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1、第2课时双曲线方程及性质的应用潟#提示如果您在观石木件日勺it 莎中演吴用并右幻灯 片.*朝打并可iEtfiU:知识衔接crfr1一土台，双曲线骄/二1（Q。）的渐近线方程亥心是一工2.1*线与3圆的位置关系判断曲线I朋圆的位任关系时主要通过方程来研究.联立直线方程与椭圆方程;消元后得到关于龙（或V） 的元二次方程根据判断.当40时-查线与相交；当4=0时，直线与椭圆柏切；当40,b0）的左焦点为F,离心率为若餐过晞10, 4）两点的直线平行于双曲线的一条藏线,则双曲线的方 程为（）IIII11DBIIII2 _ (a0,2212 3(2) (2017 -全国卷HI)已知双曲线C: x2 ：b
2、0)的一条渐近线方程为y= 75 ,且1AX有公共焦点，贝！ IC的方程为 )A.= 1=8 10 222 2X V.C-= 1D.D=154已知双曲线X2二y= 4，则该双if时离心5 e为-X3(mn0)的一条渐近线方程为【解题指南】（1）可根据离心率与渐近线找出 a.b.c的关系，进而求出双曲线方程.根据渐近线方程先确定严公共焦点推导出C的值 再根据比b.c的关系可求出双曲线方程.G ）焦点位置不确定需要分类讨论根据e=求解.4匚石【解析】选B 由题意得总二b, 4=l,c=4,a=b=所以双曲线方程为一0 二1选B.由题意可得护又a2+b2=c勺 解得护二4B5.；二 则c的方程为=1
3、.当 mOfnOBI所以n _b2 eRm16r J 3, 4 m a2 1三一90博3 n b2答案:【方法总结】1.由渐近线设双曲线方程的方法(1)渐近线为尸曲线方程可设为：2 2n(人工0)-的双xy2 2 mz nz如果两条渐近线的方程为Ax 土 By=O,那么双曲线的方程可设为 A2x2-B2y2=m(mH0).(3)与双曲线?7共渐近线的双曲线方程可设为x2 y2_a? 一厂及判断焦点的位置.2.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系(1)已知双曲线的离心 率e求渐近线方程时要注意。=渐近线方程y=mx (m0)求离心率时，当焦点不确定时，m二或m二，因此离心率有两种可能【跟踪训练】1
4、.设双曲线X2 X2 y2(a0, b0)的虚轴长为2,焦距为 1o2 1 2:则双曲线断渐近线方程为0B.y=2xD.y 二土 x 2C.尸土 V2XV22【解析】选C 由已知得到b=l, C= ,a=品养二迥,因为双曲线的焦点在X轴上，故渐近线方程为尸b-xa+迈=X.22 已知双曲线兰_L二1 (a0, b0)的左、右焦点分别为 (-c, 0), F2。?,若双曲线上存在一点P使血缈禹a，则该双曲峨的离心率的取值范围是一解析因为在APFF2中，由正弦定理得sinzAPF FPFJ 所以 IPF21 _a1,又因为 |PFj-|PF2 4a, 所媳社双曲咙悯变上,且不与右顶点重合，所以由定
5、义|PF2|=c-a,所以e +1，又因为el,所以2arr该双曲线的南外率的取值范围感晨+L答案：l e0, b0)的离心率1为，过双曲线的右焦点琳肄家为的直线被双曲线截焉线段长为16求双曲线C的方程.(2)设直线 2 是圆 0:x2+y2=2土动点 P(x, yo) (xoyoAO)A(b的切线J与双曲线c交于不同的两点A, B,证明ZAOB的 大 小为定值.【解题指南】(1)联立直线方程与双曲线方程利用弦 长公式及离心率求解双曲线方程.(2)转化为利用向量的夹角公式求zAO B的余弦值为定值即可得证.+ 5O94X 驱二黜 A wH 4 4墨邃4 要戟o 一一宅I o y d 只要地w凄
6、黠祖戾 里门门M K p e z H % Q M +2a2=0f 所以 X+X2=6CM X2=3c2+2a2f 所以 16 二 属刁 X-x?l 二 2j(6c- 4(3(?率为，解得c：二fa = If所以艇乙所以双禹线的方程为.点P (xo,yo) (Xoyo H 0)在圆x?+y2=2上圆在点P(xo,yo)处的切线方程为XoX+yoy二2 甘x?，二？ 2x+yo=2 得 x2-4xox+8- =0, x()x + yoy 二 22xq(3xq-4)X3X4 二8 - 2xgX3X4+1Ax3X4+ (2-XoX3)AX因为切线2与双曲线C交于不同的两点Ab且OVx :4，2rxAC
7、CUULBUUIuX3XpACB4-2-xj2Xo(X3+xj 2 X3X4 二一2xj *睨 * 03x?-4 2-#3x)-4言正如4所11 b严小为90 !3x)-4-3x)-4 3x)-4 ,【方法总结】直线与双曲线的位置关系及其判定方法（1）直线与双曲线的位置关系有三种:直线与双曲线相交（包括有两个不同的公共点和当直线与双曲线的渐 近线 平行时有一个公共点两种情况）；直线与双曲线相切（直线与双曲线有两个重合的公共点）；直线与双曲线相离 （没有公共点）.直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双 曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由
8、它们的方程构成的 方程组解的情况的讨论.(3)直线与椭圆的位置关系是由它们公共点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其公共点的个数决 定.提醒:特别注意直线与双曲线的位置关系中:一解不一定相 切，相交不一定两解，两解不一定同支.【补偿训练】1 .已知双曲线C:x2-y2=l及直线2:y=kx-b(1)若直线2与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取 值范围.(2)若直线2与双曲线C的两支分别交于A, B两点,0是坐 标原点，且AAOB的面积为，求实数k的值.【解析】由X -1,I y 二 kx -1 , 消去 y 整理得(l-k2)x2+2kx-2=0.由题意知解得V且 kH : L
9、A = 4k2+8(l-k2)0, -JiS逅所以实数k的取值范围为(f-l)u(-lfl)u(l,).设 A(xi,yi)fB(X2fy2)f由得 X+X2 二 2k A2=2又直线2恒过点比0直壬）且XN两WOAB = SgAD + SgBD= lxll+ F2I= |X|nx2|= 1 1 1所以(Xj-X2)2=(Xj+2-4八X2=(2 2 )2,即（2k2=8WAk=0或阳土 由遍知上1-1? 1-1?2述k的值符合题意,所以k=0或k二+/6-2 已知双曲线x2-，=1,过点P(L 1)的直线2与双曲线4只有一个公共点，则这样的直线侑 条.翘吕球ft即鳄册赵与二X 了型星勿业壶愣
10、II?解阜杲(I)【出捌】当直线2的斜率存在时设?的方程为y二k(x-l)+：L.代入双曲线方程得(4M)x2-(2k-2灼xM+2h5二0.当4 以二。即k=2时J与双曲线的渐近线平行J与双曲线只有一个公共点；当4”牛0时令所以心5.2综上所述当k二或k二2或斜率不存在时满足题意.所以这样的直线久共有4条.答案：43. y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同交点，贝！ Ik的取值范围为-100,解析联立方程消yft(l-k2)x2-4kx-10=0WWIE 根A = 40-24k2 0, 4k0,1 C解得_阴1-1答案:gT)类型三与双曲线相关的弦长和中点弦问题【典例3】已知双
11、曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点，过F的直线2与E相交于A, B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为llfi(2)经过点M(2, 2)作直线咬双曲线x2-厂工1于A, B两点，4且M为AB的 中占I 八 、求直线2的方程；求线段AB的长.【解题指南】(1)设出双曲线方程后利用点差法求a.b-(2)利用点差法求直线2的斜率；联立直线与双曲线的方程，根据弦长公式求解【解析】选B 设双曲线的标准方程为x2 y2V2(a00)由题意知 c 二 3 炉+/二 9-aiSA(xi,yi)fB(X2,y2),则有a2 b2-a2b2=1两式作差得上上上吕皂二竺二竺，43 X2a2
12、yj+y2 -15a25 a2又AB的斜率蹇所以 4132 二 53 勺祖石 2 + |32 = 9 得 32=：42 = 5 所以双曲线的标准方程是5设A(xi,yi)fB(X2,y2)JtA5R曲线方程得心焉，单减 得兽(X+划)NW)珥(为+y2)(yry2)=。因为M为AB的中点席IUxi+X2=4fyi+y2=4f所以 4(XfX ;xinX2-(yry2)=k/=4 所以 Z 的方程为 y-2=4(x-2)fBP y=4x- 6.yi-y2将 y=4x- 6 代入 x2-yA =1 中得 3x2-12x+10=0fxinX2【方法总结】直线和双曲线相交所得弦长的两种求法(1)利用距
13、离公式：求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求(2)利用弦长公式:设斜率为k(kHO)的直线2与双曲线相交于A(X, yi),B(X2, Y 2),贝!11 AB I 二 I XX2171+k2=71 +k2 0, b0)的离心率为一，且 a2 V3柬确线c的方程.3Vc 3已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A, B,且线 段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值.a2【解析由题意得c3所以b2=c2-解得m C =73.X.la弟脸曲线C的方程为x2-2=lx-y + m = O, 的另血i0).设A.B两点的坐标分别为线段AB的中点为M(xo,yo),由fAx2
14、-2mx-m2-2=0所以 X。二=m,yo=xo+m=2m.X + X因为点Mi对苗0)在圆x2+y2=5f所以m2+(2m)2=5故 m = 1.2.斜率为2的直线2在双曲线为，求直线2的方程.762 2L-L=l上截得的弦长3 2【解析设直线/的方程为y=2x+nL由|y =2xtS10x2+12mx+3(m2+2)=0. (*)X? y2i线闫败也线交于A(x“y)B(X2y2)两点，由根与系数的关系.得 X+x? = mt XM =(m2+2)e”5Iofifl U |AB|2=(xi-X2)2+(yi-y2)2=5(xi-X2)2=5(Xl+X2)2-4XlX2=56m2_4x3(
15、m2+2)因为|AB|=，所以职眨 6(m2+%=6, 厂36所以 m2=15Am= T由(*)式得A=24佯-240.把m二锢弋入上式得（）所以m的值为土厂V15所以所求直线Z的方程为y=2x V15注意事项【知识思维导图】双曲线中应注意的几个问题(1)双曲线是两支曲线.而椭圆是一条 封闭的曲线.(2)双曲线的两条渐近线是区别于其 他圆锥曲线所特有的.(3)双曲线只有两个顶点.离心率V(4)注意双曲线中。，方，欤的等量关系 与椭圆中ab心的不同.(5)直线与双曲线只有一个公共点时. 直线与双曲线可能相切.也可能相交.(6)利用点差法时，对求出的结果要验 证其是否满足相交的要求.即少0.L进一步强化直线与圆锥曲线位置关系 模型的解题探究-提升数学运算与几何 推理的解额能力2 针对渐近线对双曲线的“定形”影响, 加强几何直观想象与数学交流.双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张 口”的大小，渐近线是双曲线特有的性质.当渐近线为严舄时，可设双曲线标准方程为* - -p=i ( vo ).(2 )与双曲线4-琴二1共渐近线的双曲线标准方程可设为(佛0) .方法总结卜在涉及直线与双曲线相交弦的中点与斜率问题时-一般把交点代入双曲线方程作差后求解.课堂达标训练/点击进入Word版可编辑套课时分层作业/点击进入Word版可编辑套题