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1、北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合要求的. 1双曲线 AB 的一个焦点坐标为（） C （2，0） D （0，2） 2已知椭圆的长轴长是焦距的 2 倍，则椭圆的离心率为（） A2B C D 3给出下列判断，其中正确的是（） A三点唯一确定一个平面 B一条直线和一个点唯一确定一个平面 C两条平行线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D空间两两相交的三条直线在同一平面内 4“mn0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的（） A充分但不必要条件B必要但不充分条件 C充要条件D既不充分又
2、不必要条件 5设 mR，命题“若 m0，则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是（） A若方程 x2=m 有实根，则 m0B若方程 x2=m 有实根，则 m0 C若方程 x2=m 没有实根，则 m0 D若方程 x2=m 没有实根，则 m0 6下列直线中，与直线 2x+y+1=0 平行且与圆 x2+y2=5 相切的是（） A2x+y+5=0Bx2y+5=0CD 7F 是抛物线 y2=4x 的焦点，P 为抛物线上一点若|PF|=3，则点 P 的纵坐标为 （） A3 B C2 D1 8如图，E 为正四棱锥 PABCD 侧棱 PD 上异于 P，D 的一点，给出下列结论： 侧面 PBC 可以是正三角形；
3、侧面 PBC 可以是直角三角形； 侧面 PAB 上存在直线与 CE 平行； 侧面 PAB 上存在直线与 CE 垂直 其中，所有正确结论的序号是（） A B CD 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 9命题“存在 xR，使得 x2+2x+5=0”的否定是 10如果直线 ax+2y3=0 与 2xy=0 垂直，那么 a 等于 11双曲线 x2=1 的离心率是，渐近线方程是 12一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为 13如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=CB=1，对角线将ACD 沿 AC 所在直线翻折，当 ADBC 时，线段 BD
4、的长度为 14 学完解析几何和立体几何后， 某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的 一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的 顶点确定为原点，对称轴确定为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他 无法确定碗底中心到原点的距离， 请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的 计算，帮助他求出抛物线的方程你需要测量的数据是（所有测量数据用小 写英文字母表示） ，算出的抛物线标准方程为 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 15如图，四棱锥PABCD 的底面是正方形，侧棱 PA底面 ABCD，E 是 PA 的中 点 （
5、）求证：PC平面 BDE； （）证明：BDCE 16已知圆 C 经过 A（1，3） ，B（1，1）两点，且圆心在直线 y=x 上 （）求圆 C 的方程； （）设直线 l 经过点（2，2） ，且 l 与圆 C 相交所得弦长为 的方程 17如图，在平面 ABCD 中，AB平面 ADE，CD平面 ADE，ADE 是等边三角形， AD=DC=2AB=2，F，G 分别为 AD，DE 的中点 （）求证：EF平面 ABCD； （）求四棱锥 EABCD 的体积； （）判断直线 AG 与平面 BCE 的位置关系，并加以证明 ，求直线 l 18过椭圆 点 E 右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 C，D，与直线
6、 x=2 交于 （）若直线 l 的斜率为 2，求|CD|； （）设 O 为坐标原点，若 S ODE：SOCE=1：3，求直线 l 的方程 19如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1底面 ABC，BAC=90，AB=AC=2， M，N 分别为 BC 和 AA 1 的中点，P 为侧棱 BB 1 上的动点 （）求证：平面 APM平面 BB 1C1C； （）若 P 为线段 BB 1 的中点，求证：CN平面 AMP； （）试判断直线 BC 1 与 PA 能否垂直若能垂直，求出 PB 的值；若不能垂直， 请说明理由 20已知抛物线 y2=2x，两点 M（1，0） ，N（3，0） （）求点 M
7、到抛物线准线的距离； （）过点 M 的直线 l 交抛物线于两点 A，B，若抛物线上存在一点 R，使得 A， B，N，R 四点构成平行四边形，求直线 l 的斜率 北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合要求的. 1双曲线 AB 的一个焦点坐标为（） C （2，0） D （0，2） 【考点】双曲线的简单性质 【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论 【解答】解：由双曲线 则 c2=a2+b2=4， 则 c=2， 故双曲线 故选：C 2已知椭圆的长轴长是焦距的 2 倍，则椭圆的
8、离心率为（） A2B C D 的一个焦点坐标为（2，0） ， 得 a2=3，b2=1， 【考点】椭圆的简单性质 【分析】由题意可知：a=2c，椭圆的离心率 e= = 【解答】解：由题意可知：椭圆的长轴长是焦距的2 倍，即2a=22c，即a=2c， 由椭圆的离心率 e= = ， 椭圆的离心率 e= ， 故选 D 3给出下列判断，其中正确的是（） A三点唯一确定一个平面 B一条直线和一个点唯一确定一个平面 C两条平行线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D空间两两相交的三条直线在同一平面内 【考点】平面的基本性质及推论 【分析】利用公理三及其推论直接求解 【解答】解：在 A 中，不共线的三点唯
9、一确定一个平面，故 A 错误； 在 B 中，一条直线和直线外一个点唯一确定一个平面，故 B 错误； 在 C 中， 两条平行线与同一条直线相交， 由由公理三及推论得三条直线在同一平 面内，故 C 正确； 在 D 中，空间两两相交的三条直线在同一平面内或在三个不同的平面内，故 D 错误 故选：C 4“mn0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的（） A充分但不必要条件B必要但不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 【考点】双曲线的简单性质；充要条件 【分析】先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn0”，可得 、 异号， 可得方程表示双曲线，由此可得“mn0”是方程“mx2+ny2=1
10、表示双曲线”的充 分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得 、 异号，进而可得 mn0，由此可得“mn0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的 必要条件；综合可得答案 【解答】解：若“mn0”，则 m、n 均不为 0，方程 mx2+ny2=1，可化为+=1， 若“mn0”， 、 异号，方程+=1 中，两个分母异号，则其表示双曲线， 故“mn0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的充分条件； 反之，若 mx2+ny2=1 表示双曲线，则其方程可化为 此时有 、 异号，则必有 mn0， +=1， 故“mn0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的必要条件； 综
11、合可得：“mn0”是方程“mx2+ny2=1 表示双曲线”的充要条件； 故选 C 5设 mR，命题“若 m0，则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是（） A若方程 x2=m 有实根，则 m0B若方程 x2=m 有实根，则 m0 C若方程 x2=m 没有实根，则 m0 D若方程 x2=m 没有实根，则 m0 【考点】四种命题 【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案 【解答】解：命题“若 m0，则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是命题“若方程 x2=m 没有实根，则 m0”， 故选：D 6下列直线中，与直线 2x+y+1=0 平行且与圆 x2+y2=5 相切的是（） A2x+y
12、+5=0Bx2y+5=0CD 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】设直线方程为 2x+y+c=0，圆心到直线的距离 d= 结论 【解答】解：设直线方程为 2x+y+c=0，圆心到直线的距离 d= c=5， 故选 A 7F 是抛物线 y2=4x 的焦点，P 为抛物线上一点若|PF|=3，则点 P 的纵坐标为 （） A3 B C2 D1 =， =，求出 c，可得 【考点】抛物线的简单性质 【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，设出P 的坐标，运用抛物线的定义，可 得|PF|=d（d 为 P 到准线的距离） ，即可得到所求值 【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点 F（1，0） ， 准线 l 为 x=
13、1， 设抛物线的点 P（m，n） ， 则由抛物线的定义，可得|PF|=d（d 为 P 到准线的距离） ， 即有 m+1=3， 解得，m=2， n2=8， 解得 n=2 故选：B 8如图，E 为正四棱锥 PABCD 侧棱 PD 上异于 P，D 的一点，给出下列结论： 侧面 PBC 可以是正三角形； 侧面 PBC 可以是直角三角形； 侧面 PAB 上存在直线与 CE 平行； 侧面 PAB 上存在直线与 CE 垂直 其中，所有正确结论的序号是（） A B CD 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱锥的结构特征 【分析】在中，当侧棱PB 与底面边长相等时，侧面PBC 是正三角形；在中， 当侧面
14、PBC 是直角三角形时，BPC=CPD=DPA=APB=90，这不成立；在 中，若侧面 PAB 上存在直线与 CE 平行，则 E 与 D 点一定重合，与已知矛盾；在 中，侧面 PAB 上一定存在直线与 CE 垂直 【解答】解：由 E 为正四棱锥 PABCD 侧棱 PD 上异于 P，D 的一点，知： 在中，当侧棱 PB 与底面边长相等时，侧面 PBC 是正三角形，故正确； 在中，正四棱锥 PABCD 中 PB=PC=PA=PD， 当侧面 PBC 是直角三角形时，BPC=CPD=DPA=APB=90， BPC=CPD=DPA=APB=90不成立， 故侧面 PBC 不可以是直角三角形，故错误； 在中
15、，若侧面 PAB 上存在直线与 CE 平行，则 E 与 D 点一定重合， 与已知为正四棱锥 PABCD 侧棱 PD 上异于 P，D 的一点矛盾， 故侧面 PAB 上不存在直线与 CE 平行，故错误； 在中，侧面 PAB 上一定存在直线与 CE 垂直，故正确 故选：D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上. 9命题“存在 xR，使得 x2+2x+5=0”的否定是对任何 xR，都有 x2+2x+5 0 【考点】特称命题 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定 【解答】解：因为命题“存在xR，使得 x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命
16、 题的否定是全称命题， 可得命题的否定为：对任何 xR，都有 x2+2x+50 故答案为：对任何 xR，都有 x2+2x+50 10如果直线 ax+2y3=0 与 2xy=0 垂直，那么 a 等于1 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】由已知条件得 2a+2（1）=0，由此能求出 a 【解答】解：直线 ax+2y3=0 与 2xy=0 垂直， 2a+2（1）=0， 解得 a=1 故答案为：1 11双曲线 x2=1 的离心率是2，渐近线方程是y= 【考点】双曲线的简单性质 【分析】双曲线x2 近线方程 【解答】解：双曲线 x2=1 中，a=1，b= x ，c=2， =1 中，a=1
17、，b=，c=2，即可求出双曲线的离心率与渐 e= =2，渐近线方程是 y= 故答案为：2，y= 12一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为4 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由三视图可得：该几何体的两个侧面都为边长为 2 的正方形，底面是等 腰直角三角形，直三棱柱的高为 2 【解答】解：由三视图可得：该几何体的两个侧面都为边长为 2 的正方形， 底面是等腰直角三角形，直三棱柱的高为 2 该三棱柱的体积= 故答案为：4 13如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=CB=1，对角线 将ACD 沿 =4 AC 所在直线翻折，当 ADBC 时，线段 BD 的长度为 【考点】正弦定理 【
18、分析】在ABC 中，利用勾股定理可证 ACBC，结合已知可证 BC平面 ADC， 进而可求 BCCD，利用已知及勾股定理即可计算得解 BD 的值 【解答】解：ADBC， 又在ABC 中，AC=，BC=1，AB=， AC2+BC2=AB2，可得：ACBC，ADAC=A， BC平面 ADC， 又BD平面 BCD， BCCD， CD=BC=1， BD= 故答案为： = = 14 学完解析几何和立体几何后， 某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的 一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的 顶点确定为原点，对称轴确定为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他 无法确
19、定碗底中心到原点的距离， 请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的 计算，帮助他求出抛物线的方程你需要测量的数据是碗底的直径 2m，碗口 的直径 2n，碗的高度 h（所有测量数据用小写英文字母表示） ，算出的抛物线 标准方程为y2=x 【考点】抛物线的标准方程 【分析】碗底的直径 2m，碗口的直径 2n，碗的高度 h；设方程为 y2=2px（p0） ， 则将点（a，m） ， （a+h，n） ，即可得出结论 【解答】解：碗底的直径 2m，碗口的直径 2n，碗的高度 h； 设方程为 y2=2px（p0） ，则将点（a，m） ， （a+h，n） 代入抛物线方程可得 m2=2pa，n2=2p（a+h）
20、 ，可得 2p=， 抛物线方程为 y2=x 故答案为碗底的直径 2m，碗口的直径 2n，碗的高度 h；y2=x 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. 15如图，四棱锥PABCD 的底面是正方形，侧棱 PA底面 ABCD，E 是 PA 的中 点 （）求证：PC平面 BDE； （）证明：BDCE 【考点】直线与平面平行的判定 【分析】 （）连结AC 交 BD 于 O，连结OE，推导出PCOE，由此能证明PC平 面 BDE （）推导出 BDAC，PABD，从而 BD平面 PAC，由此能证明 BDCE 【解答】 （本小题满分 13 分） 证明： （）连结
21、 AC 交 BD 于 O，连结 OE， 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 为 AC 中点 又因为 E 是 PA 的中点，所以 PCOE， 因为 PC 平面 BDE，OE 平面 BDE， 所以 PC平面 BDE （）因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BDAC 因为 PA底面 ABCD，且 BD 平面 ABCD， 所以 PABD 又因为 ACPA=A，所以 BD平面 PAC， 又 CE 平面 PAC， 所以 BDCE 16已知圆 C 经过 A（1，3） ，B（1，1）两点，且圆心在直线 y=x 上 （）求圆 C 的方程； （）设直线 l 经过点（2，2） ，且 l 与圆 C 相交所得弦
22、长为 的方程 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】 （）设圆 C 的圆心坐标为（a，a） ，利用 CA=CB，建立方程，求出 a， 即可求圆 C 的方程； （）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，求出斜率，即可得出直线方程 ，求直线 l 【解答】解： （）设圆 C 的圆心坐标为（a，a） ， 依题意，有 即 a26a+9=a2+2a+1，解得 a=1， 所以 r2=（11）2+（31）2=4， 所以圆 C 的方程为（x1）2+（y1）2=4 （）依题意，圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 1， 所以直线 x=2 符合题意 设直线 l 方程为 y+2=k（x2） ，即 kxy2k2=0， 则，解
23、得， ，即 4x+3y2=0 ， 所以直线 l 的方程为 综上，直线 l 的方程为 x2=0 或 4x+3y2=0 17如图，在平面 ABCD 中，AB平面 ADE，CD平面 ADE，ADE 是等边三角形， AD=DC=2AB=2，F，G 分别为 AD，DE 的中点 （）求证：EF平面 ABCD； （）求四棱锥 EABCD 的体积； （）判断直线 AG 与平面 BCE 的位置关系，并加以证明 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （）推导出 EFAD，则平面 ADE平面 ABCD，由此能证明 EF平面 ABCD （）推导出四边形 ABCD 是直角梯形，由此能求出四棱锥
24、 EABCD 的体积 （）取 CE 的中点 H，连结 GH，BH，推导出四边形 ABHG 为平行四边形，从而 AGBH，由此得到 AG平面 BCE 【解答】 （本小题满分 13 分） 证明： （）因为 F 为等边ADE 的边 AD 的中点， 所以 EFAD 因为 AB平面 ADE，AB 平面 ABCD， 所以平面 ADE平面 ABCD 所以 EF平面 ABCD 解： （）因为 AB平面 ADE，CD平面 ADE， 所以 ABCD，ADC=90， 四边形 ABCD 是直角梯形， 又 AD=DC=2AB=2， 所以 又所以 ， （）结论：直线 AG平面 BCE 证明：取 CE 的中点 H，连结 G
25、H，BH， 因为 G 是 DE 的中点，所以 GHDC，且 GH= 所以 GHAB，且 GH=AB=1， 所以四边形 ABHG 为平行四边形，AGBH， 又 AG 平面 BCE，BH 平面 BCE 所以 AG平面 BCE 18过椭圆右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 C，D，与直线 x=2 交于 点 E （）若直线 l 的斜率为 2，求|CD|； （）设 O 为坐标原点，若 S ODE：SOCE=1：3，求直线 l 的方程 【考点】椭圆的简单性质 【分析】 （）由椭圆的标准方程可知：直线 l 的方程为 y=2x2，代入椭圆方 程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|； （）设直线 l 的
26、方程为 y=k（x1） ，代入椭圆方程，由韦达定理可知： ，由 S ODE：SOCE=1：3， ，即可求得 3x 2 x 1=4，即可求得 k 的值，求得直线 l 的方程 【解答】解： （）由已知，c=1，F（1，0） ，直线 l 的方程为 y=2x2 设 C（x 1，y1） ，D（x2，y2） ， 联立，消 y 得 9x216x+6=0， ， ； ，由韦达定理可知： = |CD|= （）依题意，设直线 l 的斜率为 k（k0） ，则直线 l 的方程为 y=k（x1） ， 联立，消 y 得（1+2k2）x24k2x+（2k22）=0， 由韦达定理可知： S ODE：SOCE=1：3， |DE|
27、：|CE|=1：3， ， 2x 1=3（2x2） ，整理得 3x2x1=4 由得， 代入，解得 k=1， 直线 l 的方程为 y=x1 或 y=x+1 19如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1底面 ABC，BAC=90，AB=AC=2， M，N 分别为 BC 和 AA 1 的中点，P 为侧棱 BB 1 上的动点 （）求证：平面 APM平面 BB 1C1C； （）若 P 为线段 BB 1 的中点，求证：CN平面 AMP； （）试判断直线 BC 1 与 PA 能否垂直若能垂直，求出 PB 的值；若不能垂直， 请说明理由 【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （
28、）推导出AMBC，BB 1AM，从而AM平面 BB1C1C，由此能证明平面 AMP平面 BB 1C1C （）连结 BN，交 AP 于 Q，连结 MQ，NP推导出四边形 ANPB 为平行四边形， 从而 CNMQ，由此能证明 CN平面 AMP （） 假设直线 BC 1 与直线 PA 能够垂直，设 PB=x， 从而得到直线 BC 1 与直线 PA 不可能垂直 【解答】 （本小题满分 14 分） 证明： （）由已知，M 为 BC 中点，且 AB=AC， 所以 AMBC 又因为 BB 1AA1，且 AA1底面 ABC， 所以 BB 1底面 ABC所以 BB1AM， 所以 AM平面 BB 1C1C 所以平
29、面 AMP平面 BB 1C1C 推导出 （）连结 BN，交 AP 于 Q，连结 MQ，NP 因为 N，P 分别为 AA 1，BB1 中点，所以 ANBP，且 AN=BP 所以四边形 ANPB 为平行四边形， Q 为 BN 中点，所以 MQ 为CBN 的中位线， 所以 CNMQ 又 CN 平面 AMP，MQ平面 AMP，所以 CN平面 AMP 解： （） 假设直线 BC 1 与直线 PA 能够垂直， 又因为 AMBC 1， 所以 BC 1平面 APM，所以 BC1PM 设 PB=x，当 BC 1PM 时，BPM=B1C1B， ，所以，解得 所以 RtPBMRtB 1C1B，所以 因为 因此直线
30、BC 1 与直线 PA 不可能垂直 20已知抛物线 y2=2x，两点 M（1，0） ，N（3，0） （）求点 M 到抛物线准线的距离； （）过点 M 的直线 l 交抛物线于两点 A，B，若抛物线上存在一点 R，使得 A， B，N，R 四点构成平行四边形，求直线 l 的斜率 【考点】抛物线的简单性质 【分析】 （）根据抛物线的性质，即可求出点 M 到抛物线准线的距离， （）设直线 l：y=k（x1） ，A（x 1，y1） ，B（x2，y2） ，由 达定理，分类讨论，即可求出 k 的值 ，利用韦 【解答】解： （）由已知，抛物线 y2=2x 的准线方程为 所以，点 M 到抛物线准线的距离为 （）设
31、直线 l：y=k（x1） ，A（x 1，y1） ，B（x2，y2） ， 由得 k2x2（2k2+2）x+k2=0， 所以，x 1x2=1 N，R 在直线 AB 异侧，A，B，N，R 四点构成平行四边形，则 AB，NR 互相平分 所以，x 1+x2=xR+xN，y1+y2=yR+yN， 所以，. 将（x R，yR）代入抛物线方程，得 解得 k=0，不符合题意 ，即， 若 N，R 在直线 AB 同侧，A，B，N，R 四点构成平行四边形，则 AR，BN 互相平 分 所以，x 1+xR=x2+xN，y1+yR=y2+yN， 所以，x R=x2x1+3，yR=y2y1 代入抛物线方程，得 所以 解得，y 1=1 ，k=2；当 y 1=1 时， ，k=2 ，注意到 ，又， ， ， 当 y 1=1 时， 所以 k=2