《高三向量知识点及典型例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三向量知识点及典型例题.docx（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、09级高三数学总复习讲义一一向量知识清单一、向量的有关概念1 .向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2 .向量的表示方法：r r r字母表示法：如a,b,c,L等.uuu uuu几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB ,CD等.uuu坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点 O为在坐标原点，终点A坐标为uuuuuux, y，则x, y称为OA的坐标，记为OA = x, y .注：向量既有代数特征，又有几何特征，它是数形兼备的好工具.r3 .相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量a
2、与b相等，记为a b.注:向量不能比较大小，因为方向没有大小.4 .零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个淇方向是任意的.5 .单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量6 .共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线 上.规定：0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7 .相反向量：长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积，这些运算的定义都是自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果
3、是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质 ，这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础，向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示，且可以用坐标来运算，向量运算问题可以完全坐标化.刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算 图形语言符号语言坐标语言加法与 幺 匚减法 支义7 OA+OB=OC记 OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)0 Auu uuuOB OA= AB 则 0A OB=(x1+x2,y1+y2)uuu uuOB OA= (x2-x1,y2-y1)OA+AB=OB实数与 向量的 乘积两个向 量的数 量积AB = x aR(二)运
4、算律r r r r加法：a b b a (交换律);r r实数与向量的乘积：(a b)两个向量的数量积：ar r(a b)r ra b；(b = b a ；(入记 a =(x,y)贝U入a =(入x,入y)rr记 a (xi,y)b (%佻)贝U a , b =xiX2+yiy2r r r rc a (b c)(结合律)r r r r)a a a；(a)(a ) - b = a (入b户入(a + b) - c = a c + b - c注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，22例如(a b)2=a2 a b b(
5、三)运算性质及重要结论ur uu平面向量基本定理：如果e,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一r向量a,有且只有一对实数r ur uu uri, 2,使a iS 23，称 ieuuur uu2e2为e,3的线性组合。ur un其中0,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底平面内任一向量都可以沿两个不共线向量ur ure,e2的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. uu2e2，那么 1r ur uu r ,ur这说明如果a1e12e2且a 13ur uu当基底0,62是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础
6、向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标, 即若A(x, v),则OA = (x,y);当向量起点不在原点时，向量 AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 A (x1,y1), B (x2,y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1)两个向量平行的充要条件符号语言：a/b a b（b 0）rr坐标语言为：设非零向量ax1,y1 ,bx2,y2，则a / b（xi,yi）=入（X2,y2）,一 XiX2即，或Xiy2-X2yi=o,在这里，实数入是唯一存在的，当a与b同向时，入0；当a与byiy2因此，当a,b确定时，入的符号与异向时，入0。|入尸回，入的大小由a及b的
7、大小确定。I b|大小就确定了 .这就是实数乘向量中入的几何意义。两个向量垂直的充要条件符号语言：a b a br坐标语言：设非零向量 arXi,yi ,bX2,y2两个向量数量积的重要性质:2 2|a|即|a| Ya （求线段的长度）；cosb a br r a ba b0（垂直的判断）;（求角度）。,则以上结论可以 知识的重要价值.（从向量角度）有效地分析有关垂直、长度、角度等问题，由此可以看到向量注:两向量a , b的数量积运算结果是一个数cos (其中r r.a,b）,这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关b cos 叫做向量r在a方向上的投影（如图）数量积的几何意义是数量积r
8、 r r r ragb等于a的模与b在a方向上的投影的积.uum如果 P(Xi, yi), P2(X2, y)，则 RP2 =(X2 Xi, y2 y1),uuuu PP2课前预习J（x2 X1）2 （y2yi）2 ,这就是平面内两点间的距离公式uur uumi .在 YABCD 中，BC CDuuuBA ()uuu (A)BCuuir (B)DAuur (C)ABcum (D)AC2.平面内三点 A(0, 3),B(3,3), C(X, 1),若 AB / BC ,则 x 的值为()(A)-5(B)-1(C)1(D)5C是任意的非零平面向量，且相互不共线，则:(a b)c(c - a )b
9、=0 |a-|b|a b|(b , c) a真命题是(c , a )b不与c垂直)(A)(B)(3a+2b) (3a 2b)=9|a|2- 4b|2中,(C)(D)4. AOAB，,4，a中,OA = a ,OB = b , OP = p,若 p =t( |a|b .-),te r,则点 p在()|b|(A) / AOB平分线所在直线上(C)AB边所在直线上(B)线段AB中垂线上(D)AB边的中线上5.正方形PQRS对角线交点为M ,坐标原点 O不在正方形内部，且 OP= (0, 3), OS =(4, 0),则 RM=(A)(6.已知72 r a(B)7.已知8 .在rx,3 ,b2,42r
10、,a(C) (7, 4)(D) (7,2rb，则实数x=r2, 8 ,ar6, 4 ,则 auuuOAB 中，OA(2cos,2sinuuuOB (5cosS OAB =9.已知VBQ勺三个顶点分别为A3,3 ,B 6,0,C 5,10.已知 ABC 中，A (2, - 1)B (32), C (-3,-1)向量AD坐标。7)2r r,a与b的夹角的余弦值是uuu uuu,5sin )，若 OA OB 5,则V3，求ACB的大小.BC边上的高为AD ,求点D和11.在 AOAB 的边 OA、OB 上分别取点 M、N,使 |OM | ： | OA |=1 : 3, |ON | ： | OB |=
11、1 ： 4,设线段an与bm交于点p,记oa = a , ob = b，用a , b表示向量OP .典型例题、平面向量的实际背景与基本概念EG1.如图1,设O是正六边形的中心，分别写出图中与变式1:如图1,设O是正六边形的中心，分别写出D图1Euuur uuir图中与OD、DC共线的向量。解:变式2：如图2,设O是正六边形的中心，分别写出图中与uurDA的模相等的向量以及方向相同的向量。解:二、平面向量的线性运算EG2.如图，在平行四边形 ABCD中,uuuABuuurADuur uuur你能用a, b表示向量 AC , DB吗?变式1:如图，在五边形 ABCDE中,uuuABuurBCuuu
12、rCD curn,EA d，试用ad表不向量uuuCE和uuur变式2:如图，在平行四边形ABCD 中,uuu若，OA auurOB则下列各表述是正确的为A.uuuOAuuuOBuuuAB)uuurB. OCuurODuurABC.uuurCDuurD. BC(a +b)变式3:已知OA = aOB=b,OC=c,OD =d,且四边形ABCD为平行四边形，则()A. a+b+c+d=0B. a b+c d=0C. a+b c d=0变式4:在四边形ABCD中，若ABD. a b c+d=01 uuur-CD ,则此四边形是()2A.平行四边形B.菱形 C.梯形D.矩形变式5：已知a、b是非零向
13、量,则|a|二|b|是(a+b)与(ab)垂直的A.充分但不必要条件B .必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式6:在四边形 ABCD中，AB=a+2b,BC = 4a b, CD = 5a 3b,其中 a、b不共线,C.梯形D.菱形则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形变式7:已知菱形 ABCD,点P在对角线AC上（不包括端点 A、C）,则AP等（）A.入(AB +AD )，入 C (0,1)B.入(AB+BC)J (0,1)C.入(AB AD),入 6 (0,1)D.入（AB” ,2BC，入 e(0, )变式8:已知D E、F分别是 ABC勺边BC CA AB的中点
14、,一 r且 BC=a,1 CF =2r 1 r 1 r rAB = c,则下列各式： EF =- c - - b BE=a +rAD +BE +CF =0其中正确的等式的个数为（A.1B.2C.3D.4EG3.如图，已知任意两个非零向量uuua、b ,试作 OA a +b,LuuOBuuuOC a + 3b,你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么?uuuuuu变式1：已知OA a + 2b, OB2a + 4b,uurOC3a + 6b（其中a、b是两个任意非零向量uuu证明： ABuuuOBuuu),证明:uiurOA a + 2b, ACA、ujur OCB、C三点共线.uuuOA
15、2a + 4b,uuirACuur 2AB所以，A、B、C三点共线.变式2:已知点uuuA、B、C在同一直线上，并且OA a + b,uuuOB (m 2)uuu a + 2b, OC(n1)a+ 3b (其中a、b是两个任意非零向量），试求m、n之间的关系.EG4.已知四边形 ABCD,点E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点，求证:uur EFuuirHG变式1:已知任意四边形 ABCD的边AD和BC的中点分别为 E、F,uuu uur uuir求证：AB DC 2EF二、平面向量的基本定理及坐标表不EG4.已知 a = (4, 2), b = (6, y),且 a / b ,
16、求 y .变式1:与向量a = (125)平行的单位向量为(1213513B.1213513C.1213513125 - D.12变式2：已知a (1,2)A.B.变式3:已知A(0,3)A.变式4:(0,1)已知a = (1131313 13121313、B(2,0)当a+2b与2ab共线时,x值为B. (0,-1)0), b = (2时它们是同向还是反向?C(1,3)与 ABC.1).试问：当2AC方向相反的单位向量是()(-1,1)k为何实数时,D. (1,-1)ka b与a+3b平行，平行EG5.设点P是线段P1P2上的一点，Pi、P2的坐标分别为 X1,y1，X2,V2(1)当点P是
17、线段P1P2上的中点时，求点 P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求 P的坐标变式1:已知两点5,uurMP1 uuuuMN ,则2P点坐标是8,1B.1,2c.1,3D.8, 1变式2:uun如图，设点P、uuuQ是线段AB的三等分点，若ULUUOA = a,OB = b,则 OP =uur ,OQ(用a、b表本)四、平面向量的数量积EG6.已知 |a|=6|b| = 4 且 a 与 b 的夹角为 60，求(a + 2b) (a 3b).变式1:r已知ar 3,br4, ar rr rga 2b 23,那么a与b夹角为A、60变式2:已知向量(A) 15B、90C、120D
18、、150a和b的夹角为(B) 1260 , | a | = 3, | b | = 4,贝U ( 2a -b)(C) 6(D) 3变式 3:在ABC43,已知 | AB|=4 , | AC |=1 , Saab= J3，则 AB AC 等于()A.2B.2C. 2D. 4变式4：设向量2te1 7e；与向量e- te；的夹角为钝角，求实数t的取值范围.EG7.已知 |a|=3, |b|变式1:A.已知ab32=4且a与b不共线，k为何实数时，向量 a + kb与a k b互相垂直？ |a|=2, |b| =3,且向量3a + 2b与ka b互相垂直，则k的值为()3B.一2D. 1变式2：已知|
19、a|= 1|b| = J2 且(a b) a,则a与b夹角的大小为EG8.已知a = (4, 2),求与向量 a垂直的单位向量的坐标.变式1 ：若 i = (1,0), j =(0,1),则与2i+3j垂直的向量是 (A.3i+2jB. - 2i+3jC. - 3i+2jD. 2i -3j变式2:已知向量a(1,1), b (2, 3),若 ka 2b 与 a 垂直，则实数 k=()A.B. - 1C. 0D.变式3:若非零向量a,b互相垂直，则下列各式中一定成立的是A.abaB. | a b | |ab|C.(a b)(ab) 02D. (a b)2 0变式4:已知向量 a= (3, 4),
20、 b= (2, x), c= (2, y)且 a/ ba c.求|bc|的值.EG9.已知 A (1 ,2), B (2, 3), C ( 2, 5),试判断 ABC的形状，并给出证明.变式1:。是uuuABC所在的平面内的一点，且满足OBuuuOCuuur uuuOC OA 0 ,则ABC 一定为A.正三角形( )B.等腰直角三角形C.直角三角形D.斜三角形变式2:已知A、B、C三点不共线,O是4ABC内的一点，若OA + OB+ OC =0,则 O是ABC的(A. 重心C.内心D.夕卜心变式3：已知ABBC-2AB 0 ,则4 ABC 一定是A.锐角三角形B .直角三角形C.钝角三角形D.
21、等腰直角三角形变式 4：四边形 ABCD 中，AB (6,1), BC (x,y),CD (2,3)(1)若BC/DA,试求x与y满足的关系式;(2)满足(1)的同时又有 AC BD ,求x, y的值及四边形 ABCD的面积。五、平面向量应用举例EG10.题目意图：用平面向量的方法证明平面几何命题：平行四边形两条对角线的平方和等 于其两条邻边的平方和的两倍变式1:如图，矩形 ABCD内接于半径为r的圆 求证：PA2+pB2+PC2+PD2=8r2.。，点P是圆周上任意一点,变式 2：已知 ABC 中，BC a,CA b,ABc,若 a b ba ,求证： ABC为正三角形.变式3:已知平行四边
22、形 ABCD的两条对角线AC 与 BD交于是任意一点,求证OA OB OC OD 4OE .变式4:四边形 ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F,1 求证：EF -(AB DC)2实战训练1.(08全国一uur3)在 4ABC 中，ABuuurACuuurD满足BDUULT2DC ,则uuirADA.2b 1c3 3B. 5c32,2,11 1-bC. bcD b3333ABCM,AC为一条对角线,2.(08安徽卷3).在平行四边形uuur 若AB(2,4)2 c3UULTAC(1,3),uuirBD (A.4)B. (35)C. (35)D. (2, 4)3.(08湖北卷1)a (1,
23、2), b (3,4), c(3,2)则(a2b) c CA.(15,12)B. 0C.D.114.(08湖南卷7)设D、E、F分别是 ABC的三边BC、CA、AB上的点，且uuuruult uuuDC 2BD,CEuuu uuiruuuuuur2EA, AF 2FB,则 ADuuu lilt uuuBE CF 与 BC ()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直5. (08陕西卷15)关于平面向量a,b, c.有下列三个命题:若agb = acp，贝U b c.若a(1, k),b ( 2,6) , a / b ,则 k 3.非零向量a和b满足|a| |b| |ab|,则a
24、与a b的夹角为其中真命题的序号为.（写出所有真命题的序号）6. （08广东卷8）在平行四边形 ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点，AEuuur的延长线与CD交于点F .若AC auurBD b-Uuuur AF八11A a b427. (08浙江卷2屋B a b339)已知a , b是平面内两1 C a2个互相1b 4垂直D. 1a 3 的单位向量Zb 3,若向量c满足(a c) (b c)0 ,则c的最大值是(A) 1(B) 2、. 2 (D)28.（ 08辽宁卷5）已知O, A, B是平面上的三个点,直线AB上有一点uuurC,满足2ACuuuCB 0 ,uuur则OC
25、(uur uuuA. 2OA OBB.uur uuuOA 2OBC.2 uuu -OA31 uuuOB 3D. -COA32 UUU -OB39.（08海南卷8）平面向量rb共线的充要条件是A.rb方向相同b. a, b两向量中至少有一个为零向量C.R,rD.存在不全为零的实数1,2,1ar2b10. （08上海卷5）若向量b满足ar1, b2且a与b的夹角为鼻，则a11. （08全国二13）设向量a(1,2),b（2,3）,若向量 a b与向量c4, 7)共线,12. （08北京卷10）已知向量a与b的夹角为120,且ab 4,那么bg(2a b)的值13. (08天津卷 14)已知平面向量
26、r(2,4) , br r r r r(1,2).若 r a (a b)b,则|C| r rr14. (08江苏卷5) a, b的夹角为120 , a 1,15. (08江西卷13)直角坐标平面上三点A(1,2)、B(3, 2)、C(9,7)，若 E、F 为线段 BCuuin uuin的三等分点，则 AE AF =.0,则 =rrrr 一16. (08 海南卷 13)已知向量a(0, 1,1), b(4,1,0), | ab|J29 且17 ( 08 福建卷 17)已知向量 m=(sinA,cosA),n=( J3, 1), m n=1,且 A 为锐角.(I )求角A的大小;(n)求函数 f
27、(x) cos2x4cos Asin x(x R)的值域.18.在 ABC 中，角 A、B、r A A n (cos,sin 3),且满足(I )求角A的大小；(n)若b c 73a,试判断 ABC的形状。ltC的对边分别为a,b,c,已知向量m(cos竺sin3A),22LTmrrr r19. 已知向量 b (m,sin 2x), c (cos2x,n), x R, f (x) b c ,若函数 f(x)的图象经过点(0,1)和(，1).4(I)求m、n的值;(II)求f(x)的最小正周期，并求f (x)在x 0,上的最小值;(III )当 f (y)-20.在 ABC 中， rlt rn
28、(b,2c),且 mgn40,时，求sin 的值.(sin C,sin B cosA),LTA, B, C所对边分别为a,b,c.已知m0.(I)求 A大小.(n)若 a23, c 2,求 ABC的面积S的大小.21.已知向量 a (1 tan x,1), b(1 sin 2x cos2x,0)，记 f(x) a b .(1)求f(x)的解析式并指出它的定义域;(2)若 f()孚，且(0，I)，求 f(). 85222 .已知向量 m (cosx, sinx),n (cosx,sin x 273 cos x), x R ,设 f (x) m ?n .(I )求函数f (x)的最小正周期.24(11)右(*) 一,且 x 一,_,求sin2x的值. 134 223 . (2007年陕西卷理 17.)设函数 f(x)=a-b淇中向量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xC R,且函数y=f(x)的图象经过点一,2 ,4(I )求实数m的值；(n )求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.24 .(07年陕西卷文17).设函数f(x) a、b.其中向量一 一 兀 a (m, cosx), b (1 sinx,1), xR,且f(一)2 .2(i)求实数 m的值；(n)求函数f (x)的最小值.