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1、高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题和详解高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题8 / 71. (2010山东日照模考)a= 2xdx, b =2exdx, c=02sinxdx,则a、b、c的大小关系是 o()A. acbB. abcC. cbaD. ca2, c= o2sinxdx = cosx|o2 = 1ocos2 e (1,2),cab.2. （2010山东理，7）由曲线y=x2, y = x3围成的封闭图形面积为（11A行B.4答案A1C.o37D.12解析数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题:y= x由 3得交点为(0,0), (1,
2、1). y= x323131411.S= 1（x2-x3）dx= 3x3-4x4 01 = 12. 0点评图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函（2010湖南师大附中）设点P在曲线y=x2上从原点到 A（2,4）移动，如果把由直线 OP ,直线y=x2及直线x = 2所围成的面积分别记作S, S2.如图所示，当Si=S2时，点P的坐标是（）A.43169B 4B. 51694C.31574D. 5137答案At3解析 设 P(t, t2)(0 y 2)则直线 OP： y=tx,，Si= t(tx-x2)dx=-; &= 2(x2-tx)dx0t8t3 什r 44 162t+6,若，则
3、 t=3, -3 73.由三条直线 x= 0、x= 2、y=0和曲线y=x3所围成的图形的面积为()A. 4B.4C18D. 635答案A3x4 2解析S= 2x3dx= 4 02=4. 04. (2010湖南省考试院调研)1 1(sinx+1)dx的值为()A. 0C. 2 + 2cos1B. 2D. 22cos1答案B解析1 1(sinx+ 1)dx=( cosx+x)| 11 = ( cos1+ 1)( cos( 1)1)= 2.5.曲线y= cosx(0 ww 2 nti)直线y=1所围成的图形面积是()A. 2兀c3f答案A解析如右图，S=产(1 cosx)dx =(x sinx)|
4、02“= 2 兀.B. 3兀D.兀点评此题可利用余弦函数的对称性面积相等解决，但若把积分区间改为兀，则对称性就无能为力了.6.函数 F(x)= xt(t4)dt 在1,5上()0A.有最大值0,无最小值32B.有最大值0和最小值-V 3C.有最小值-警，无最大值 3D.既无最大值也无最小值答案B解析Fx)=x(x4),令 Fx)=0,得 xi = 0, x2= 4,- F(-1) = -1, F(0) = 0, F(4)=-32, F(5)= -25. 333.最大值为0,最小值为-32.3点评一般地,F(x)= *想闷 的导数 Fx)=(j(x). 07.已知等差数列 an的前n项和S=2n
5、2+n,函数 f(x) =1_，一、dt,右 f(x)a3,则 x 的取 11值范围是（）B. (0, e21)C. (e11, e)D. (0, e11)答案解析1 vf(x)= x,dt= lnt|1x= lnx, 11a3=Ss-S2= 21-10=11,由 lnx11 得，Ovxve11.8. （2010福建厦门一中）如图所示，在一个长为兀，宽为2的矩形OABC内，曲线y =（该点落在矩形sinx（0 4W兀与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC内随机投一点OABC内任何一点是等可能的）,则所投的点落在阴影部分的概率是（）1 A 兀2 B- 兀3C.一兀兀D.4答案解析由图可知
6、阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得S=兀0sinxdx= cosx|o = （cos关cos0）= 2,再根据几何概型的算法易知所求概率2_ 12兀 71x+ 29. (2010吉林质检)函数f(x) =2cosx 2*0兀 的图象与x轴所围成的图形面积S0寂2为（）A.2B. 1C. 41 D.2答案C解析 面积 S= 2 2f(x)dx= 02(x+2)dx+202cosxdx= 2 + 2 = 4.10. (2010沈阳二十中)设函数f(x) = x-x,其中x表示不超过x的最大整数，如1.2=2, 1.2=1, 1 = 1.又函数g(x) = -x, f(x)在区间(
7、0,2)上零点的个数记为 m, f(x)与g(x) 3的图象交点的个数记为 n,则ng(x)dx的值是()mA.C.B.D.4376答案A解析由题意可得，当0vx1 时，x=0, f(x)=x,当 1 虫Q 即 b2 主,由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为1b2db 0 1p= 1M =3.12. (2010吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1),曲线y=x2(x巾x轴，直线x=1构成区域M,现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是()1 A.21B.412CD35答案C解析如图，正方形面积1,区域M的面积为S= 1x
8、2dx 00=77X301=故所求概率 p=j333二、填空题13. (2010 芜湖十二中)已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若 11f(x)dx= 2f(a)成立，则 a =解析1-1f(x)dx= 1-1(3x2+2x+1)dx= (x3+x2 + x)| 11=4,1-1f(x)dx= 2f(a),，6a2+4a+2 = 4,-1或1 3.x2项的系数是Tt一 .一,114.已知,2o(sinx+ cosx)dx,则二项式(ax)6的展开式中含答案192j r 一 乙，rR兀兀兀解析 由已知得 a= 2o(sinx+ cosx)dx= ( cosx+ sinx)|2o= (sin2
9、 cos) (sin0 cosO)=2,(2W古)6 的展开式中第 r+1 项是 Tr+1 = (1)XC6rx26T 双r,令 3r=2 得，r= 1, 故其系数为(1)1XC61X25 = 192.15.抛物线y2=2x与直线y= 4 x围成的平面图形的面积为 .答案18y2= 2xy2解析由方程组 4解得两交点A(2,2)、B(8, 4),选y作为积分变量x = )、x=4 y一 / d/ 一S= 2 4(4-y)-曲=(4y-方一七)| 42= 18.例乩一1】16. (2010安徽合肥质检)抛物线y2= ax(a0)与直线x= 1围成的封闭图形的面积为 4.,3若直线l与抛物线相切且
10、平行于直线2x-y+ 6= 0,则l的方程为 .答案16x 8y+1=02解析由题息知1xdx = .,，a= 1,3设l: y=2x+b代入y2=x中，消去y得，4x2+(4b-1)x+ b2=0,由= 0 得，b = 1, 8.l 方程为 16x8y+1 = 0.17. (2010福建福州市)已知函数f(x) = - x3+ax2+bx(a, bCR)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为 三，则a的值为解析x)=3x2+2ax+b, (0)0, b= 0,.8 = x3+ax1 所以，当t=2时，Smin=：,令 f(x) = 0,得
11、 x= 0 或 x= a(a, a=1. a三、解答题18. 如图所示，在区间0,1上给定曲线y = x2,试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1 + S2最小.2 o解析由题息得 S1 = tt2- tx2dx=t3,30S2= 1x2dx-t2(1 -t)=3t3-t2 + 3, t 4 c -1 所以 s= S1 + S2=3t3 t2+ 3(0 曝& 1 .) 一 , c1又 S”= 4t2-2t=4t t-2 , 1,1八令 S”= 0,得 t=2或 t=0.一一1一， ,1.因为当 0Vt2时,S t)0;当 20.，、1 ，、，、1，、一所以s(t)在区间0, 2上单调递减，在区间2, 1上单调递增.