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1、考试标准圄圃田目直线与方程单元知识条目考试要求直线的 倾斜角 与斜率1.倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角及其取值范围(2)直线的斜率的概念(3)经过点Pl(Xl, yi), P2(X2, y2)(XlWX2)的直线的斜率公式b b c2.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行的判定(2)两条直线垂直的判定c c直线的 方程1 .直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程(2)直线的斜截式方程2 .直线的两点式方程(1)直线的两点式方程(2)直线的截距式方程(3)平面上两点连线的中点坐标公式c c b b c3.直线的一般式方程(1)直线的一般式方程(2)直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式
2、化为一般式b c直线的 交占坐 标与距 离公式1.两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标(2)根据直线方程确定两条直线的位置关系c b2.距离(1)平面上两点间的距离公式(2)点到直线的距离公式(3)两平行线距离的求法c cb知识梳理,jr一、直线的倾斜角和斜率1 .直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与 x轴 平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围为0,力2 .直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角 ”的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k表示，即k= tan_a,倾斜角是90的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜
3、率公式_ y2 yi yi -丫2经过两点 Pl(xi, yi), P2(X2, y2)(XWX2)的直线的斜率公式为 k =-=-.X2 X1 Xi x2二、直线方程的几种形式名称几何条件方程局限性点斜式过点(X0, y),斜率为ky-y0= k(xx0):不含垂直于X轴的直线斜鹏斜率为k,纵截距为by= kx+ b;不含垂直于X轴的直线两点式过两点(2,山)，(X2, 丫2), (X1WX2, ywy2)y yxX1y2一y1X2- X1不包括垂直于坐标轴的 直线截距式在x轴、y轴上的截距分别为 a, b(a, bw0)x+y= 1 a b不包括垂直于坐标轴和 过原点的直线一式Ax + B
4、y+C=0 (A, B不全为0)三、两条直线的交点坐标与距离公式1.位置关系的判定斜截式一式方程y= k1x+ b1 或 y= k2x+ b2Ax+ By+ C= 0(A2 + B2 w 0)或 A-+ B2y+ C2= 0(A2 + B2w 0)相交k1 半 k2A1B2 A2B1 w 0产A2B2-0时，记为A;/)垂直1k1 = - L 或K2k1k2= - 1A1A2 + B1B2= 0当B1B2W0时,记为A1 A2BB1 B2=-)平行k1 = k2 且 b wb2 A1B2 A2B1 = 0 ,B2C1B1C2W0或 A1B2 A?B1= 0,A1C2 A2C1W0当A2B2c2
5、0时，记为 = AB1 C1、B2C22 .两条直线的交点设两条直线的方程是l1： A1x+ B1y+6 = 0, l2： A2x+B2y+C2= 0,两条直线的交点坐标Ax+ By+ C1 =0,就是方程组的解，若方程组有唯一解， 则两条直线相交，此解就是交点02X+ B2y+ C2 = 0坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之亦成立.3 .三种距离(1)两点间的距离平面上的两点 A(xi, yi), B(x2, y2)间的距离公式d(A, B)=|AB|=q(xiX2j+(yiy2 j.(2)点到直线的距离点 P(xi, yi)到直线 l： Ax+By+C=0 的距
6、离 d= Axi1|.a2+b2(3)两条平行线间的距离两条平行线 Ax+By+Ci = 0与Ax+By+C2 = 0间的距离d = 电二C1.A2+B2番典例引领R 直线xcos 0+ y+ m= 0的倾斜角 a的范围是.【点拨】先求斜率的取值范围，根据斜率为倾斜角的正切值求出倾斜角a的范围，要理解正切函数的性质，可得直线倾斜角的范围.【解析】由题知直线的斜率k=cos仇所以一Kk3,存在正n边形使其内切圆为圆 C,故正确；M中直线能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故错误，故命题中正确的序号是.【答案】初龄 已知光线从A(-4, 2)点射出，到直线 y=x上的B点后被直线y=x反射
7、到y 轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6),求BC所在的直线方程.【解】如图所示，设 A关于直线y=x的对称点为A , D关于y 弋了沙的方程为a+y=1(a0, b0),则斌=1,因为a+?2需=滁3所以ab12,所以直线1与坐标轴围成的三角形的面积最小为6,此时512,即a=6, b=2,直线1的方程为x+3y6=0,故选C.【答案】C一设直线系 M: xcos。+ (y-2)sin 0= 1(03),存在正n边形，其所有边均在 M中的直线上；M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).【解析】 因为xcos。+ (y2)sin
8、 0= 1 ,所以点 P(0,2)到M中每条直线的距离 轴的对称点为D,则易得A (2, 4), D (1,6).由入射角等于反射角可得A D所在直线经过点 B与C.y 6 x 1故BC所在的直线方程为 =,即10x-3y+8=0.一 4一 6 一 2 一 1两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3, 1),如果两条平行直线间的距离为d,求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程.【点拨】注意数形结合方法，如果依靠普通计算会加大计算量.【解】(1)如图，当两条平行直线与 AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d=|AB|=6+3 2+(2 + 1 2 = 3回，当两条
9、平行线各自绕点B, A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0,所以0VdW3恒，即所求的d的变化范围是(0,3/10.(2)当d取最大值3匹时，两条平行线都垂直于 AB,所以k=-1=-1 = -3,kAB 2 (1 )6 3故所求的直线方程分别为 y-2=- 3(x 6)和y+1 = 3(x+3),即 3x+y20=0 和 3x+ y+ 10=0.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 6：自+3)2+31)2=4和圆C2： (x 4)2+(y 5)2=4.uvy o i a x(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为273,求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过
10、点 P的无穷多对互相垂直的直线 11和12,它们分别 与圆g和圆C2相交，且直线11被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求 所有满足条件的点 P的坐标.【点拨】 直线往往综合圆与圆锥曲线等知识.(1)利用圆心到直线距离建立方程，待定系数求解；(2)建立方程以后，注意关键词：无穷多对的应用.【解】 (1)设直线1的方程为：y=k(x4),即kx-y-4k= 0,由垂径定理，得：圆心 C1到直线1的距离d = 4- 223)=1,|-3k- 1-4k|结合点到直线距离公式，得 r =1, yjk + 1化简得 24k2+7k= 0,解得 k= 0 或 k= 24,所以直线l的方程
11、为y=0或y= (x 4),即y=0或7x+ 24y 28=0.11kxy + n+Xm= 0,(2)设点P坐标为(m, n),直线li、12的方程分别为：yn=k(xm), yn = 一,(xm),即 kxy+ n km= 0,因为直线11被圆Ci截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等.| 3k 1 + n km|由垂径定理，得：圆心 C1到直线11与圆心C2到直线12的距离相等.故有化简得(2 m n)k= m n 3,或(mn+8)k= m+n 5,关于k的方程有无穷多解，2mn=0,mn+8=0,有s或sm n 3= 0m+n5= 0,解得点p坐标为I，y及昌-2 j
12、一纳思想方法I1 .斜率k= tan4“W 90 0),其中“为倾斜角，牢记：“斜率变化分两段，90。是分界线,遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.2 .求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应 注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.(2)待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程(组)；解这个方程(组)求出参数；把参数的值代入所设直线方程.3 .与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax+ By + C=0(A2+B2w0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：BxAy+ m=0;(2)平
13、行：Ax+By+n=0.4.对称问题包括小心对称和轴对称两种情形.其中，中心对称一般是中点坐标公式的应用.轴对称一般要用到中点坐标公式和斜率之间的关系.课时作业,单独成册一、选择题1 .下列说法中，正确的个数是 ()任何一条直线都有唯一的倾斜角；任何一条直线都有唯一的斜率；倾斜角为90的直线不存在；倾斜角为0 的直线只有一条.A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2.直线l经过原点和点(一1, 1),则它的倾斜角是()B. 135A. 45C. 135 或 2250 一( 一 1解析：选A.由斜率公式得直线l的斜率k=1/k=tan a= 1,又0w a0,而在y轴上的截距 工0,不满足题意
14、.B a选项：直线的斜率 k= a0,在y轴上的截距10,所以满足题意，故选 B. a114 .当0k2时，直线l1： kx- y=k 1与直线G： ky x=2k的交点在（）B.第二象限D.第四象限A.第一象限因为0k2,C.第三象限kx 一 y = k 1,解析：选B.解方程组f得两直线的交点坐标为ky-x= 2k,所以上0,所以交点在第二象限.k-1k-115 .已知直线 3x+2y3=0和6x+ my+1 = 0互相平行，则它们之间的距离是（）B.5 3C 26D.2 .113137 一1326解析：选D.由两直线平行易求得 m=4,故距离为今43.26B. (2, 3)16 .已知点
15、 A（0, 1）,点B在直线x- y+1=0上，直线 AB垂直于直线 x+2y3=0, 则点B的坐标是（）A. (-2, - 3)C. (2, 1)D. ( 2,1)解析：选B.设点B(xy),由题意,x-y+ 1 = 0,x=2,y+ 1xx1_12，lT解得y = 3选B.17,直线 1i： (2a+1)x+ (a+ 5)y6= 0 与直线(3 a)x+(2a1)y+7 = 0 互相垂直，则 a等于(1C.7B. 1D- 2解析：选 C.直线 li： (2a+ 1)x+(a+5)y6=0与直线(3 a)x+(2a1)y+7= 0 互相垂直,1所以(2a+1)(3 a)+(a+5)(2a1)
16、 = 0,即 14a=2,解得 a=.18.已知直线 y=kx+2k+1与直线1 一一 ，y=-2x+2的交点位于第一象限，则实数 k的取值范围是(6 k2B.1 -6k0C.1k 22-4kx=,2k+ 16k 1 y=2k+ 1y= kx+ 1 +2k,解析：选c.联立41 解得y= nx+ 由于直线y= kx+ 2k+ 1与直线y= 2x+ 2的交点位于第一象限,，21所以2-4kx=02k+ 16k+ 1y=02k+ 1.111 .解得一1k 0时，ax+b的取小值是 .x解析：直线方程转化为y-4=k(x-2),知直线过定点 A(2, 4),所以a=2, b= 4, ax+ b x=
17、 2x+2y2x4 = 4业寸,当且仅当 2x = 4,即x = J2时，等号成立.答案：4 2三、解答题23 .在4ABC中，A(0, 1), AB边上的高 CD所在直线方程为 x+2y-4=0, AC边上的中线BE所在直线方程为 2x+y-3=0.(1)求直线AB的方程；(2)求直线BC的方程.解：(1)由已知得直线 AB的斜率为2,又过A(0, 1),所以AB边所在的直线方程为y-1=2(x- 0),即2xy+1 = 0.2x- y+ 1 = 0, (2)ly=2.2x+y3=0即直线AB与直线BE的交点为Bj1, 2 2设 C(m, n),则 AC 的中点 Dm, nJ |；f m+
18、2n 4= 0,(.n= 1,由已知可得 n . 1所以fm n+ 12X- + -3 = 0,、m=2.y一 1 x 一 2所以C(2, 1), BC边所在的直线方程为 =-一，2-1 1_22所以 2x+3y 7=0.24 .已知直线 l: kx-y+ 1+2k=0(k R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求 k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点 A,交y轴正半轴于点B, O为坐标原点，设 AOB的面 积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.解：(1)证明：法一： 直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故无论k取何值，直线l总过定点( 2, 1).法一:
19、设直线l过定点(x0, y),则kx0y0 + 1 + 2k= 0对任意kC R恒成立，即(x0+2)ky0+ 1=0恒成立，所以刈+2=0, y0+ 1 = 0,解得xo=2, y0 = 1,故直线l总过定点(一2, 1).(2)直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+ 1,屋0,要使直线l不经过第四象限，则11 + 220,解得k的取值范围是0, +oc).1 + 2k依题意，直线 l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为1 + 2k,所以A 1!冬 0 i B(0, 1 + 2k).r k 一1 + 2k又一0,所以 k0. k故 S= 1|OA|OB|= 1x 1n
20、；2k(1 + 2k) 22 k11,1= 2gk+k+4 产 2(4+4)=4,11当且仅当4k=*即k= 1时取等号.k2故S的最小值为4,此时直线l的方程为x 2y+4=0.25.已知平面内两点 A(8,6),B(2,2).(1)求AB的中垂线方程；(2)求过P(2, 3)点且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线1,若反射光线过点 A,求反射光线所在的直线方程.8+2 6+2解：(1)因为一2-=5, 2=-2,一 6一 24所以AB的中点坐标为(5, 2), kAB =8-233所以AB的中垂线斜率为4,所以由点斜式可得 y+ 2 = 4(x 5),所以
21、AB的中垂线方程为 3x-4y-23= 0.(2)由点斜式可得 y+3=-4(x-2), 3故直线1的方程为4x+3y+1 = 0.(3)法一:设 B(2,2)关于直线l的对称点为B(m, n),m 2所以34m+ 24X2+3Xn + 2-2+1 = 0,14m= 5，/、解得（所以bL5, 5 5 i-6 + 8kBA= -14 8+Y.n5,11 27.11由点斜式可得 y+6= 27（x8）,整理得 11x+27y+74=0.所以反射光线所在的直线方程为11x+ 27y+ 74= 0.法二：设入射点的坐标为 C(x, y),4x+ 3y+ 1 = 0,由3x- 4y-23=0,_13x 5 解得IC191y一石，0 19所以kcA=1127,-6+g138一石11由点斜式可得 y+6= 27（x8）,整理得 11x+27y+ 74=0.所以反射光线所在的直线方程为11x+ 27y+ 74= 0.