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1、分块矩阵行列式 约翰 r.西尔维斯特 1 1 引言引言 e a b 让我们先考虑 22 阶矩阵 M= 和 N= g cd f .他们的和与乘积为 h a e b f aebh af bh M+ N= 和MN=. c g d h ce dg cf dh 其中的字母a,b,c,d,e,g,h,f来自数域，例如实数域，或者更普遍的来自于环，可 交换或不可交换。的确，假如F是一个数域，然后集合R在R=nFn的所有nn阶矩 阵形成环（假如n2且非可交换），因为它的元素可以相加，相减，相乘和所有 的环公理（associativity、distributivity等等。 ）假如a; b. h是来自环R，然后
2、 M;N可认为无论是来自2R2（在R上的22阶矩阵）或是来自2nF2n，这是大家所共 知的， 我们留下给读者调查。我们是否把这些矩阵作为2n2n阶矩阵或作为22 “分块”矩阵来计算（那些块a; b;是nn阶矩阵，i.e是R中的元素）不产生变 化就矩阵的加法，减法和相乘而言。在符号中，环2R2和2nF2n可被看作是相同的： 22=2n2n RF ,或者 2(nFn)2=2nF2n 通常，我们可以把mnmn阶矩阵分成为nn块mm阶 矩阵即m(nFn)m=mnFmn.本文的要点是分块矩阵的行列式。如果a; b; c; d是在环R中， 然后规定R在可交换的条件下是M的一个行列式，因而我们将它写为det
3、R，因此 detRM=ad-bc。当然这是在R上，如果R是不可交换的，这些元素ad-bc，ad-cb, da-bc,da-cb 可能不相同。并且我们不知道他们中的哪些（若有）是detRM 合适 的选择。这是正确的情况，如果 R= nFn，其中 F 是数域（或可交换环）且 n2， 为了避免困难， 我们采取 R 是一些可交换的子集 R nFn， 而不是整个的矩阵环。 行列式的一般理论在 2R2上及更多的mRm上成立，对于 MmRm，我们能很容易 求出其行列式的值，该值是 R 中的一个元素。但是 R nFn，故 M 的行列式实际 上是 F 上的一个矩阵。并且我们可以计算出 detF(detRM),那
4、些将是 F 中的元素。 另一方面， 如R nFn， 我们有MmRmm(nFn)m=mnFmn.所以我们能计算出detFM, 它同样也是 F 中的元素。我们的主要结论是，这两项计算，得到相同的结果： 定理1 R是nFn中的可交换子集， 其中F是数域 （或是可交换的） 并且使M mRm。 则 detFM= detF(detRM)(1) A B 例如：假如M= ，其中A, B, C, D是F上的nn阶矩阵，那些都具有相关性， C D 定理1说： detFM= detF(AD-BC)(2) 定理1以后将被证明。首先，在第 2部分中，我们应注意限制的情况m=2并给予一 些初步的（和熟悉的）结果。关于分块
5、对角和分块三角矩阵，作为副的，分块矩 阵的证明由行列式乘法决定。在第3部分中，相比定理1我们要证明的东西多一 点在条件m=2的情况下，关于定理1本身，对于一般情况下的m，将在第四部分 中给出证明。 2 2、乘法性质、乘法性质 设M F 2n2n，M= A B nn， ，如果B C O是nn的零矩阵，使得A,B,C,D F C D M是一个对角矩阵，那么我们容易得出： A 0 det F 0D det F Adet F D （3） 观察仔细的读者将会马上注意到这样一个事实，由于 det F Adet F D det F (AD) (4) 式（3）是式（2）在B C O时的特殊情况。不过，我们先不
6、讨论这步，因为我们可 以小心地得到一个（4）的证明，这是由主要结论所带来的。其中一个证明（ 3）的方法是利 用 M 的行列式前 n 行的拉普拉斯扩展，结果显然而知。一个更基本的证明更加深化：归纳 到一种情况，当A 是rr时，D 仍然可以是nn。当r=1 时，如果对第一行进行扩展，这 个结果是明显的。因此对 r 进行数学归纳，第一步是扩展第一行，具体细节留给 读者自己证明。即使我们仅知道B O，这个结论仍然成立，而且证明过程很简单。 我们得到了： A O det F C D det F Adet F D (5) 通过重置或以列代替行反复证明， ，当C O时，我们一样可以得出这样一个结 果，即 A
7、 B det F O D det F Adet F D (6) 为了证明（4） ，我们需要对行列式作出相关假定，如增加一行的倍数（分别，列） 到另一行（分别，列）而不改变行列式。在矩阵A 的左边（分别，右边）乘以一 个可逆矩阵，对应于在行或列有上述变化，但都不改变行列式的值。（一个 unitriangular 矩阵是斜对角线上全是1 的三角形矩阵） 。我们同时给定 det F I n 1，其中I n 是nn上的单位矩阵，故下面得出： I n O I n I n I n O OI n I n O I n A B C D C D A . (7) I n B A B C D det F det F
8、C D A B 因为（7）的左侧的前三个矩阵是 unitriangular 矩阵，根据（5）和（6）可得 A B O B det F det (C)detB det FFF C O C D (8) A 而且有 I n OI n D O D A I n I n AD O 在左边的第二个矩阵是 unitriangular 矩阵，于是利用行列式及（5）和（8）的 第一部分，我们有： det F Adet F D det F I n det F (AD); 由于det F I n 1， （4）中的乘法法则对于 F 中所有的矩阵均成立。 3 3、二阶分块矩阵的行列式、二阶分块矩阵的行列式 既然我们已经知
9、道det F Adet F D det F (AD)，以及 det F (C)det F B det F Bdet F (C) det F (B B(C) det F (BC)，据（5）和（6）及 （8）我们可以得到： 定理 2、如果M C A B ，那么det F M det F (AD BC) （9） D 当且仅当矩阵 A,B,C,D 中至少有一个为零。 （与（2）比较） 我们现在设法推断一些东西，假设分块C 与 D 可交换，即CD DC，那么有： A B D C D C nn O AD BC B AD BC B CD DC D （10） I n OD 我们证明在 F 中（4）对任意n成立，因此我们能运用它，得出（5）和（6） det F M det F D det F (AD BC)det F D 以及(det F M det F (AD BC)det F D 0 现在，如果det F D不等于零（或者当 F 是一个环不是域时，det F D不是为零的除数） ，然 后通过（11）能很快推出（9） ；但是我们实际上并不需要额外的假定，正好我们下面所说明 的：作一个环Fx上的映射关系 r 到 F。这是一个可交换环，而且显然满足加法，除法以 及交换法则。为了书写简便，我们标记D 为纯量矩阵。