II）程辆要已有完整明,本文焦黑占符放在微稹分15程的一他小角落，也就是退修教孥（II）的附金泉二以牛48法求整数H平方根的近似值。孥完多式之彳爰，高中生解得出的多方程式仍然很有限，除了一次典二次可以逋用公
2、式解以外，三次以上的方程式只能用勘根定理碰碰逋氟。如果我伸号K意面封真相，其高中生封二次方程式的掌握也是有限的，一元二次方程式ax2 bx c 0的雨根悬b b4ac ,通2a常要在彳系数特别IS言十的情况下，方程式的根才曾是有理教，才能真的用我伸号熟悉的分数表连。就用的觐黑占来看，瓢理教其不常见。聚他例子来工瓢法保It生崖一批半彳至全部都是根虢2公分的螺幺鼠事上也不需要,客户可能只要求整批螺的半彳至介於 1.4 0.1公分之换句忘舌,在日常生活中，近似比完美更用。因此，我伸号希望高中生孥曾欣赏近似的概念，曾一些有效率的近似方法，牛16求根法刚好是连成造槿孥雪目襟的好途彳至假段我伸号想言十算
3、新的近似值，我伸号可以考ft f(x) x2 n 0道他I方程式，如H,方程式的在迤入牛48法之前，我伸号先回憧一下如何用十分逼近法来估言十五。一K始先估言十整数位，因悬12 拒22 22,所以72的整数部分是1。接下来，因悬1.4 222 221.5 2,所以 72B1.4。换句忘舌,求近似值是一他勤熊的谩程，每走一步，就高隹精碓值更近一黑占，事上，不谪我，孰希望多麽靠近都辨得到，只要多走黑步就行了。常我伸肚匕敕不同的近似方法孰僵孰劣畤，就是在比敕逼近速度，也就是H可以用比敕少的脚步或比敕少的畤连到相同的型碓度。琪在，我伸号就来看看牛16法怎麽估言十几。如圄，先在爪的右方随便挑一他数air成
4、五的 近似值，第1步取多少或不是太重要，重要的是如何优第 1步得到第2步，再优第2步得到 第3步，然彳爰以此I推。挑出行的第1低I近似值a之彳爰，我伸号优a, f (a)作一切,道他I切和x事由的交黑占b就是A的第2(0近似值。像适檬子，优每一他I近似值可以引出一僚切道修切和x事由的交黑占就是下一他近似值。直觐上我伸号可以看出，道(0近似的程序碓曾越来越接近6,但不稀奇，道是所有近似方法的必要修件，即使是十分逼近法造槿没有效率的方法也有道他性我伸号想知道牛48法 的效率如何?首先注意到f(a) a bf(a) (a b)f(a) af(a) bf(a) af(a) f (a)a(2a) (a2
5、 n)b f(a)2a2a n2a随意编辑因此，近似值b和真值vn的2a一 a2 n - a2 2a、n n b -. n n 2a2a我伸第2步的差可直接拢第1步的差看出来，粗略地如果第1步的差是0.1,JW第2步的差大余勺是0.1的平方0.01 ;如果第1步的差是0.01 ,刖第2步的差大的篇0.01的平方0.0001 。可以造awt十分逼近法每走一步，其精碓程度只能增加1他小数位，是他等速逋勤。但牛48法每走一步，其精碓位数的增加幅度曾越来越大，下一步的精碓位数是前一步的2倍，精碓位数呈指数型魅成H。最彼就我伸号以 无(=1.414213562373095048801688724209)
6、作悬例子来111r一下牛f (x) x2 2 0 ,取72的第1他I近似伯1.5 (在72的右方)，於是2b a-n2a21.522 1.517121.4166.(小数黑占以下2位精硅)172289 288c bj 121442b 八 17172 -126（小数黑占以下5位精硅）257723329292CC2d c n 4081664642c 2 577577408204（小数黑占以下1 1位精硅）5774081.4142156665857166464135834828577960497282041.4142135623746.我伸号不妨符上述程序稍微修改一下，一方面可以减少言十算一方面也更容
7、易看出精碓度第一步取a2, a nb 2a1.4，小数黑占以下1位精碓,因此21.42 3.961.41428.2 1.42.8（小数黑占以下至少2位精碓，22b2 n 1.412 3.9881c b以1.41代入）2b2 1.412.825771.414219408（小数黑占以下至少4位精碓，c以1.4142代入）2_c2 n 1.41422 3.99996164d 2c2 1.41422.8284665857166464 135834828166464 1.4142135624.57796049728204（小数黑占以下至少8位精碓） 道他例子的言十算量虽隹然很大，但言十算公式郤很曾罩，若配合H月触燔!迤行操作，可以孥生 很自然地H曾迭代典收敛的意羲。最彳爰，在孥生理解牛48法造他方法之彳爰，老肺伸号不妨用 M 书,后 作悬雪题ai孥生糠雪，aa各估言十结果和ft算器得出的结果加以比敕。