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1、高一数学第一学期期末统一考试数学理科试卷本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共100分，考试时间100 分钟。第I卷（选择题共40分）注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂 写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。一、选择题（每小题 4分，共40分）1 .若A为 ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）1A. sin A B. cos AC. tan A D.tan A1
2、2 .当 a #0时，“a1” 是 “ 1 0的解集是x x 0, y 0, x2 +y- =1，则 x J1 + y2 的最大值为、解答题（共 5小题.15、16、17、18题各9分，19题8分，合计44分）得分评卷人15.在A ABC中，角A、B C所对的边是a、b、C, 且 a2 c2 -b2 = 1 ac .2（1）求sin B的值（4分）（2）若b =2,求A ABC面积的最大值（5分）83得分评卷人尸得分评卷人得分评卷人16.已知函数 f （x） =x（x c）2.当c =1时，求函数的单调区间（5分）函数f（x）在x=2处有极大值，求c的值（4分）17 .设抛物线的顶点为 O,经
3、过焦点垂直于轴的直线和抛物线交两点B, C,经过抛物线上一点 P垂直于轴的直线和轴交于点Q,求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.18 .如图所示，在直三棱柱ABG-ABC中，/ ABC=90, BC=2CC=4, EB=1, D, F, G分别为 CG, B1C1, AC 的中点，EF与 BD 相交于点H.（I ）求证：BQ,平面ABR （3分）（n）求证：平面 EGB平面ABD （3分）Ai（出）求平面 EGF与平面ABD的距离.（3分）得分评卷人19 .设Ln为等比数列，a=1, a2=3.(1)求最小的自然数 n,使an 2007；123 . 2n(2)求和：T2n 二 一 一
4、 .一 一 ai a2 a3 a2 n高一数学第一学期期末统一考试数学科试卷参考答案3.24、选择题： AACDC BDBQ二、填空题:一r 2 c -65,11 ： X/xu R,x +2x+2 A0; 12: 15;13:；14:12三、解答题:15.解:(1) a2 +c2 -b21=_ ac21 ac2 cosB =-4 B是A ABC的内角，则B (0-)2sin B = 1 - cos2 B =154(2)若 b=2,A ABC面积 Sabc1.二一 acsin B215ac8又 a2 c2 -41 ac21 .22 ac +4 = a +c 之 2ac , 2S.Abc-15.
5、-15=ac “8 2.6 ,.15 一，当a=C = J=时，A ABC面积 S於bc -为取大值.33A 316.解：当 c=1 时，f(x) =x(x1)2 = x3 2x2+x；1f (x) =3x -4x +1 ,令 3x -4x +1 =0 ；得 x =1 或x = _3歹U 表：x（3二） 313日）1(1,g)f(x)+0-0+f(x)/极大值极小值/1函数f(x)的单调增区间分别为(叼1), (1+无);3 1函数f(x)的单调减区间为(二1).3 = f (x) =x(x -c)2 =x3 -2cx2 +c2x ；一、 一 22f (x) =3x -4cx c,函数f (x
6、)在x = 2处有极大值， f(2) =0,即 128c + c2 =0;17.证明：如图，设抛物线方程:c = 2或 c = 6y2=2px (p0),焦点为 F (,0),2A1 ( a, 0, 0),则 C (0, 2, 0),直线bc的方程为x=E；解方程组1y jPx,得y=p, 2x J b(2 pl C(-p, -p) , |BC|= 2p ;令 P(x0,y0),由 y2 =2p%,其中QQ|=x0, |PQ|=| y| .|PQ|2=y02; |BC| |OQ|二2px|PQ|2=|BC| L |OQ| ; .|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.18.(I)证明：如图所示
7、，建立空间直角坐标系，设F (0, 1, 0), E (0, 0, 1), A (a, 0, 4), B (0, 0, 4), D (0, 2, 2),G(a, 1, 0),*T B1D = (0,2,2) , AB = (a,0,0)TJ. BQgB =0+0+0=0, BQLBD =0 + 4 4=0BD=(0,2,-2),B1D AR B1D BQ 又 ABA BD=B.B1DL平面 ABD.(n )证明：AB=(a,0,0)BD = (0,2, -2)1a KGF =(-,0,0) , EF2t r rGF / AB , EF= (0,1,1),/ BD ,GF/ AB, EF/ BD
8、,又 GFH EF=F,平面EGF/平面ABD(出)平由 J I )、(n)可知,设 BH =?.B1D =(0,2九,2 7。,则ABn BD=B为平面EFG与平面ABn的公垂线段,EH =(0,2儿,2九一1), EF=(0,1,1) EH 与 EF共线，-11 13 3- B1H =(0)，HD =(0, 一,一),. HD2 22 23.22 ，因此,32 平面 EGF与平面ABD的距离为322/ 、n19.解:(1)由已知条件得an=1L三因为362007 2007成立的最小自然数n = 8 .(2)因为T2n123I 1 3 323T2nJU - 2n432n -1 2n_2n 4-2n334T2 =1_C|H 3 n 332331 2n32n 4 一 32n2n2n132n1333132n -3 -8n4匕2 n2n 23- 9 - 24n所以216a